Livro: Princípios de Análise e Exercícios de Cálculo -David Zavaleta

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Princ´ıpio de Ana´lise
Exerc´ıcios de Matema´tica
David Armando Zavaleta Villanueva
Durante a elaborac¸a˜o deste trabalho
o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPERN.
Prefa´cio
Estas notas foram escritas durante os dois anos de experieˆncia lecionando a disciplina
ana´lise para o curso de bacharelado em matema´rica no departamento de Matema´tica da UFRN.
A publicac¸a˜o desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.
1
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 5
2 Preliminares 6
2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Definic¸o˜es Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Operac¸o˜es sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5 Conjuntos Enumera´vies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Nu´meros Reais 14
3.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Nu´meros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Nu´meros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Supremo e I´nfimo de um Conjunto em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Nu´meros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Nu´meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.2 Propriedade Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.3 Valor Absoluto de um Nu´mero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.5 R na˜o e´ Enumera´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Sequeˆncias e Se´ries Nume´ricas 28
4.1 Progressa˜o Aritme´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Progressa˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Definic¸a˜o de Sequeˆncias Nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Sequeˆncias Mono´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5 Limite de uma Sequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Operac¸o˜es com Sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Existeˆncia do Limite de uma Sequeˆncia Mono´tona Limitada . . . . . . . . . . . 36
4.8 O nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.9 Crite´rio de Cauchy para a Existeˆncia do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.10 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11 Se´ries Nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11.1 Definic¸o˜es Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.11.2 Operac¸o˜es com Se´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2
4.11.3 Se´ries com Termos Positivos. Crite´rios de Convergeˆncia . . . . . . . . . . 40
4.12 Se´ries Alternadas. Teorema de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Func¸o˜es e suas Propriedades 46
5.1 Conceitos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.1 Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.2 Func¸a˜o Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.3 Algumas Func¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Func¸a˜o Par e Func¸a˜o I´mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Func¸a˜o Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Propriedades das Func¸o˜es Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Func¸o˜es Mono´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Ma´ximos e Mı´nimos de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6 Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7 Func¸o˜es Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.1 Propriedades das Func¸o˜es Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Gra´ficos de Func¸o˜es 79
6.1 Propriedades e Gra´fico das Func¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Me´todos Simples para Construir os gra´ficos das func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Transformac¸a˜o do Gra´fico da Func¸a˜o y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Gra´fico de Func¸o˜es mais Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7 Topologia na Reta 111
7.1 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1 Pontos de Acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Limite de uma Func¸a˜o. Continuidade de uma Func¸a˜o 118
8.1 Limite de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2 Propriedades dos Limites das Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5 Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6 Principais Teoremas sobre Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas num Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Derivada e suas aplicac¸o˜es 133
9.1 Definic¸a˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 Principais Regras para Calcular a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4 Derivada das Func¸o˜es Compostas e Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.5 Tabela das Derivadas e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6 Ana´lise das Func¸o˜es e Construc¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.6.1 Construc¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.7 Formas Indeterminadas
0
0
,
∞
∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3
9.8 Aplicac¸o˜es da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10 Integral e suas Aplicac¸o˜es 163
10.1 Definic¸a˜o da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.1.1 Somas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2 Relac¸a˜o entre a Integral Definida e a Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.2 Tabela das Integrais Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.2.3 Regra de Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.2.4 Regra de Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.3 Propriedades da Integral Definida das Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . 172
10.3.1 Teorema do Valor Me´dio para Integrais . . . . . . . . . .. . . . . . . . 175
10.3.2 O Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.3 Regra de Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.3.4 Regra de Integrac¸a˜o por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4 Aplicac¸o˜es da Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.1 Ca´lculo de A´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.2 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.4.3 Ca´lculo de Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Refereˆncias Bibliogra´ficas 180
4
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Este livro sera´ um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de ana´lise. Ele foi
escrito fundamentado na experieˆncia do ensino da disciplina de ana´lise do curso de bacharelado
em matema´tica da UFRN.
No comec¸o de cada cap´ıtulo damos as definic¸o˜es necessa´rias e uma breve teoria. O material
teo´rico ilustra-se com um grande nu´mero de exemplos e problemas de diferentes dificuldades.
No poss´ıvel, os tipos de problema e meto´dos de sua soluc¸a˜o sa˜o sistematizados. Em Cada final
de cap´ıtulo propoem-se exerc´ıcios que podem ser resolvidos usando os me´todos apresentados
anteriormente.
5
Cap´ıtulo 2
Preliminares
2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos
2.1.1 Definic¸o˜es Principais
A definic¸a˜o de conjunto desempenha um papel importante na matema´tica. A ide´ia de
conjunto e´ intuitiva e ta˜o amplia que resulta dif´ıcil dar uma definic¸a˜o exata, motivo pela qual,
e´ comum associar a palavra ”conjunto” com expreso˜es como colec¸a˜o, classe, sistema,etc.
Designemos os conjuntos com letras maiu´sculas: A,B,C, . . . e seus elementos com letras
minu´sculas:a, b, c, . . .. Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a ∈ A,
se o elemento a na˜o pertence ao conjunto A, denotamos por a /∈ A.
Definic¸a˜o 2.1.1 Dizemos que um conjunto A e´ subconjunto de B ou A e´ parte de B quando
todos os elementos que pertencem a A, tambe´m pertencem a B(na˜o esta excluido o caso A = B).
A notac¸a˜o que usamos para dizer que A e´ subconjunto de B e´ A ⊂ B. Dizemos que dois
conjuntos A e B sa˜o iguais se;
A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A
E´ muito conveniente introduzir um conjunto que na˜o possua nenhum elemento, que denotaremos
por ∅. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x ∈ R satisfazem 1 + x2 = 0 e´ um um
conjunto vazio, pois na˜o existe nenhum nu´mero real que satisfaza a equac¸a˜o 1 + x2 = 0.
O conjunto vazio ∅ e´ um subconjunto de qualquer conjunto.
2.1.2 Operac¸o˜es sobre Conjuntos
Admitamos a existeˆncia de um a um conjunto universo U , isto e´, o conjunto que contenha
todos os conjuntos arbitra´rios com os quais desejamos trabalhar.
1. Reunia˜o de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitra´rios; chama-se reunia˜o de A e B, A ∪ B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Em
notac¸a˜o matema´tica podemos escrever a reunia˜o de A e B como sendo o conjunto
A ∪B = {x ∈ U ; x ∈ A ou x ∈ B}.
6
A B
A U B
Analogamente podemos definir a reunia˜o de qualquer nu´mero (finito ou infinito) de con-
juntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . sa˜o conjuntos arbitra´rios, enta˜o ∪α∈IAα e´ a
colec¸a˜o de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos Aα.
2. Intersec¸a˜o de Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitra´rios; chama-se intersec¸a˜o de A e B, A∩B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Em
notac¸a˜o matema´tica podemos escrever a intersec¸a˜o de A e B como sendo o conjunto
A ∩B = {x ∈ U ; x ∈ A e x ∈ B}.
Analogamente podemos definir a intersec¸a˜o de qualquer nu´mero (finito ou infinito) de
conjuntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . sa˜o conjuntos arbitra´rios, enta˜o ∩α∈IAα
e´ a colec¸a˜o de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos Aα. Uma noc¸a˜o
importante na intersec¸a˜o de conjuntos e´ a definic¸a˜o de conjuntos disjuntos: Diz-se que
dois conjuntos A e B sa˜o conjuntos disjuntos quando sua intersec¸a˜o e´ vazia, ou de outra
forma A ∩B = ∅.
Evidentemente, podemos estender esta definic¸a˜o para uma famı´lia de conjuntos disjuntos:
Uma famı´lia de conjuntos Aα e´ dita de conjuntos disjuntos se ∩α∈IAα = ∅.
3. Diferenc¸a de dois Conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos arbitra´rios; chama-se diferenc¸a de A e B, A\B ao conjunto
formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas na˜o pertencem ao conjunto B.
Em notac¸a˜o matema´tica podemos escrever a diferenc¸a de A e B como sendo o conjunto
A\B = {x ∈ U ; x ∈ A e x /∈ B}.
E´ conveniente introduzir tambe´m a chamada diferenc¸a sime´trica de dois conjuntos. Sejam
A e B dois conjuntos arbitra´rios; chama-se diferenc¸a sime´trica de A e B, A4B ao conjunto
7
A B
Figura 2.1: A ∩B
A B
Figura 2.2: A\B
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formado pelo unia˜o das diferenc¸as A\B e B\A. Em notac¸a˜o matema´tica podemos escrever
a diferenc¸a sime´trica de A e B como sendo o conjunto
A4B = (A\B) ∪ (B\A).
A B
Figura 2.3: A4B
4. Complementar de um Conjunto
Seja A um conjunto arbitra´rio. O complementar de A, A′ e´ o conjunto diferenc¸a U\A.
No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A e
B dois conjuntos tais que A ⊂ B; chama-se conjunto complementar de A em B, CAB
definido por
B\A = CAB.
Na teoria dos conjuntos e suas aplicac¸o˜es desempenha uma ferramenta muito importante
o chamado Pr´ıncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintes
afirmac¸o˜es:
• O complementar da reunia˜o e´ igual a intersec¸a˜o dos complementares(⋃
α
Aα
)′
=
⋂
α
(Aα)
′.
• O complementar da intersec¸a˜o e´ igual a unia˜o dos complementares(⋂
α
Aα
)′
=
⋃
α
(Aα)
′.
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2.1.3 Produto Cartesiano
Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto sa˜o
enumerados na˜o e´ muito importante, por exemplo os conjuntos {2, 5, 7} e {5, 7, 2} sa˜o iguais.
Entretanto ha´ alguns casos em matema´tica em que a ordem dos elementos e´ importante. Um
desses conceitos e´ o denominado par ordenado.
Definic¸a˜o 2.1.2 Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) e´ definido quando fica
determinado que a sera´ o primeiro elemento e b o segundo elemento.
Por exemplo em Geometria Anal´ıtica o par ordenado (2, 5) indica que 2 e´ a primeira coordenada
e 5 a segunda coordenada, e e´ diferente do par ordenado (5, 2).
Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) sa˜o iguais quando;
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.
Definic¸a˜o 2.1.3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B e´ o
conjunto A×B definido como
A×B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Exemplo 2.1 Consideremos os conjuntos A = {2, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos enta˜o;
A×B = {(2, 3), (2, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}.
2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos
Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicar
a propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o nu´mero
de elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina de
ana´lise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campeo˜es mundias
de futebol, etc. Todos estes exemplos sa˜o conjuntos finitos.
Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementos
do primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de ser
igual o nu´mero de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondeˆncia
biun´ıvoca, isto e´, estabelecer uma correspondeˆncia que asigne a cada elemento de um conjunto
um elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se o
nu´mero de ciclistas e o nu´mero de bicicletase´ igual, podemos sem contar o nu´mero de ciclistas
e bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas esta˜o
sentados em sua respectiva bicicleta e na˜o ha´ bicicleta sobrando, enta˜o estabelecemos uma
correspondeˆncia biun´ıvoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles teˆm o mesmo
nu´mero de elementos.
Dizemos que um conjunto e´ infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ou
quando ele na˜o e´ finito. Assim, dado um conjunto finito arbitra´rio A, dizemos que B e´ infinito
se na˜o existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitos
podem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinoˆmios com coeficientes raciona´is, o
conjunto de pontos entre a linha AB, etc.
Proposic¸a˜o 2.1.1 Todo subconjunto de um conjunto finito e´ finito.
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Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B ⊂ A.
