Lista extra de Exercicios para P2 de Vibracoes I R

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Lista de Exercícios extras para P2. Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez 
 
UERJ – Instituto Politécnico 
Monitoria de Vibrações I – R. 2015/1. Monitor: Gustavo Frez 
Lista de Exercícios Extras para P2 de Vibrações I – R 
* Excitação Senoidal, 
* Isolamento de Vibrações e 
* Desbalanceamento Rotativo. 
 
Outros exercícios do RAO, além da lista que o professor passou, que indico fazer: 
3.20, 3.35 (use ζ = 0,01 para resolver a questão), 3.36, 3.39, 3.50, 3.52, 3.60. 
 
1) Observa-se que a vibração livre de uma haste vertical engastada cai de uma amplitude 
inicial de 20 mm à metade desse valor em 10 ciclos. Calcular a amplitude da resposta 
permanente na ressonância quando a base da viga é excitada pelo deslocamento horizontal 
harmônico u = 0,001 sen(ωnt), em m. 
 
 
2) Um motor elétrico, de massa 25 kg, está montado sobre a extremidade de uma viga 
horizontal em balanço. Em vibração livre, a razão entre duas amplitudes consecutivas 
quaisquer é 2:1. Calcular a transmissibilidade quando o motor estiver operando em uma 
rotação tal que ω = 5ωn. 
 
3) Um motor elétrico aciona um equipamento mecânico a uma velocidade de 1750 rpm. O 
sistema está montado sobre calços de borracha os quais apresentaram uma deflexão 
estática de 5 mm. Determinar o percentual de força transmitida à fundação se o fator de 
amortecimento do sistema for 0,25. 
 
4) Um equipamento eletromecânico está montado sobre um conjunto de isoladores de 
borracha. O sistema, cuja frequência natural é 500 rpm, exibe, na ressonância, um fator de 
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amplificação igual a 5. A partir de qual frequência a transmissibilidade de força é reduzida 
a 50%? 
 
5) A figura mostra a resposta em frequência do movimento vertical do piso nas 
proximidades de uma prensa. Estimar o fator de amortecimento ζ e calcular a 
transmissibilidade a 1800 rpm. 
 
 
6) Um bloco de massa 35 kg está ligado a um suporte através de uma mola de rigidez 1,4 ∙ 
106 N/m e um amortecedor de coeficiente de amortecimento 
1,8 ∙ 10³ N∙s/m. O suporte se movimenta com deslocamento harmônico de amplitude 10 
mm e frequência 35 Hz. Calcular a amplitude da resposta permanente do bloco. 
 
7) Uma máquina de 25 kg está montada em uma fundação elástica. Uma força senoidal de 
magnitude 25 N é aplicada à máquina. A curva de frequência mostra que a amplitude 
máxima é de 1,3 mm quando o período da resposta é de 0,22 s. determine a rigidez 
equivalente e a razão de amortecimento da fundação. 
 
8) (PUC) Um ventilador de 45 kg tem um desbalanceamento que origina uma força 
harmônica. Um sistema mola-amortecedor é projetado para minimizar a força transmitida 
à base do ventilador. Um amortecedor com ζ = 0, 2 é usado. Calcule a rigidez da mola de 
modo que somente 10% da força seja transmitida ao solo quando o ventilador funcionar a 
10.000 rpm. Explique detalhadamente a solução. 
 
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9) Modele a suspensão de um carro como um sistema de um grau de liberdade composto 
por um elemento de massa (que representa a massa total do veículo e dos elementos da 
suspensão), de rigidez e de amortecimento. Considere que esse carro anda sobre uma 
estrada esburacada, em alta velocidade, que pode ser modelada como y(t) = Ysen(ωt), 
onde ω depende do comprimento de onda λ da estrada e da velocidade v do veículo. 
Supondo que determinada estrada tenha amplitude de 20 cm e comprimento de onda de 2 
m e o veículo que trafega sobre ela tenha massa de 2000 kg e suspensão com rigidez de 
7,90 ∙ 106 N/m e amortecimento de valor 1,41 ∙ 105 N∙s/m e trafega a 180 km/h. Faça um 
esquema representando essa situação e determine a amplitude de oscilação do veículo. 
 
10) (PUC) Uma máquina de 2000 N está sobre um suporte flexível. O suporte tem deflexão 
de 5 cm devido ao peso da máquina. Devido a uma outra máquina, o suporte se move 
harmonicamente com amplitude de 0,2 cm na ressonância. Supondo que o fator de 
amortecimento é de 0,01, calcule a força transmitida e a amplitude do deslocamento 
transmitido à máquina. 
 
11) (PUC) Considere que a frequência ωr, do sistema da figura, é variável. À medida que a 
frequência muda, nota-se que, na ressonância (ωr = 10 rad/s), a amplitude do 
deslocamento é igual a 10 mm. Quando a frequência de excitação é muito maior que a 
frequência de ressonância, a amplitude do deslocamento permanece fixa em 1 mm. 
a) estime a razão de amortecimento do sistema. 
b) Se e = 0,1 cm, encontre a razão m0/m. 
c) encontre a resposta, em estado permanente, do sistema quando ωr = 10 rad/s. 
 