Suponhamos A 6= ∅, caso contra´rio, ∅ ⊂ B, pois o conjunto vazio e´ subconjunto de qualquer
conjunto. Mas como B ⊂ A ou A ⊂ ∅, segue que B = ∅ e B e´ finito.
Como A e´ finito, podemos contar seus elementos, isto e´, podemos estabelecer uma corre-
spondeˆncia biun´ıvoca com o conjunto {1, 2, . . . , n}, e como B ⊂ A, existe uma correspondeˆncia
biun´ıvoca entre o conjunto B e o conjunto {l1, l2, . . . , lk}, onde k = 1, 2, . . . , n. Assim, B e´
finito.
2.1.5 Conjuntos Enumera´vies
Seja N o conjunto dos nu´meros naturais. E´ fa´cil de ver, que se o conjunto A e´ finito, enta˜o
e´ enumera´vel, pois podemos escrever A como A = {a1, a2, . . . , an}. Em geral, dizemos que
um conjunto e´ enumera´vel se existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre ele e o conjunto dos
nu´meros naturais. Em otras palavras, um conjunto enumera´vel e´ um conjunto cujos elementos
podemos escrever como uma sequeˆncia, a1, a2, . . . , an, . . ..
Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumera´veis.
Proposic¸a˜o 2.1.2 Todo subconjunto de um conjunto enumera´vel e´ finito ou enumera´vel.
Prova: Sejam A um conjunto enumera´vel e B um subconjunto qualquer de A. Podemos
escrever A como A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. E seja B = {an1 , an2 , an3 , . . .}. Se o ma´ximo dos nk
e´ um nu´mero finito, dizemos que o conjunto B e´ finito e portanto enumera´vel. Caso contra´rio,
dizemos que B e´ enumera´vel.
Proposic¸a˜o 2.1.3 A unia˜o de qualquer famı´lia de conjuntos enumera´veis e´ enumera´vel.
Prova: Seja Aα, α = 1, 2, 3, . . . , uma famı´lia de conjuntos enumera´veis disjuntos dois a dois,
pois, caso contra´rio podemos considerar os conjuntos A1, A2\A1, A3\(A2 ∪A1), . . . cuja unia˜o e´
igual a´
⋃
αAα. Como os Aα sa˜o enumera´veis, enta˜o podemos escrever;
A1 = {a11, a12, . . . , a1n, . . .}
A2 = {a21, a22, . . . , a2n, . . .}
A3 = {a31, a32, . . . , a3n, . . .}
...
An = {an1, an2, . . . , ann, . . .}
...
Agora passemos a enumerar todos os elementos da unia˜o
⋃
αAα em ”diagonais” da seguinte
forma; Tomemos o primeiro elemento a11, o segundo elemento a12, o terceiro elemento a21, o
quarto elemento a31, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte gra´fico;
Desta forma, cada elemento de cada conjunto estara´ em correspondeˆncia com um nu´mero
natural determinado, assim fica estabelecido uma correspondeˆncia viun´ıvoca entre
⋃
αAα e o
conjunto dos nu´meros naturais. Para uma maior vizualizac¸a˜o, podemos escrever
⋃
αAα, como⋃
α
Aα = {a11, a12, a21, a31, a22, a13, . . .}
.
11
a a
a a
a a a
a a
aa
a
a
a
a
a
aa
a a
11 12 13 14
a
a
a
a
a
15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
2.2 Func¸o˜es
No ana´lise, o conceito de func¸a˜o e´ introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B dois
conjuntos arbitra´rios. Diz-se que no conjunto A esta´ definida uma func¸a˜o f com valores em B
se a cada elemento x ∈ A corresponde um, e somente um elemento y ∈ B.
A notac¸a˜o que usaremos para denotar que f e´ uma func¸a˜o de A em B e´ a seguinte;
f : A→ B
x 7→ f(x)
a notac¸a˜o x 7→ f(x) e´ para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Definic¸a˜o 2.2.1 O conjunto A chama-se domı´nio da func¸a˜o e o conjunto B chama-se con-
tradomı´nio da func¸a˜o e os definiremos como
Df = {x ∈ A; f(x) = y para algu´m y ∈ B}
e
Im(f) = {y ∈ B; ∃x ∈ A tal que f(x) = y}
respectivamente.
Definic¸a˜o 2.2.2 Uma func¸a˜o f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y.
Definic¸a˜o 2.2.3 Uma func¸a˜o f : A→ B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
E´ conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f e´ uma func¸a˜o do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f e´ uma func¸a˜o de
A ”em” B.
Definic¸a˜o 2.2.4 Uma func¸a˜o f : A→ B chama-se bijetiva quando e´ simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
12
No cap´ıtulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre func¸o˜es. A pequena introduc¸a˜o feita
acima sera´ u´til para mostrar algumas propriedades dos nu´meros naturais, inteiros, racionais e
reais.
13
Cap´ıtulo 3
Nu´meros Reais
3.1 Nu´meros Naturais
Nesta sec¸a˜o estabeleceremos a definic¸a˜o de nu´mero natural. Suponhamos a existeˆncia de um
conjunto na˜o vazio N, chamado de nu´meros naturais, para o qual valem os seguintes axiomas
de Peano:
1. 1 e´ um nu´mero natural
2. Cada nu´mero natural n possui um u´nico sucessor, que denotaremos por n′, n′ = n+ 1.
3. O nu´mero natural 1 na˜o e´ sucessor de nenhum outro nu´mero natural, 1 6= n′.
4. Se n e s sa˜o nu´meros naturais tais que n′ = s′, enta˜o n = s.
5. Princ´ıpio de Induc¸a˜o Seja A(n) uma afirmac¸a˜o sobre n ∈ N, que cumpra as
seguintes condic¸o˜es:
• A(1) e´ verdadeira, isto e´, a afirmac¸a˜o vale quando n = 1
• Se A(k) e´ verdadeira, enta˜o A(k+1) e´ verdadeira, isto e´, supondo que a afirmac¸a˜o vale
para n = k arbitra´rio, enta˜o e´ poss´ıvel provar qua a afirmac¸a˜o vale para n = k + 1.
Nestas condic¸o˜es a afirmac¸a˜o A(n) e´ verdadeira para qualquer n ∈ N.
Observac¸a˜o 3.1.1 Para todo n ∈ N, n ≥ 1.
Definem-se em N duas operac¸o˜es: Adic¸a˜o (+) e Multiplicac¸a˜o (·). Estas duas operac¸o˜es satis-
fazem as seguintes propriedades:
• Comutatividade: Sejam n,m ∈ N, enta˜o
n+m = m+ n, e n ·m = m · n.
14
• Associatividade: Sejam n,m, s ∈ N, enta˜o
n+ (m+ s) = (n+m) + s, e n(m · s) = (n ·m)s.
• Lei do corte: Sejam n,m, s ∈ N, se
n+ s = m+ s, enta˜o n = s, n · s = m · s, enta˜o n = m.
• Distributibidade: Sejam n,m, s ∈ N, enta˜o
n · (m+ s) = n ·m+ n · s.
Usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar a veracidade de algumas fo´rmulas que
aparecem no conjunto dos nu´meros naturais N.
Exemplo 3.1 Verifique a seguinte fo´rmula
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . .+
1
n× (n+ 1) =
n
n+ 1
, ∀n ∈ N.
Prova: Escrevamos os termos
1
n× (n+ 1) da seguinte forma:
1
1× 2 = 1−
1
2
,
1
2× 3 =
1
2
− 1
3
,
1
3× 4 =
1
3
− 1
4
, . . . ,
n
n× (n+ 1) =
1
n
− 1
n+ 1
.
Enta˜o,
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . .+
1
n× (n+ 1) =
=
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ . . .+
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
=
n
n+ 1
.
Usemos induc¸a˜o para provar a fo´rmula acima. Seja P (n) a afirmac¸a˜o
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . .+
1
n× (n+ 1) =
n
n+ 1
, ∀n ∈ N.
• A proposic¸a˜o vale para n = 1, isto e´, P (1) e´ verdadeira, 1
1× 2 =
1
1 + 1
.
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e´ verdadeiro.
De fato,
1
1× 2 +
1
2× 3 +
1
3× 4 + . . .+
1
k × (k + 1) +
1
(k + 1)× (k + 2) =
=
k
k + 1
+
1
(k + 1)× (k + 2)
=
(k + 1)2(k + 1)× (k + 2)
=
k + 1
k + 2
.
15
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.2 Seja P (n) a seguinte afirmac¸a˜o,
n3 − n e´ mu´ltiplo de treˆs, ∀n ∈ N.
Prova: Apliquemos de novo o me´todo de induc¸a˜o.
• A proposic¸a˜o vale para n = 1, isto e´, P (1) e´ verdadeira, 13 − 1 = 0 e´ mu´ltiplo de 3.
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e´ verdadeiro.
De fato,
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− k − 1
= k3 + 3k2 + 2k
= k3 + 3k2 − k + 3k
= k3 − k + 3(k2 + k),
como k3 − k e´ multiplo de treˆs e 3(k2 + k) tambe´m, enta˜o a soma de dois mu´ltiplos de
treˆs tambe´m e´ mu´ltiplo de treˆs.
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.3 Seja P (n) a seguinte afirmac¸a˜o,
1 + 2 + 3 + . . .+ n =
n(n+ 1)
2
∀n ∈ N.
Prova: Por induc¸a˜o, temos
• A proposic¸a˜o vale para n = 1, isto e´, P (1) e´ verdadeira, 1 = 1(1 + 1)
2
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e´ verdadeiro.
De fato,
1 + 2 + 3 + . . .+ k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)[k + 2]
2
=
(k + 1)[(k + 1) + 1]
2
.
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Exemplo 3.4 Seja P (n) a seguinte afirmac¸a˜o,
2n > n2, ∀n ≥ 5.
Prova: Por induc¸a˜o, temos
16
• A proposic¸a˜o vale para n = 5, isto e´, P (5) e´ verdadeira, 25 = 32 > 52 = 25.
• Suponhamos que a afirmac¸a˜o P (k) e´ verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e´ verdadeiro,
isto e´, 2k+1 > (k + 1)2. De fato, escrevendo 2k+1 = 2× 2k > 2k2, basta provar que
2k2 ≥ (k + 1)2.
Assim,
2k2 ≥ (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 ⇐⇒ k2 ≥ 2k + 1 ⇐⇒
⇐⇒ k2 − 2k + 1 ≥ 2 ⇐⇒ (k − 1)2 ≥ 2
que vale para k ≥ 5.
• Logo P (n) e´ verdadeira para todo n ∈ N.
Teorema 3.1.1 N e´ fechado com relac¸a˜o a adic¸a˜o.
Prova: dizer que N e´ fechado com relac¸a˜o a adic¸a˜o, significa que ∀n,m ∈ N, n+m ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; n+m ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois m+ 1 ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N. Enta˜o mostremos que para m ∈ N, temos n+m ∈ N.
(n+ 1) +m = 1 + (n+m) = (n+m) + 1 ∈ N,
assim, n+ 1 ∈M e isto mostra que M = N.
Teorema 3.1.2 N e´ fechado com relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o.
Prova: Consideremos o seguinte conjunto,
M = {n ∈ N; nm ∈ N, ∀m ∈ N}.
Usemos o pr´ıncipio de induc¸a˜o para mostrar o teorema.
De fato, observamos que 1 ∈ N, pois 1m = m ∈ N desde que m ∈ N.
Suponhamos que n ∈ N e fixemos m ∈ N. Enta˜o mostremos que nm ∈ N.
(n+ 1)m = mn+m,
como n ∈ M, nm ∈ N e pela fechadura da adic¸a˜o em N, temos que nm + 1 ∈ N, assim,
n+ 1 ∈M e isto mostra que M = N.
Definimos no conjunto N a relac¸a˜o ′′ <′′ da seguinte forma: Dados dois nu´meros naturais
n,m, a desigualdade n < m significa que existe s ∈ N tal que n + s = m. Dizemos neste caso
que n e´ menor que m. Quando escrevemos n ≤ m significa que n < m ou n = m. Esta relac¸a˜o
de ”ordem” teˆm as seguintes propriedades:
17
1. Tricotomia: Dados n,m ∈ N, vale uma e somente uma, das seguintes afirmac¸o˜es:
n = m, ou n < m, ou m < n.
2. Monotonicidade: Dados n,m, s ∈ N e n < m, enta˜o
n+ s < m+ s e sn < sm.
3. Transitividade: Dados n,m, s ∈ N e n < m,m < s, enta˜o n < s.
A relac¸a˜o de ordem tambe´m possui uma propriedade muito importante, chamada princ´ıpio
da boa ordenac¸a˜o,
Propriedade da boa ordenac¸a˜o. Todo subconjunto na˜o vazio de N possui um menor
elemento, isto significa que se M ⊂ N e´ um conjunto, existe mo ∈M tal que mo ≤ m para todo
m ∈M .
O sistema dos nu´meros naturais apresenta uma deficieˆncia natural: dada uma equac¸a˜o da
forma m + x = n com n,m ∈ N, esta equac¸a˜o na˜o sempre possui uma soluc¸a˜o em N. Por
exemplo a equac¸a˜o 4 + x = 9 tem como soluc¸a˜o x = 5 ∈ N, mas, a equac¸a˜o 6 + x = 4 na˜o tem
soluc¸a˜o no conjunto dos nu´meros naturais.
3.2 Nu´meros Inteiros
Nem sempre equac¸o˜es da forma n + x = m possuem soluc¸a˜o em N dados n,m ∈ N. Esta
dificuldade pode ser ”resolvida” se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjunto
maior onde possamos resolver equac¸o˜es do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto
dos nu´meros inteiros Z como o conjunto que conte´m o conjunto dos nu´meros naturais, e no
qual esta˜o definidas as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o herdadas de N. Ale´m disto:
• Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte
propriedade, n+ 0 = 0 + n = n, ∀n ∈ Z.
• Toda equac¸a˜o da forma n + x = m admite uma u´nica soluc¸a˜o em Z, para quaisquer
n,m ∈ Z.
Como antes, o elemento 1 ∈ N e´ o elemento neutro com relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o em Z, isto
e´, dado m ∈ Z, 1m = m1 = m.
Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N∪ {0} ∪ (−N), ou seja,
Z = N− N = {n−m; n,m ∈ N} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Proposic¸a˜o 3.2.1 O conjunto dos nu´meros inteiros Z e´ enumera´vel.
Prova: Basta estabelecer uma correspondeˆncia entre todos os nu´meros inteiros e todos os
nu´meros naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondeˆncia;
0 −1 1 −2 2 . . .
1 2 3 −4 5 . . .
18
Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondeˆncia como uma func¸a˜o f : Z→ N
bijetora da seguinte forma;
f(n) =
{
2n+ 1, se n ≥ 0,
2|n|, se n < 0.
O sistema dos nu´meros inteiros apresenta uma deficieˆncia o´bvia; dada uma equac¸a˜o da
forma mx = n com n,m ∈ Z, na˜o sempre possui uma soluc¸a˜o em Z. Por exemplo a equac¸a˜o
3x = 9 tem como soluc¸a˜o x = 3 ∈ Z, mas, a equac¸a˜o 6x = 4 na˜o tem soluc¸a˜o no conjunto dos
nu´meros inteiros.
3.3 Nu´meros Racionais
Como vimos na sec¸a˜o anterior, nem sempre equac¸o˜es da forma nx = m possuem soluc¸a˜o em
Z dados n,m ∈ Z. Esta dificuldade pode ser ”suprida” se ampliarmos o conjunto dos inteiros
Z para um conjunto maior onde possamos resolver equac¸o˜es do tipo acima. Assim, podemos
construir o conjunto dos nu´meros racionais Q como o conjunto que conte´m o conjunto dos
nu´meros inteiros, isto e´,
Q = {m
n
; m,n ∈ Z, n 6= 0}.
Uma frac¸a˜o da forma m/1 pode ser identificada com o inteiro m. Esta identificac¸a˜o, permite
dizer que Q conte´m Z como um subconjunto pro´prio, isto e´,
N ⊂ Z ⊂ Q.
Definimos as operac¸o˜es de adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e igualdade em Q da seguinte forma:
• Adic¸a˜o: m
n
+
s
t
=
ms+ nt
nt
, n 6= 0, t 6= 0.
• multiplicac¸a˜o: m
n
· s
t
=
ms
nt
, n 6= 0, t 6= 0.
• Igualdade: m
n
=
s
t
⇐⇒ mt = ns, n 6= 0, t 6= 0.
Ale´m de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existeˆncia dos elementos neutros
(0 para a adic¸a˜o e 1 para a multiplicac¸a˜o), Q satisfaz as propriedades de existeˆncia do elemento
inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto e´, se p ∈ Q, enta˜o −p ∈ Q, e 1/p ∈ Q com,
p+ (−p) = 0, p(1/p) = 1.
Podemos definir um subconjunto Q+ em Q como sendo,
Q+ = {m
n
; mn ∈ N},
isto e´ o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:
1. Q+ e´ fechado com relac¸a˜o as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o em Q, isto e´,
p, q ∈ Q+, enta˜o p+ q, pq ∈ Q+.
19
2. Dado p ∈ Q, temos que uma das afirmac¸o˜es a seguir e´ verdadeira:
ou p = 0 ou p ∈ Q+ ou − p ∈ Q+.
A relac¸a˜o de ordem ′′ <′′ introduzida em Q : p < q se q− p ∈ Q+, generaliza a relac¸a˜o de
ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a relac¸a˜o de ordem introduzida em N.
Teorema 3.3.1 O conjunto Q e´ fechado com relac¸a˜o as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
Q, munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o e satisfazendo
os axiomas da relac¸a˜o de ordem constitui um corpo ordenado.
A seguir mostremos treˆs propriedades importantes de Q.
Proposic¸a˜o 3.3.1 Se p e q sa˜o nu´meros racionais, tais que p < q, enta˜o podemos encontrar
infinitos nu´meros racionais entr e p e q.Prova Sendo p < q, podemos escolher um nu´mero racional r =
q − p
n
, onde n ∈ N. Os
nu´meros racionais
p+ r, p+ 2r, . . . , p+ (n− 1)r
esta˜o entre p e q, e como n e´ um nu´mero natural qualquer, segue a afirmac¸a˜o. Em particular
se n = 2, temos
p <
p+ q
2
< q.
Proposic¸a˜o 3.3.2 (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q sa˜o dois nu´meros racionais
positivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q.
Prova: Sejam p =
m
r
e q =
s
t
Suponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a 1, pois p
e q sa˜o positivos. Segue, enta˜o que mt ≥ 1 ou 2mt ≥ 2 > 1. Multiplicando esta desigualdade
por rs, temos, 2mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (2rs)p > q, e considerando
n = 2rs, obtemos np > q.
Proposic¸a˜o 3.3.3 O conjunto dos nu´meros racionais Q e´ enumera´vel.
Prova: Seja α =
p
q
, q > 0 um nu´mero racional arbitra´rio. Para evitar nu´meros repetidos
digamos que α seja irredut´ıvel. Chamaremos de altura do nu´mero racional α a soma |p|+q. Da
definic¸a˜o de altura, observamos que o nu´mero de frac¸o˜es de altura dada e´ finita. Por exemplo
a altura 3 teˆm 4 frac¸o˜es:
2
1
,
1
2
,
−2
1
,
−1
2
. Agora podemos organizar todos os nu´meros racionais
segundo sua altura, isto e´, primeiro os nu´meros de altura 1, depois os nu´meros de altura 2, etc.
Desta forma cada nu´mero racional possui seu nu´mero, e isto significa que esta´ estabelecida uma
correspondeˆncia biun´ıvoca entre N e o conjunto dos nu´meros racionais Q.
20
3.3.1 Supremo e I´nfimo de um Conjunto em Q
Para mostrar algumas deficieˆncias alge´bricas do conjunto Q dos nu´meros racionais, intro-
duziremos algumas definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 3.3.1 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado se existe um nu´mero positivo M tal
que −M < x < M para todo x ∈ E.
Se para qualquer nu´mero positivo M , existe xo ∈ E tal que xo > M , enta˜o dizemos que o
conjunto E e´ ilimitado.
Definic¸a˜o 3.3.2 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado superiormente se existe um nu´mero
M tal que x ≤M para todo x ∈ E.
Um nu´mero M nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior chama-se cota superior. E´ claro que nu´meros
maiores que M tambe´m sa˜o cotas superiores para E.
Definic¸a˜o 3.3.3 Um subconjunto E de Q e´ dito limitado inferiormente se existe um nu´mero
K tal que x ≥ K para todo x ∈ E.
Um nu´mero K nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior chama-se cota inferior. E´ claro que nu´meros
menores que K tambe´m sa˜o cotas inferiores para E.
E´ evidente que um conjunto limitado E ⊂ Q e´ simultaneamente limitado inferiormente e
superiormente.
Definic¸a˜o 3.3.4 Diz-se que α ∈ Q e´ um elemento mı´nimo(ma´ximo) de E ⊂ Q se e´ uma cota
inferior(superior) e ale´m disso α ∈ E.
Definic¸a˜o 3.3.5 Diz-se que o nu´mero β ∈ Q e´ o supremo de um conjunto limitado superior-
mente E ⊂ Q se e´ a menor das cotas superiores e ale´m disso esse mı´nimo existe. Em outras
palavras, β = supE satisfaz,
1. β e´ uma cota superior para E, e
2. Se σ e´ outra cota superior para E, enta˜o β ≤ σ.
Esta segunda condic¸a˜o pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitra´rio, enta˜o existe x ∈ E tal que β − � < x.
E´ de verificac¸a˜o imediata de que o supremo de um conjunto limitado superiormente, quando
existe e´ u´nico, isto e´,
Proposic¸a˜o 3.3.4 Se um conjunto E ⊂ Q e´ limtado superiormente e possui supremo, ele e´
u´nico.
Prova: Sejam β1 e β2 dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de 2(a) que
β1 − ε < x para algum x ∈ E. E por definic¸a˜o de supremo, x ≤ β2, enta˜o β1 − ε < β2, isto
e´, β1 < β2 + ε. Isto significa que β1 ≤ β2. De maneira ana´loga, trocando β1 e β2, obtemos
β2 ≤ β1. Portanto β1 = β2.
Analogamente define-se ı´nfimo de um subconjunto limitado inferiormente de Q.
21
Definic¸a˜o 3.3.6 Diz-se que o nu´mero α ∈ Q e´ o ı´nfimo de um conjunto limitado inferiormente
E ⊂ Q se e´ a maior das cotas inferiores e ale´m disso esse ma´ximo existe. Em outras palavras,
α = inf E satisfaz,
1. α e´ uma cota inferior para E, e
2. Se σ e´ outra cota inferior para E, enta˜o α ≥ σ.
Esta segunda condic¸a˜o pode ser substituida por;
(a) Se dado ε > 0 arbitra´rio, enta˜o existe x ∈ E tal que β + � > x.
E´ de verificac¸a˜o imediata de que o ı´nfimomo de um conjunto limitado inferiormente, quando
existe e´ u´nico, isto e´,
Proposic¸a˜o 3.3.5 Se um conjunto E ⊂ Q e´ limtado inferiormente e possui ı´nfimo, ele e´ u´nico.
Uma deficieˆncia grande do corpo dos racionais e´ dada pela seguinte afirmac¸a˜o,
Proposic¸a˜o 3.3.6 Na˜o existe um nu´mero racional cujo quadrado seja igual a 2.
Prova: Seja r =
p
q
∈ Q, onde p e q sa˜o primos entre si, isto e´ MDC(p, q) = 1. Suponhamos que(
p
q
)2
= 2, enta˜o p2 = 2q2. Como todo nu´mero racional multiplicado por 2 e´ par, resulta que p2
e´ par, logo p e´ par e podemos escrever p = 2k, k ∈ Z. Portanto, de p2 = (2k)2 = 2 · 2k2 = 2q2,
segue que 2k2 = q2. Daqui concluimos que q e´ par. Absurdo, pois p e q sa˜o nu´meros primos.
Portanto na˜o existe r ∈ Q tal que r2 = 2
O seguinte exemplo tambe´m explicita uma outra deficieˆncia dos nume´ros racionais. Trata-se
de um conjunto E ⊂ Q que e´ limitado superiormente mas na˜o possui supremo e de um conjunto
F ⊂ Q que e´ limitado inferiormente mas na˜o possui ı´nfimo [1].
Exemplo 3.5
E = {x ∈ Q; x > 0 e x2 < 2}
E = {y ∈ Q; y > 0 e y2 > 2}
3.4 Nu´meros Reais
Ja´ vimos na sec¸a˜o anterior duas deficieˆncias do corpo dos racionais: na˜o existe um racional
cujo quadrado seja igual a 2 e existem conjuntos limitados superiormente que na˜o possuem
supremo e conjuntos limitados inferiormente que na˜o possuem ı´nfimo.
Vamos supor a existeˆncia de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamado
de corpo dos nu´meros reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes de
Dedekind [2].
Teorema 3.4.1 Se o conjunto R dos nu´meros reais e´ dividido em dois conjuntos na˜o vazios
disjuntos, isto e´,
R = A ∪B, A ∩B = ∅
tais que, todo a ∈ A e´ menor que qualquer b ∈ B, enta˜o ou existe um nu´mero c que e´ o maior
entre os nu´meros pertencentes a A e B na˜o tem menor elemento, ou existe um nu´mero c que
e´ o menor entre todos os nu´meros prtencentes a B, e A na˜o tem maior elemento.
22
Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior e´ a afirmac¸a˜o seguinte;
Teorema 3.4.2 Todo subconjunto E ⊂ R limitado superiormente(inferiormente) pelo nu´mero
M(m), possui supremo(´ınfimo).
Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo.
Assim R e´ um corpo ordenado completo.
3.4.1 Nu´meros irracionais
Definic¸a˜o 3.4.1 Um nu´mero chama-se irracional se na˜o e´ racional.
A notac¸a˜o que usamos para denotar os irracionais e´ R\Q. Como Q e R\Q sa˜o disjuntos, temos
que R = Q ∪R\Q. Na sec¸a˜o anterior vimos que √2 e´ um nu´mero irracional. Existem infinitos
nu´meros irracionais, entre eles os mais famosos, o nu´mero pi e o nu´mero neperiano e, etc.
Teorema 3.4.3 Se p e´ um nu´mero primo positivo, enta˜o
√
p e´ irracional.
Prova: Vamos supor que
√
p na˜o seja irrational. Enta˜o
√
p =
m
n
com MDC(m,n) = 1.
Elevando ao quadrado, temos p =
(m
n
)2
, ou seja n2p = m2. Como m e n sa˜o primos entre
si, segue que p
∣∣m2(p divide m2) e portanto p∣∣m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdade
acima, temos n2p = p2l2 e simplificando obtemos n2 = pl2. Isto significa que p
∣∣n2, portanto p∣∣n.
Segue portanto que p e´ um fator comum dos nu´meros m e n. Absurdo, pois MDC(m,n) = 1.
E isto mostra que
√
p e´ irracional.
3.4.2 Propriedade Arquimediana
A Propriedade Arquimediana apresentada nos nu´meros racionais tambe´m vale para o corpo
dos reais.
Teorema 3.4.4 Sejam a, b ∈ R com a > 0, enta˜o existe um n ∈ N tal que na > b.
Prova: Vamos supor que an > b e´ falsa para algum n ∈ N, isto e´, na ≤ b para todo n ∈ N.
Consideremos o seguinte conjunto E,
E = {na; n ∈ N}.
E´ o´bvio que este conjuntoe´ limitado superiormente, pela completec¸a de R existe o supremo de
E, digamos α = supE, ou seja na ≤ α para todo n ∈ N.
Pelo fato de N ser infinito, temos n ∈ N, segue que (n+ 1) ∈ N, e portanto,
(n+ 1)a ≤ α segue na ≤ α− a ∀n ∈ N.
Mas, α− a < α tambe´m e´ uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na ≤ b para
todo n ∈ N.
Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e R\Q os conjuntos dos
racionais e irracionais respectivamente sa˜o conjuntos densos em R.
23
Proposic¸a˜o 3.4.1 (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois nu´meros reais arbitra´rios
com a < b, enta˜o existe um s ∈ Q tal que a < s < b.
Prova:
Proposic¸a˜o 3.4.2 (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois nu´meros reais ar-
bitra´rios com a < b, enta˜o existe um ξ ∈ R\Q tal que a < ξ < b.
Prova: Sejam a e b os nu´meros reais arbitra´rios com a < b. Enta˜o a − √3 < b − √3.
Observamos que a−√3 e b−√3 sa˜o reais, enta˜o pela proposic¸a˜o anterior, existe um s ∈ Q tal
que
a−
√
3 < s < b−
√
3, ou a < s+
√
3 < b.
Escrevendo ξ = s+
√
3, temos a < ξ < b.
3.4.3 Valor Absoluto de um Nu´mero Real
A relac¸a˜o de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto ou
mo´dulo de um nu´mero x ∈ R, como sendo,
|x| =
{
x, se x ≥ 0
x, se x < 0
Em outras palavras, |x| = max{x,−x}.
Exemplo 3.6 Se x = 12, |x| = 12;
Se x = −7, |x| = | − 7| = −(−7) = 7.
Uma consequeˆncia imediata da definic¸a˜o de mo´dulo de um nu´mero e´ a seguinte afirmac¸a˜o
Lema 3.4.1 para qualquer nu´mero real x, vale a seguinte relac¸a˜o:
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Prova: Analizemos dois casos;
1. Suponha que x ≥ 0. Enta˜o x = |x| ≥ 0 e −|x| ≤ 0, e portanto
−|x| ≤ x ≤ |x|.
2. Suponha que x < 0. Enta˜o |x| ≥ 0 e x < |x|. Como |x| = −x ou −|x| = x, segue que;
−|x| ≤ x ≤ |x|.
Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade
|x| < ε
e´ equivalente as duas desigualdades
−ε < x < ε, x, ε ∈ R.
Portanto a desigualdade
|x− y| < ε
e´ equivalente as duas desigualdades
y − ε < x < y + ε, x, y, ε ∈ R.
O valor absoluto de um nu´mero real satisfaz as seguintes propriedades:
24
Teorema 3.4.5 Para nu´meros reais arbitra´rios x, y, temos
1. |x| ≥ 0, para todo x, e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. |xy| = |x||y| e ∣∣x
y
∣∣ = |x||y| se y 6= 0.
3. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdade triangular).
4. ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
Prova:
1. Se x ≥ 0 enta˜o |x| = x, se x < 0, enta˜o |x| = −x > 0. Em ambos casos |x| ≥ 0.
Se x = 0, |x| = x = 0 por definic¸a˜o. Se x 6= 0, enta˜o x < 0 ou x > 0. Se x < 0, enta˜o
|x| = −x > 0, se x > 0, |x| = x > 0. Nestes dois casos temos |x| 6= 0.
2. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplicac¸a˜o e´ o´bvia. Suponhamos que x, y 6= 0.
Analizemos treˆs casos:
(a) x > 0 e y > 0; enta˜o |x| = x e |y| = y, logo
|xy| = xy = |x||y|.
(b) x > 0 e y < 0; enta˜o |x| = x e |y| = −y, logo
|xy| = x(−y) = |x||y|.
(c) x < 0 e y < 0; enta˜o |x| = −x e |y| = −y, logo
|xy| = (−x)(−y) = |x||y|.
Para mostrar que
∣∣x
y
∣∣ = |x||y| , escrevamos xy = z, enta˜o x = y · z. Usando o resultado
anterior, temos
|x| = |yz| = |y||z|, donde |z| = |x||y| ou
∣∣x
y
∣∣ = |x||y| .
3. Como
−|x| ≤ x ≤ |x|,
tambe´m teremos
−|y| ≤ y ≤ |y|,
enta˜o
−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|.
Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos
|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
25
4. Escrevamos |x| da seguinte forma;
|x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y| pela desigualdade triangular.
Assim
|x| − |y| ≤ |x− y|.
De forma similar, obtemos
|y| − |x| ≤ |x− y|, ou − (|x| − |y|) ≤ |x− y|.
Por definic¸a˜o, ||x| − |y|| e´ um dos nu´meros |x| − |y| ou −(|x| − |y|), em ambos casos
||x| − |y|| ≤ |x− y|.
3.4.4 Intervalos
Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos limitados.
Dados c, d ∈ R com c < d
(c, d) = {x ∈ R; c < x < d} [c, d) = {x ∈ R; c ≤ x < d}
(c, d] = {x ∈ R; c < x ≤ d} [c, d] = {x ∈ R; c ≤ x ≤ d}
Introduziremos os simbolos +∞ e −∞ para indicar mais infinito e menos infinito respecti-
vamente. Assim o proprio R e´ considerado como um intervalo da forma (−∞,+∞).
Definic¸a˜o 3.4.2 Chamamos de extensa˜o de R ao conjunto R∗ formado por R, +∞ e −∞.
Em R∗ temos as seguintes operac¸o˜es:
1. se x ∈ R, temos
x+ (+∞) = +∞ x+ (−∞) = −∞,
x+−(+∞) = −∞ x− (−∞) = +∞.
2. Se x > 0,
x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞.
3. Se x < 0,
x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.
4.
(+∞) + (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞.
(−∞) + (−∞) = (+∞) · (−∞) = −∞.
Agora estamos em condic¸o˜es de definir intervalos infinitos:
(−∞, c) = {x ∈ R; x < c} (−∞, c] = {x ∈ R; x ≤ c}
(c,+∞) = {x ∈ R; x > c} [c,+∞) = {x ∈ R; x ≥ c}
26
3.4.5 R na˜o e´ Enumera´vel
Ja´ foi mostrado que Q e´ enumera´vel, mas no entanto o corpo R na˜o e´ enumera´vel.
Teorema 3.4.6 O conjunto dos nu´meros reais na˜o e´ enumera´vel.
Prova: E´ suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R na˜o e´ enumera´vel. Suponhamos
que exista uma enumerac¸a˜o(lista) de todos os nu´meros reais α, pertencentes ao intervalo (0, 1),
ou seja;
(0, 1) = {α1, α2, . . . , αn, . . .},
α1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . . ,
α2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . . ,
α3 = 0, a31a32a33 . . . a3n . . . ,
... =
...
αn = 0, an1an2an3 . . . ann . . . ,
... =
...
onde os aik e´ a k−e´sima cifra decimal do nu´mero αi. Vamos mostrar que existe ao menos um
elemento β ∈ (0, 1) da forma,
β = 0, b1b2b3 . . . bn . . .
que na˜o pertence a lista acima. De fato, o nu´mero β e´ construido da seguinte maneira: b1
e´ um algorismo diferente de a11; b2 e´ diferente de a22, etc., em geral bn e´ diferente de ann.
Assim a frac¸a˜o β e´ diferente do nu´mero α1, pois os diferem ao menos no primeiro termo de sua
representac¸a˜o decimal, tambe´m difere de α2 no segundo termo de sua representac¸a˜o decimal,
etc., etc. Em geral, como bn 6= ann, para todo n, a frac¸a˜o β 6= αi. Daqui segue que nenhuma
lista de nu´meros reais pode enumerar (0, 1). Como um subconjunto de R o intervalo (0, 1) na˜o
e´ enumera´vel, segue que R na˜o e´ enumera´vel.
Corola´rio 3.4.1 O conjunto dos nu´meros irracionais R\Q na˜o e´ enumera´vel.
Prova: Ja´ sabemos que podemos escrever R como aunia˜o disjunta:
R = Q ∪ R\Q.
Q e´ enumera´vel e R na˜o e´ enumera´vel, portanto, R\Q na˜o e´ enumera´vel.
27
Cap´ıtulo 4
Sequeˆncias e Se´ries Nume´ricas
4.1 Progressa˜o Aritme´tica
Definic¸a˜o 4.1.1 Chamamos de progresa˜o aritme´tica a sequeˆncia de nu´meros {an}, n ∈ N,
onde cada termo, comec¸ando do segundo e´ igual ao anterior somado por uma constante u´nica
d, isto e´,
an+1 = an + d, n ∈ N.
O nu´mero d chama-se raza˜o da progresa˜o aritme´tica, a1-primeiro termo e an-termo geral.
Assim por exemplo, a sequencia
2, 7, 12, 17, 22, . . .
onde o primeiro termo e´ 2, e a raza˜o e´ 5.
Para qualquer n ≥ 2 temos
an+1 − an = d,
an − an−1 = d.
desta forma
an+1 − an = an − an−1
ou
an =
an−1 + an+1
2
,
isto e´, cada termo da progresa˜o aritme´tica comec¸ando do segundo termo e´ igual a me´dia ar-
itme´tica do termo anterior e termo posterior.
Exemplo 4.1 Mostre que a sequeˆncia {an} com termo geral an = 2n − 7 e´ uma progresa˜o
aritme´tica.
Soluc¸a˜o Para n ≥ 2 temos
an = 2n− 7, an−1 = 2(n− 1)− 7 = 2n− 9, an+1 = 2n+ 5.
Portanto
an = 2n− 7 = (2n− 5) + (2n− 9)
2
=
an−1 + an+1
2
,
o que demonstra a afirmac¸a˜o.
28
Para a progressa˜o aritme´tica {an} com raza˜o d tem lugar a seguinte fo´rmula:
an = ak + d(n− k), 1 ≤ k ≤ n− 1,
onde n e k sa˜o nu´meros naturales. Trocando k por n− k e por n+ k, obtemos
an = an−k + kd,
an = an+k − kd.
Daqui encontramos
an =
an−k + an+k
2
1 ≤ k ≤ n− 1.
Ale´m disso, para qualquer progressa˜o aritme´tica {an} tem lugar a seguinte igualdade
am + an = ak + al.
se m+ n = k + l.
Exemplo 4.2 Para a progressa˜o aritme´tica {an} com a1 = 7 e d = 4, obtemos as seguintes
fo´rmulas;
1. an = 7 + (n−1) · 4 = 4n+ 3;
2. a10 =
a5 + a15
2
, pois a5 = a10−5 e a15 = a10+15;
3. a7 + a8 = a5 + a10.
Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressa˜o aritme´tica da seguinte maneira:
an = nd+ (a1 − d).
Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progressa˜o aritme´tica {an} e´ igual a
16, o produto do primeiro e quinto termos e´ igual a 64. Encontre o primeiro termo e a raza˜o
desta progressa˜o.
Soluc¸a˜o: Por hipo´tese, temos a2 + a4 = 16 e a1a5 = 64; enta˜o obtemos o seguinte sistema{
a1 + 2d = 8
a1(a1 + 4d) = 64.
Encontrando da primeira equac¸a˜o do sistema, 2d e substituindo na segunda equac¸a˜o, obtemos
a21 − 16a1 + 64 = 0,
ou
(a1 − 8)2 = 0.
Desta forma, a1 = 8; portanto, 2d = 8− a1 = 0, isto e´ d = 0.
Exemplo 4.4 Os nu´meros 5 e 38 sa˜o o primeiro e decimo segundo termos respectivamente de
uma progressa˜o aritme´tica {an}. Encontre an para n = 2, 3, · · · , 11.
29
Soluc¸a˜o: Como
d =
a12 − a1
12− 1 =
38− 5
11
= 3,
enta˜o os correspondentes termos sa˜o
8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.
A soma Sn = a1 + a2 + · · · an dos primeiros n-termos de uma progressa˜o aritme´tica {an} e´
dada pela fo´rmula
Sn =
a1 + an
2
n.
Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triaˆngulo equila´tero queremos saber se
e´ possivel plantar 105 a´rvores, de tal forma que na primeira se´rie colocamos um a´rvore, na
segunda se´rie colocamos dois a´rvores, na terceira 3 a´rvores, e assim adiante e na n−e´sima
se´rie colocamos n a´rvores.
Soluc¸a˜o: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade
1 + 2 + · · ·n = 104, enta˜o tal jardim e´ poss´ıvel. Basta resolver a seguinte equac¸a˜o
n(n+ 1)
2
= 105.
Encontramos daqui n = 14.
4.2 Progressa˜o Geome´trica
Definic¸a˜o 4.2.1 Chamamos de progresa˜o geome´trica a sequeˆncia de nu´meros {bn}, n ∈ N,
onde cada termo, comec¸ando do segundo e´ igual ao anterior multiplicado por uma constante
u´nica q 6= 0, isto e´,
bn+1 = anq, n ∈ N.
O nu´mero q chama-se raza˜o da progresa˜o geome´trica, b1-primeiro termo e bn-termo geral.
Assim, por exemplo a sequeˆncia
1, 3, 9, 27, 81, · · ·
onde cada termo, comec¸ando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 e´ uma
progressa˜o geome´trica, de raza˜o q = 3 e b1 = 1.
Para uma progressa˜o geome´trica {bn} com raza˜o q para n ≥ 2 temos
bn
bn−1
=
bn+1
bn
= q,
isto e´
b2n = bn−1bn+1.
Por exemplo, para a progressa˜o geome´trica
1, 3, 9, 27, 81, 243, · · · , 3n−1, · · ·
temos as seguintes igualdades
32 = 1 · 9; 92 = 3 · 27; 272 = 9 · 81; 2432 = 81 · · · 729; 32n = 3n−1 · 3n+1.
30
Exemplo 4.6 Suponha que os nu´meros a, b, c sa˜o os termos consecutivos de uma progressa˜o
geome´trica. Mostre que
a2b2c2
(
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
)
= a3 + b3 + c3.
Soluc¸a˜o: Como a, b, c sa˜o os termos consecutivos de uma progressa˜o geome´trica, enta˜o b2 = ac.
portanto
a2b2c2
(
1
a3
+
1
b3
+
1
c3
)
=
b2c2
a
+
a2c2
b
+
a2b2
c
=
acc2
a
+
b4
b
+
a2ac
c
=
= a3 + b3 + c3.
Para qualquer progressa˜o geome´trica {bn} e´ va´lida a seguinte igualdade
bmbn = bkbl se m+ n = k + l.
Exemplo 4.7 Todos os termos da progressa˜o geome´trica {bn} sa˜o positivos. se b10 = 2 e
b18 = 3. Encontre b16 e b3b27.
Soluc¸a˜o: Como 10 + 18 = 14 + 14, enta˜o b214 = b10b18 = 6; portanto, b14 =
√
6. Tambe´m,
como 14 + 18 = 16 + 16, enta˜o b216 = b14b18 = 3
√
6, isto e´, b16 =
√
3
√
6. Porfim, de 14 + 16 =
30 = 3 + 27, segue que,
b3b27 = b14b16 =
√
6
√
3
√
6 = 3
√
2
√
6.
A soma Sn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn dos primeiros n termos de uma progressa˜o geome´trica
{bn} de raza˜o q 6= 0 e´ dado pela fo´rmula
Sn = b1
1− qn
1− q ,
se q = 1 , enta˜o Sn = nb1.
Por exemplo
1. 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 = 1− 2
n
1− 2 = 2
n − 1;
2.
1
53
+
1
54
+ · · ·+ 1
5n−1
=
1
53
1− (1
5
)n−3
1− 1
5
=
1
100
(
1− 1
5n−3
)
.
Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma
Sn = 1 + 2a+ 3a
2 + 4a3 + · · ·+ nan−1, a 6= 0.
Soluc¸a˜o: Multiplicando Sn por a, temos
aSn = a+ 2a
2 + 3a3 + 4a4 + · · ·+ nan,
enta˜o
aSn − Sn = nan − (1 + a+ a2 + a3 + · · · an−1).
Como
1 + a+ a2 + a3 + · · · an−1) = a
n − 1
a− 1 ,
obtemos
Sn =
nan
a− 1 −
an − 1
(a− 1)2 .
31
Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma
S = 1 + 11 + 111 + · · ·+ 1111 · · · 111︸ ︷︷ ︸
1000 algor´ıtmos
.
Soluc¸a˜o. O nu´mero 1111 · · · 111︸ ︷︷ ︸
n algor´ıtmos
para qualquer n natural podemos escrever na forma
1111 · · · 111︸ ︷︷ ︸
n algor´ıtmos
=
n algor´ıtmos︷ ︸︸ ︷
9999 · · · 999
9
=
10n − 1
9
,
enta˜o
S =
10− 1
9
+
102 − 1
9
+
103 − 1
9
+ · · ·+ 10
1000 − 1
9
=
=
1
9
(10 + 102 + 103 + · · ·+ 101000 − 1000) =
=
1
9
[
10(101000 − 1)
10− 1 − 1000] =
1
9
(1111 · · · 110︸ ︷︷ ︸
1000 algor´ıtmos
−1000)
=
1
9
(1111 · · · 11︸ ︷︷ ︸
997 algor´ıtmos
0110).
4.3 Definic¸a˜o de Sequeˆncias Nume´ricas
Se a cada nu´mero natural n fazemo-os corresponder um nu´mero real an, enta˜o dizemos que
esta´ definido uma sequeˆncia nu´merica
a1, a2, a3, · · · , an, · · ·
Os nu´meros a1, a2, · · · chamam-se termos da sequeˆncia, e an e´ o termo geral.
A sequeˆncia denota-se por {an}∞n=1 ou {an}. Uma sequeˆncia pode ser definida com ajuda
da fo´rmula
an = f(n) n ∈ N,
onde f e´ alguma func¸a˜o; neste caso esta fo´rmula chama-se fo´rmula do termo geral da sequeˆncia
{an}. Por exemplo
1. an =
√
n, n ∈ N;
2. an = n!, n ∈ N;
3. an =
{
n2, se n = 2k
1/n, se n = 2k − 1, k = 1, 2, · · ·
Para definir uma sequeˆncia podemos usar tambe´m uma relac¸a˜o de recorreˆncia. Este me´todo
consiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequeˆncia, e logo escrever uma fo´rmula
que nos permita encontrar o termo geral an atrave´s dos primeiros termos. Por exemplo, se
32
1. a1 = 1, an+1 = an + 1 para n ≥ 1;
2. b1 = 1, b2 = 2, bn = 2bn−1 + bn−2 para n ≥ 3.
Enta˜o destas relac¸o˜es de recorreˆncia, encontramos que,
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, · · · ;
b1 = 1, b2 = 2, b3 = 5, b4 = 12, b5 = 29, · · ·
4.4 Sequeˆncias Mono´tonas
Definic¸a˜o 4.4.1 Uma sequeˆncia {an} chama-se crescente, se para qualquer nu´mero natural n
vale a desigualdade
an+1 > an, n ∈ N.
Exemplo 4.10 Mostre que a sequeˆncia {an} cujo termo geral an = n− 1
n
e´ uma sequeˆncia
crescente.
Soluc¸a˜o: Analizemos a diferenc¸a an+1 − an. Temos
an+1 − an = (n+ 1)− 1
n+ 1
− n− 1
n
=
n2 − n2 + 1
n(n+ 1)
=
1
n(n+ 1)
> 0.
Desta forma, an+1 > an para todo n ∈ N.
Definic¸a˜o 4.4.2 Uma sequeˆncia {an} chama-se decrescente, se para qualquer nu´mero natural
n vale a desigualdade
an+1 < an, n ∈ N.
Exemplo 4.11 Mostre que a sequeˆncia {an} cujo termo geral e´ an = −(n+2) e´ uma sequeˆncia
decrescente.
Soluc¸a˜o: Analizemos a relac¸a˜o
an+1
an
. Temos
an+1
an
=
−((n+ 1) + 2)
−(n+ 2) =
−n− 2
−n− 1 =
n+ 2
n+ 1
= 1 +
1
n+ 1
> 1.
Desta forma,
an+1
an
> 1. Como todos os termos da sequeˆncia sa˜o negativos, enta˜o obtemos
an+1 < an para todo n ∈ N.
Definic¸a˜o 4.4.3 Uma sequeˆncia {an} chama-se na˜o-decrescente, se para qualquer nu´mero nat-
ural n vale a relac¸a˜o
an+1 ≥ an, n ∈ N.
Definic¸a˜o 4.4.4 Uma sequeˆncia {an} chama-se na˜o-crescente, se para qualquer nu´mero nat-
ural n vale a relac¸a˜o
an+1 ≤ an, n ∈ N.
33
Em geral, estes tipos de sequeˆncias chamam-se mono´tonas.
A sequeˆncia {an} chama-se limitada superiormente, se existe um nu´mero real A tal que,
para qualquer nu´mero natural n vale a desigualdade xn ≤ A.
Exemplos de sequeˆncias limitadas superiormente sa˜o as seguintes sequeˆncias com termos
gerais,
an = −n3, an = (−1)n, an = sin4 pin
2
.
A sequeˆncia {an} chama-se limitada inferiormente, se existe um nu´meroreal B tal que, para
qualquer nu´mero natural n vale a desigualdade xn ≥ B.
Exemplos de sequeˆncias limitadas inferiormente sa˜o as seguintes sequeˆncias com termos
gerais,
an = 2
n, an = (−1)n, an = −(n+ 1)
n
.
Uma sequeˆncia {an} chama-se limitada, quando ela e´ limitada superior e inferiormente. Ou
equivalentemente, se existem nu´meros reais A e B tais que,
A ≤ an ≤ B, ∀n ∈ N.
Exemplo de sequeˆncia limitada e´ a sequeˆncia com termos geral an = 1/2
n+2. De fato, para
qualquer n natural verifica-se;
0 <
1
2n+2
< 1, isto e´ 0 < an < 1, ∀n ∈ N.
Exemplo 4.12 Mostremos que a sequeˆncia cujo termo geral an =
n− 2
n+ 1
e´ limitada.
Prova: Como an =
n− 2
n+ 1
=
n+ 1− 3
n+ 1
= 1− 3
n+ 1
< 1, isto e´, an < 1 para qualquer natural
n, enta˜o {an} e´ limitada superiormente.
Analizemos a diferenc¸a an − an−1. Temos;
an − an−1 = n− 2
n+ 1
− n− 1
n+ 2
=
−3
(n+ 1)(n+ 2)
< 0,
isto e´, an < an−1,∀n ∈ N. Por isso a1 = −1/2 e´ o menor termo desta sequeˆncia. Desta forma,
an ≥ −1/2, ∀n ∈ N, isto e´, a sequeˆncia {an} e´ limitada inferiormente. Segue da definic¸a˜o
acima que, a sequeˆncia {n− 2
n+ 1
}n e´ limitada.
4.5 Limite de uma Sequeˆncia
O nu´mero a chamase limite da sequeˆncia {an}, se para qualquer nu´mero positivo(arbitra´rio)
�, encontra-se um nu´mero no tal que, para todos os naturais n > no vale a desigualdade
|an − a| < ε.
Se a e´ o limite da sequeˆncia {an}, usamos a seguinte notac¸a˜o: lim
n→∞
an = a.
Se a sequeˆncia possui limite, dizemos que ela converge, caso contra´rio dizemos que ela diverge.
34
Como a desigualdade |an − a| < ε equivale a desigualdade −ε < an − a < ε, isto e´,
a − ε < an < a + ε, enta˜o a afirmac¸a˜o que a e´ limite da sequeˆncia {an}, equivale a dizer que
para qualquer ε > 0 , encontra-se no ∈ N, que depende de ε, tal que todos os termos comec¸ando
com o ı´ndice no+ 1 os termos ano+1, ano+2, · · · pertencem ao intervalo (a− ε, a+ ε), e fora deste
intervalo encontram-se somente um nu´mero finito de termos da sequeˆncia (no ma´ximo no).
Exemplo 4.13 Mostre que o nu´mero 1 e´ o limite da sequeˆncia {n+ 1
n
}, isto e´,
lim
n→∞
=
n+ 1
n
= 1
.
Soluc¸a˜o. E´ necessa´rio mostrar que para cada � positivo, encontra-se um no tal que para todo
n > no segue ∣∣n+ 1
n
− 1∣∣ < �.
Como
∣∣n+ 1
n
−1∣∣ = ∣∣ 1
n
∣∣ = 1
n
. Enta˜o a desigualdade |n+ 1
n
−1| < � e´ equivalente a desigualdade
1
n
< �, isto e´ n >
1
�
. Se tomamos o nu´mero natural no maior que
1
�
, enta˜o para qualquer nu´mero
natural maior que este no, cumpre-se∣∣n+ 1
n
− 1∣∣ = 1
n
<
1
no
<
1
1/�
< �,
e isto significa que lim
n→∞
n+ 1
n
= 1.
Exemplo 4.14 Mostre que se |q| < 1, enta˜o
lim
n→∞
= qn = 0.
Soluc¸a˜o. Para mostrar que lim
n→∞
= qn = 0, e´ necessa´rio provar que para qualquer � > 0, existe
um nu´mero natural no, tal que para todos os nu´meros naturais n > no vale a desigualdade
|qn − 0| < �.
Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q 6= 0. Como 0 < |q| < 1, enta˜o 1/|q| > 1,
e portanto existe um nu´mero positivo α, tal que 1/|q| = 1 + α. Como α > 0, enta˜o usando a
desigualdade de Bernoulli, obtemos
1/|q|n = (1/|q|)n = (1 + α)n ≥ 1 + nα > nα.
Daqui |q|n < 1
nα
para todo n natural. escolhamos no >
1
α�
, onde α = 1|q| − 1. Enta˜o para cada
n > no temos
n >
1
α�
ou
1
nα
< �,
e portanto
|qn − 0| = |qn| = |q|n < 1
nα
< �.
Exemplo 4.15 Mostre que a sequeˆncia an = (−1)n na˜o possui limite.
35
Soluc¸a˜o. Mostremos isto por contradic¸a˜o. Suponhamos que a sequeˆncia {an} converge para
o nu´mero a. Enta˜o para qualquer � positivo existe um nu´mero no = no(�) tal que, para cada
n > no vale a desigualdade |an − a| < �. Em particular para � = 1/2 existe n1 tal que para
qualquer n > n1 vale
|an − a| < 1/2.
Como 2n1 > n1 e 2n1 + 1 > n1, enta˜o para termos da sequeˆncia a2n1 e a2n1+1 cumpren-se as
desigualdades
|a2n1 − a| < 1/2, e |a2n1+1 − a| < 1/2.
Como a2n1 = (−1)2n1 = 1, e a2n1+1 = (−1)2n1+1 = −1, enta˜o temos
|1− a| < 1/2, | − 1− a| < 1/2,
de onde segue
2 ≡ |(1− a) + (a+ 1)| ≤ |1− a|+ |1 + a| < 1/2 + 1/2 = 1.
Assim, da suposic¸a˜o que a sequeˆncia {an}n converge obtemos que 2 < 1, absurdo.
4.6 Operac¸o˜es com Sequeˆncias
4.7 Existeˆncia do Limite de uma Sequeˆncia Mono´tona
Limitada
4.8 O nu´mero e
4.9 Crite´rio de Cauchy para a Existeˆncia do Limite
4.10 Teorema de Weierstrass
4.11 Se´ries Nume´ricas
4.11.1 Definic¸o˜es Ba´sicas
Consideremos a seguinte sequeˆncia nume´rica,
u1, u2, u3, . . . , un, . . . (4.1)
Desta sequeˆncia, obtenhamos outra sequeˆncia,
S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .
onde,
S1 = u1,
S2 = u1 + u2,
S3 = u1 + u2 + u3,
. . . . . .
Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+ un.
36
Se existe o limite da soma parcial Sn, isto e´,
S = lim
n→∞
Sn,
enta˜o dizemos que a se´rie nume´rica
∞∑
n=1
un = u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . (4.2)
converge, e possui soma igual a´
S = u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . .
Se Sn na˜o tende a nenhum limite(ou tende para infinito), enta˜o dizemos que a se´rie (4.2) diverge.
A expressa˜o
∞∑
n=1
un e´ meramente formal, pois a adic¸a˜o ordina´ria de um nu´mero infinito de
termos na˜o faz sentido.
Um exemplo simples de uma se´rie nu´merica e´ a progresa˜o geome´trica:
∞∑
n=1
aqn−1 = a+ aq + aq2 + . . .+ aqn−1 + . . . (a 6= 0) (4.3)
Analizemos quatro poss´ıveis casos para os valores de q.
1. |q| < 1.
A soma parcial Sn e´ igual a`;
Sn = a+ aq + aq
2 + . . .+ aqn−1 =
a− aqn
1− q =
a
1− q −
a
1− q q
n.
Ja´ foi provado que se |q| < 1, enta˜o limn→∞ |qn| = 0, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(
a
1− q −
a
1− q q
n
)
=
a
1− q ,
e a se´rie (4.3) converge para
a
1− q se |q| < 1.
2. |q| > 1.
A soma parcial Sn como foi visto acima e´ igual a`;
Sn = a+ aq + aq
2 + . . .+ aqn−1 =
a
1− q −
a
1− q q
n.
Ja´ foi provado que se |q| > 1, enta˜o limn→∞ |qn| = +∞, por isso,
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(
a
1− q −
a
1− q q
n
)
= ±∞,
e a se´rie (4.3) diverge se |q| < 1.
37
3. q = 1.
A soma parcial Sn e´ igual a`;
Sn = a+ a+ a+ . . .+ a = na,
e portanto
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
na = ±∞.
E isto significa que a se´rie (4.3) diverge.
4. q = −1.
A soma parcial Sn e´ igual a`;
Sn = a− a+ a− . . .+ (−1)n−1a,
e portanto
lim
n→∞
Sn =
{
0 se n e´ par
a se n e´ ı´mpar.
Isto significa que a se´rie (4.3) diverge, pois Sn tendo a dois limites diferentes.
4.11.2 Operac¸o˜es com Se´ries
As se´ries convergentes possuem algumas propriedades, que nos permitem operar com eles
como se fossem somas finitas.
1. Se a se´rie
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . .
possui soma S, enta˜o a se´rie
au1 + au2 + au3 + . . .+ aun + . . . (4.4)
converge para aS. De fato, a soma parcial σn da se´rie (4.4) e´ da seguinte forma
σn = au1 + au2 + au3 + . . .+ aun = aSn,
e por isso,
lim
n→∞
σn = lim
n→∞
aSn = a lim
n→∞
Sn = aS.
2. Se´ries convergentes podem ser somadas ou subtraidas, isto e´, se
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . = S
v1 + v2 + v3 + . . .+ vn + . . . = σ,
enta˜o a se´rie
(u1 ± v1) + (u2 ± v2) + (u3 ± v3) + . . .+ (un ± vn) + . . .
tambe´m converge, e a soma e´ igual a (S ± σ).
38
3. A propriedade da se´rie ser convergente ou divergente na˜o e´ alterado se adicionamos ou
tiramos um nu´mero finito de termos a se´rie.
4. O termo geral un de qualquer se´rie convergente tende para zero, isto e´,
lim
n→∞
un = 0. (4.5)
De fato,
un = Sn − Sn−1,
e como a se´rie converge, enta˜o
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
Sn−1 = S,
de onde,
lim
n→∞
un = lim
n→∞
Sn − lim
n→∞
Sn−1 = S − S = 0.
A condic¸a˜o (4.5) e´ necessa´ria para a convergeˆncia da se´rie, mas na˜o e´ suficiente; pois pode
acontecer que o termo geral tendapara zero, mas a se´rie divergir.
Exemplo 4.16 Consideremos a se´rie Harmoˆnica
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
n
+ . . . .
Soluc¸a˜o: Aqui, temos
un =
1
n
→ 0, quando n→∞.
Agrupemos os termos da se´rie Harmoˆnica em grupos de 1, 2, 4, 8, . . . termos:
1 +
(
1
2
)
+
(
1
3
+
1
4
)
+
(
1
5
+ . . .+
1
8
)
+
(
1
9
+ . . .+
1
16
)
+ . . . ,
desta forma no k−grupo temos 2k−1 termos. Se em cada grupo, trocamos todos os termos pelo
u´ltimo termo(menor elemento do grupo), obtemos a se´rie
1 +
1
2
+
1
4
· 2 + 1
8
· 4 + 1
16
· 8 + . . . = 1 + 1
2
+
1
2
+ . . . ,
cuja soma parcial Sn e´ igual a
Sn = [1 +
1
2
(n− 1)].
E´ o´bvio que lim
n→∞
Sn = +∞.
Tomando um nu´mero grande de termos da se´rie Harmoˆnica, podemos obter um nu´mero grande
de grupos e a soma de estes termos sera´ maior que [1 +
1
2
(n − 1)], e daqui podemos concluir
que a soma parcial Sn da se´ie Harmoˆnica tende para o infinito, isto e´, Sn →∞.
39
4.11.3 Se´ries com Termos Positivos. Crite´rios de Convergeˆncia
Vamos estudar se´ries com termos positivos(na˜o negativos):
u1, u2, u3, . . . , un, . . . ≥ 0.
Para esses tipos de se´ries, estabeleceremos crite´rios de convergeˆncia e divergeˆncia.
Teorema 4.11.1 (Teste de Comparac¸a˜o) Consideremos duas se´ries
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =
∞∑
n=1
un (4.6)
v1 + v2 + v3 + . . .+ vn + . . . =
∞∑
n=1
vn (4.7)
com termos positivos.
a) Se uk ≤ vk (k = 1, 2, . . .), a convergeˆncia da se´rie (4.7) implica a convergeˆncia da se´rie (4.6)
e a divergeˆncia da se´rie (4.6) implica a divergeˆncia da se´rie (4.7).
b) Se
lim
k→∞
uk
vk
= A > 0, (4.8)
enta˜o as se´ries (4.6) e (4.7) convergem ou divergem simultaneamente.
Prova: a) Denotemos por Sn e σn as somas parciais de (4.6) e (4.7) respectivamente. Por
hipo´tese, temos,
Sn ≤ σn.
Mas, a se´rie (4.7) converge, e suponhamos que para a soma σ, enta˜o
σn ≤ σ, por isso Sn ≤ σ.
Como a sequeˆncia {Sn} e´ mono´tona crescente e limitada, concluimos que a se´rie (4.6) converge.
Agora, suponhamos que a se´rie (4.6) e´ divergente; enta˜o sua soma parcial Sn cresce infini-
tamente, e pela desigualdade
Sn ≤ σn,
segue que a soma parcial de (4.7) σn cresce infinitamente, e isto significa que a se´rie (4.7)
diverge.
b) Suponhamos que cumpre-se (4.8), enta˜o para um nu´mero positivo ε < A, existe um no ∈ N,
tal que para todo k > no segue A− ε < uk
vk
< A+ ε, ou
vk(A− ε) < uk < (A+ ε)vk. (4.9)
Se a se´rie (4.7) e´ convergente, a se´rie
∞∑
k+1
(A + ε)vk tambe´m e´ convergente e pela desigualdade
(4.9), a se´rie
∞∑
k+1
uk tambe´m e´ convergente junto com a se´rie (4.6).
Se a se´rie (4.7) e´ divergente, enta˜o a se´rie
∞∑
k+1
vk(A − ε) tambe´m e´ divergente, e pela de-
sigualdade (4.9), a se´rie
∞∑
k+1
uk tambe´m e´ divergente junto com a se´rie (4.6).
40
Exemplo 4.17 Analize a convergeˆncia da seguinte se´rie
∞∑
n=1
1
n · 3n =
1
1 · 31 +
1
2 · 32 +
1
3 · 33 + . . .+
1
n · 3n + . . .
Observamos que o termo geral da se´rie un =
1
n · 3n <
1
3n
, ja´ sabemos que a se´rie geome´trica,
cujo termo geral e´
1
3n
, isto e´,
∞∑
n=1
1
3n
=
1
31
+
1
32
+
1
33
+ . . .+
1
3n
+ . . .
converge, logo pelo crite´rio acima, podemos concluir que a se´rie
∞∑
n=1
1
n · 3n tambe´m converge.
Exemplo 4.18 Analize a convergeˆncia da seguinte se´rie
∞∑
n=2
lnn
n
=
ln 2
2
+
ln 3
3
+
ln 4
4
+ . . .+
lnn
n
+ . . .
O termo geral da se´rie un =
lnn
n
>
1
n
. Ja´ sabemos que a se´rie Harmoˆnica, cujo termo geral e´
1
n
, diverge, portanto pela parte a) do crite´rio de comparac¸a˜o concluimos que a se´rie
∞∑
n=2
lnn
n
tambe´m diverge.
Exemplo 4.19 A seguinte se´rie
∞∑
n=1
1
2n− 1 = 1 +
1
3
+
1
5
+ . . .+
1
2n− 1 + . . .
e´ divergente, pois
lim
n→∞
(
1
2n− 1 :
1
n
)
=
1
2
6= 0,
e como ja´ sabemos a se´rie Harmoˆnica cujo termo geral e´
1
n
diverge.
Teorema 4.11.2 (Crite´rio de Cauchy) Consideremos a se´rie
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =
∞∑
n=1
un
com termos positivos.
a) Se
n
√
un ≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.10)
onde q na˜o depende de n, enta˜o a se´rie converge.
b) Se
lim
n→∞
n
√
un = q, (4.11)
enta˜o a se´rie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o crite´rio na˜o e´ conclusivo.
41
Prova: a) a desigualdade (5.8) implica que un < q
n (n = 1, 2, . . .), e como a se´rie
∞∑
n=1
qn
converge, segue que a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m converge.
b) Pela propriedade (5.3) com q < 1 segue que
n
√
un < q + ε < 1 (n ≥ no)
para um no suficientemente grande, portanto
un < (q + ε)
n.
Como a se´rie
∞∑
n=no
(q + ε)n e´ convergente, segue que a se´rie
∞∑
n=no
un e´ convergente ao igual que
a se´rie
∞∑
n=1
un.
Se a desigualdade (5.3) vale para q > 1, segue que un > 1 para todo n > no, onde no ∈ N e´ um
nu´mero suficientemente grande. E isto implica que a se´rie
∞∑
n=1
un diverge.
Exemplo 4.20 Analize a convergeˆncia da seguinte se´rie
∞∑
n=1
(
n
3n+ 1
)n
=
(
1
4
)1
+
(
2
7
)2
+
(
3
10
)3
+ . . .+
(
n
3n+ 1
)n
+ . . .
Aplicando o crite´rio de Cauchy ao termo geral da se´rie, temos
lim
n→∞
n
√
un = lim
n→∞
n
√(
n
3n+ 1
)n
= lim
n→∞
n
3n+ 1
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a se´rie converge.
Teorema 4.11.3 (Crite´rio de D´Alembert) Consideremos a se´rie
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =
∞∑
n=1
un
com termos positivos.
a) Se
un+1
un
≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.12)
enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
un converge; se
un+1
un
≥ 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.13)
enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
un diverge. b) Se
lim
n→∞
un+1
un
= q, (4.14)
enta˜o a se´rie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o crite´rio na˜o e´ conclusivo.
42
Prova: a) De (4.12) segue que u2 ≤ u1q, u3 ≤ u2q, un ≤ un−1q, portanto
un = u1q
n, q < 1 (n = 1, 2, . . . .
Como a se´rie
∞∑
n=1
u1q
n converge, segue que a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m converge.
Da relac¸a˜o (4.13), segue que un ≥ u1 (n = 1, 2, . . .)e, a se´rie u1 +u1 +u1 + . . . e´ divergente,
enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m e´ divergente.
b) Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q < 1, enta˜o para um nu´mero positivo ε satisfazendo a
condic¸a˜o q + ε < 1, temos
un+1
un
< q + ε < 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima, a se´rie
∞∑
n=no
un converge e por isso a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m converge.
Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q > 1, temos
un+1
un
> 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.
Como foi visto acima (4.13), a se´rie
∞∑
n=no
un diverge e por isso a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m diverge.
Exemplo 4.21 Analize a convergeˆncia da seguinte se´rie
∞∑
n=1
3n+ 1
3n
=
4
3
+
7
32
+
10
33
+ . . .+
3n+ 1
3n
+ . . .
Observamos que;
un =
3n+ 1
3n
, un+1 =
3n+ 4
3n+1
.
Aplicando o crite´rio de D´Alembert, temos
lim
n→∞
un+1
un
= lim
n→∞
3n+ 4
3n+1
3n+ 1
3n
= lim
n→∞
3n(3n+ 4)
3n+1(3n+ 1)
=
= lim
n→∞
3n+ 4
3(3n+ 1)
=
1
3
lim
n→∞
3n+ 4
3n+ 1
=
1
3
lim
n→∞
3 + 4
n
3 + 1
n
=
1
3
< 1.
Logo, podemos concluir que a se´rie converge.
Teorema 4.11.4 (Crite´rio Integral de Cauchy) Consideremos a se´rie
u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =
∞∑
n=1
un
43
com termos positivos, tais que
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
Se existe uma func¸a˜o f(x) cont´ınua e na˜o crescente, tal que
f(1) = u1; f(2) = u2; f(3) = u3; . . . f(n) =un.
Enta˜o podemos afirmar que se a integral impro´pria∫ ∞
1
f(x)dx
converge, enta˜o, a se´rie
∞∑
n=1
un tambe´m converge, mas se a integral diverge(ou e´ igual a infinito),
a se´rie diverge.
Prova:
Exemplo 4.22 Estudar a convergeˆncia da p-se´rie
∞∑
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ . . .+
1
np
+ . . .
Seja f(n) =
1
np
, enta˜o f(x) =
1
xp
. Comparemos a p-se´rie com a integral impro´pria∫ ∞
1
dx
xp
.
Enta˜o, temos
∫ ∞
1
dx
xp
= lim
A→∞
∫ A
1
dx
xp
=

1
1− px
1−p
∣∣∣A
1
=
1
1− p(A
1−p − 1) para p 6= 1
lnx
∣∣∣A
1
= lnA para p = 1.
Tomando o limite quando A→∞, obtemos
1. Se p > 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
=
1
p− 1 converge, por isso a se´rie converge.
2. Se p < 1, a integral
∫ ∞
1
dx
xp
=∞ diverge, por isso a se´rie diverge.
3. Se p = 1, a integral
∫ ∞
1
dx
x
= +∞ diverge,por isso a se´rie diverge.
44
4.12 Se´ries Alternadas. Teorema de Leibnitz
Consideremos agora uma se´rie onde os sinais dos seus termos sa˜o alternados isto e´, positivos
e negativos. Tais se´ries sa˜o da forma
∞∑
n=1
(−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − . . .+ (−1)n+1un + . . .
com u1, u2, u3, . . . positivos.
Teorema 4.12.1 (Crite´rio de Leibnitz) Consideremos a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − . . .+ (−1)n+1un + . . .
com termos positivos, tais que formam uma sequeˆncia decrescente, isto e´
u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .
e se
lim
n→∞
un = 0
Enta˜o podemos afirmar que a se´rie alternada converge e sua soma na˜o e´ maior que o primeiro
termo.
Prova: Analizemos primeiramente a soma parcial de um nu´mero par de termos, isto e´,
S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . .+ u2n−1 − u2n.
Pela hipo´tese do teorema, os valores dos termos da se´rie decrescem quando n cresce, enta˜o,
uk ≥ uk+1 e u2n+1 − u2n+2 ≥ 0,
e por isso
S2n+2 = S2n + u2n+1 − u2n+2 ≥ S2n,
isto e´, a sequeˆncia S2n)n e´ crescente. De outro lado, temos
S2n = u1 − (u2 − u3)− (u4 − u5) + . . .− (u2n−2 − u2n−1)− u2n ≤ u1.
Desta forma temos que
0 ≤ S2m ≤ u1,
e isto significa que a a sequeˆncia (S2n)n e´ limitada. Como a a sequeˆncia (S2n)n e´ mono´tona
crescente e limitada , enta˜o ela e´ convergente, isto e´,
lim
n→∞
S2n = S.
Ale´m disto, temos
S2n+1 = S2n + u2n+1,
por isso,
lim
n→∞
S2n+1 = lim
n→∞
(S2n + u2n+1) = S,
pois por hipo´tese
lim
n→∞
un = 0.
45
Cap´ıtulo 5
Func¸o˜es e suas Propriedades
5.1 Conceitos Ba´sicos
Seja X um conjunto nume´rico. Suponhamos que seja dado uma lei f pela qual a cada
nu´mero x ∈ X fazemos corresponder com um u´nico nu´mero y ∈ Y . Enta˜o dizemos que esta´
definida uma func¸a˜o y = f(x) com domı´nio de definic¸a˜o X.
O conjunto Y de todos os valores de y, que para cada um deles existe ao menos um x ∈ X
tal que y = f(x), chama-se Imagem da func¸a˜o f . A notac¸a˜o que usaremos para denotar que f
e´ uma func¸a˜o de X em Y e´ a seguinte;
f : X → Y
x 7→ f(x)
a notac¸a˜o x 7→ f(x) e´ para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).
Definic¸a˜o 5.1.1 O conjunto X chama-se domı´nio da func¸a˜o e o conjunto Y chama-se con-
tradomı´nio da func¸a˜o e os definiremos como
Df = {x ∈ X; f(x) = y para algu´m y ∈ Y }
e
Im(f) = {y ∈ Y ; ∃x ∈ X tal que f(x) = y}
respectivamente.
Definic¸a˜o 5.1.2 O gra´fico de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o subconjunto denotado por G(f) e
definido, como sendo
G(f) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)} ⊂ X × Y.
46
X X
Y
Y
x
f(x)
(x,f(x))
G(f)
x
A figura a esquerda e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f : X → Y , no entanto a figura da direita
na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f : X → Y .
Definic¸a˜o 5.1.3 Uma func¸a˜o f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados
x, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras palavras, se tivermos x1, x2 ∈ A, com
x1 6= x2 implica
f(x1) 6= f(x2).
Claramente a func¸a˜o I : A → A identidade e´ injetora e a func¸a˜o constante e´ injetora se e
somente se A possuir apenas um elemento.
Definic¸a˜o 5.1.4 Uma func¸a˜o f : A→ B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,
ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.
E´ conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f e´ uma func¸a˜o do conjunto A ”sobre”
o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f e´ uma func¸a˜o de
A ”em” B.
Definic¸a˜o 5.1.5 Dada uma func¸a˜o f : A→ B e dado Y ⊂ f(A), o conjunto
f−1(Y ) = {x;x ∈ A tal que f(x) ∈ Y }
e´ chamado de imagem inversa do conjunto Y pela f .
Assim, da definic¸a˜o segue que f−1(Y ) ⊂ A.
Definic¸a˜o 5.1.6 Uma func¸a˜o f : A→ B chama-se bijetiva quando e´ simultaneamente injetiva
e sobrejetiva.
Se a func¸a˜o esta dada mediante uma fo´rmula, enta˜o dizemos que ela esta´ definida de forma
anal´ıtica. Por exemplo, cada uma das func¸o˜es:
1. y = x3, x ∈ [0,∞)
47
2. y =
x
x2 + 3x
, x ∈ R
3. y =
{
x, se x ≤ 0,
x2 − 2x, se x > 0.
Exemplo 5.1 Encontre o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o f(x) =
1√
1− x2 .
Soluc¸a˜o: O domı´nio da func¸a˜o dada consiste de todos os pontos x para os quais a expresa˜o√
1− x2 tem sentido e e´ poss´ıvel a divisa˜o por √1− x2. Desta forma, temos 1− x2 > 0, isto e´
|x| < 1. Portanto o domı´nio da func¸a˜o acima e´ o intervalo (−1, 1).
Exemplo 5.2 Encontre o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o f(x) + g(x), se
f(x) =
√
ln(2−√x− 1) e g(x) =
√
− log0,2(x− 1)√−x2 + 2x+ 8 .
Soluc¸a˜o: Como
ln(2−√x− 1) ≥ 0 ⇐⇒ 2−√x− 1 ≥ 1 ⇐⇒ 1 ≥ √x− 1 ⇐⇒
⇐⇒
{
x− 1 ≥ 0
1 ≥ x− 1 ⇐⇒
{
x ≥ 1
x ≤ 2 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 2,
enta˜o o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o f(x) e´ o intervalo [1, 2].
Como
−x2 + 2x+ 8 > 0 ⇐⇒ x2 − 2x− 8 < 0 ⇐⇒ (x− 4)(x+ 2) < 0 ⇐⇒
⇐⇒ −2 < x < 4,
− log0,2 x− 1) ≥ 0 ⇐⇒ log0,2(x− 1) ≤ 0 ⇐⇒ x− 1 ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ 2,
enta˜o, resolvendo o sistema { −2 < x < 4,
x ≥ 2,
encontramos que o domı´nio de existeˆncia da func¸a˜o g(x) e´ o intervalo [2, 4).
Resolvendo o sistema {
1 ≤ x ≤ 2,
2 ≤ x < 4,
encontramos que o domı´nio da func¸a˜o f(x) + g(x) consiste de um u´nico ponto x = 2.
Exemplo 5.3 Demonstre que a func¸a˜o y = 2x e y = |x − 1| + |x + 1| sa˜o equivalentes no
intervalo [1,+∞).
Soluc¸a˜o: Se x ≥ 1 enta˜o x− 1 ≥ 0 e x + 1 > 0, e por isso |x− 1| = x− 1 e |x + 1| = x + 1,
portanto,
|x− 1|+ |x+ 1| = x− 1 + x+ 1 = 2x.
Assim, para cada x ∈ [1,+∞), vale a igualdade |x − 1| + |x + 1| = 2x, e por isso as func¸o˜es
dadas sa˜o equivalentes no intervalo [1,+∞).
O nu´mero xo do domı´nio da func¸a˜o f(x) chama-se zero da func¸a˜o se f(xo) = 0.
Por exemplo, o nu´mero xo = 1 e´ um zero da func¸a˜o y = log2 x, pois log2 1 = 0.
48
5.1.1 Func¸a˜o Inversa
Seja dada a func¸a˜o f : X → Y , que a cada diferentes x ∈ X corresponde diferentes y ∈ Y ,
enta˜o a func¸a˜o x = f−1(y) chamase func¸a˜o inversa de f(x), x ∈ X. Com isto, a func¸a˜o inversa
possui domı´nio Y e imagem X, e a cada yo corresponde xo, tal que f(xo) = yo, xo ∈ X. Portanto
para cada x ∈ X, temos
f−1(f(x)) = x, x ∈ X.
Desta forma,, se f : X → Y e a func¸a˜o f(x) e´ tal que f(x1) 6= f(x2) quando x1 6= x2 e
x1, x2 ∈ X, enta˜o f−1 : Y → X e
f−1(f) : X → X,
f(f−1) : Y → X,
com isto
f−1(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1(y)) ≡ y, y ∈ Y.
O par de func¸o˜es f e f−1 sa˜o mutuamente inversas.
Quando estudamos as func¸o˜es inversas f e f−1, as varia´veis dependentes costuma-se indicar
por x, e os valores destas func¸o˜es indica-se por y. Em outras palavras, para a func¸a˜o y =
f(x), x ∈ X, a func¸a˜o inversa escreve-se na forma y = f−1(x), x ∈ Y .
Notamos que com estas novas notac¸o˜es, temos as seguintes identidades:
f−1(f(x)) ≡ x, x ∈ X,
f(f−1(x)) ≡ x, x ∈ Y.
Por exemplo, as func¸o˜es y = x + 3, x ∈ R, e y = x − 3, x ∈ R e tambe´m as func¸o˜es y = xn e
y = n
√
x sa˜o func¸o˜es inversas.
f(x1) = y1 ⇐⇒ f−1(y1) = x1, enta˜o o par