 
12) Um motor elétrico possui massa de 20 kg e deve ser instalado sobre 4 absorvedores de 
vibração. Esse motor deve operar na faixa de 100 a 1000 rpm, e seu rotor possui um 
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desbalanceamento representado pela força F0 = 0,05 ω², onde F0 é expressa em Newtons e 
ω é a rotação do motor em rad/s. considere os três tipos de absorvedores da tabela abaixo, 
despreze qualquer efeito dissipativo e admita apenas o movimento vibratório na direção 
vertical. 
a) Faça um esquema representando a situação descrita. 
b) determine as frequências de ressonância do sistema correspondentes aos três tipos de 
absorvedores apresentados (em rpm). 
c) Como engenheiro mecânico, especifique qual o absorvedor deve ser utilizado de modo a 
atender a requisitos de montagem que limitam o deslocamento vibratório máximo do 
motor em 1,0 mm. 
Constantes elásticas dos absorvedores de vibrações 
Tipo k [N/m] 
A 200000 
B 20000 
C 445 
 
13) (PUC) Um ventilador centrífugo pesa 444,8 N e tem um desequilíbrio rotativo de 88,96 
N localizado a 25,4 mm do centro de rotação. Quando são usados amortecedores com fator 
de amortecimento de 0,2, especifique as molas para montagem tais que somente 10% da 
força de desequilíbrio seja transmitida para o chão. Determine também a intensidade da 
força transmitida. O ventilador gira com velocidade de 1000 rpm. 
 
14) (PUC) A fim de diminuir o movimento vibratório transmitido para os instrumentos, os 
painéis de instrumentos são montados em isoladores como acontece nos aviões. Se o 
isolador, tendo muito pequeno amortecimento, abaixa 3,175 mm sob um peso de 222,4 N, 
calcule a porcentagem de movimento transmitido ao painel de instrumentos se a vibração 
do avião ocorre a 2000 rpm. 
 
15) Um peso excitador, formado de peças excêntricas que giram em sentidos contrários, é 
utilizado para produzir oscilação forçada em massa suportado por molas e um 
amortecedor, como na figura. 
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A amplitude de ressonância é de 0,60 in, com a variação da velocidade. Quando se 
aumentou a velocidade de rotação muito além da frequência de ressonância, notou-se que 
a ampltiude se aproximava de um valor fixo de 0,08 in. Calcule o fator de amortecimento 
do sistema. 
 
16) Um sistema massa-mola é excitado por uma força senoidal. A amplitude medida na 
ressonância é 0,58 in. Na frequência ressonante, de 0,80, a amplitude medida é de 0,46 in. 
Determinar o fator de amortecimento do sistema. (Dica: suponha que o termo de 
amortecimento seja desprezível para ressonância a 0,80). 
 
17) O ponto B de fixação da mola recebe um movimento horizontal 
xB = b∙cos(ωt). Determine a frequência de excitação crítica para a qual as oscilações da 
massa m tendem a se tornar excessivamente grandes. Despreze o atrito e a massa associadaàs polias. As duas molas têm rigidez k. 
 
18) O pistão de 45 kg é apoiado por uma mola de constante k = 35 kN/m. Um amortecedor 
c = 1250 N∙s/m atua em paralelo com a mola. Uma pressão flutuante p = 1000sen(30t), em 
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Pa, atua sobre o pistão, cuja área da superfície é de 50∙10−3 m². Determine o deslocamento, 
em regime permanente, como uma função do tempo e a força máxima transmitida para a 
base. 
 
 
19) Determine a amplitude do movimento, em regime permanente, da massa de 10 kg 
quando c for: 
a) 500 N∙s/m 
b) 0 N∙s/m 
 
 
20) Um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é excitado por uma força 
harmônica com amplitude constante e frequência variável. Se a amplitude do movimento 
em regime permanente decresce por um fator de 8 quando a razão de frequências ω/ωn é 
variada de 1 para 2, determine o fator de amortecimento ζ do sistema. 
 
21) O carrinho de 30 kg é acionado pela força harmônica mostrada na figura. Se c = 0, 
determine a faixa de frequências de excitação ω para qual a intensidade da resposta em 
regime permanente é inferior a 75 mm. 
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22) Se o coeficiente de amortecimento viscoso do amortecedor do problema anterior é c = 
36 N∙s/m, determine a faixa de frequência de excitação ω para a qual o módulo da resposta 
em regime permanente é inferior a 75 mm. 
 
23) O corpo de 2 kg está fixado a duas molas, cada uma das quais com uma rigidez de 1,2 
kN/m. O corpo está montado sobre uma mesa vibratória que oscila harmonicamente na 
direção horizontal com uma amplitude de 12 mm e uma frequência ƒ que pode ser variada. 
O fornecimento de energia elétrica para a mesa vibratória é desligado quando o contato 
elétrico é feito em A ou B. determine o valor máximo da frequência f em que a mesa 
vibratória pode ser operada sem desligar o aparelho, quando ele parte do repouso e 
aumenta sua frequência gradualmente. Despreze o amortecimento. A posição de equilíbrio 
é centralizada entre os contatos fixos. 
 
 
24) O bloco de massa 45 kg é suspenso por duas molas cada uma com rigidez de 3 kN/m, e 
está sob a ação de uma força harmônica de amplitude 350 N e frequência de 15 rad/s. 
determine a amplitude do movimento em regime estacionário (permanente) se o 
coeficiente de amortecimento for 
a) 0; 
b) 900 N∙s/m 
c) Compare as amplitudes das letras a) e b) com a deflexão estática das molas. 
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25) Um sistema massa-mola-amortecedor é forçado harmonicamente na frequência 
natural não amortecida (ω/ωn = 1). Se o fator de amortecimento é duplicado de 0,1 para 
0,2, calcule a porcentagem de redução na amplitude, em regime permanente. Em seguida, 
compare essa redução com uma redução se ω/ωn = 2. 
 
26) Um motor de gasolina, de quatro tempos e um único cilindro, com uma massa de 90 kg, 
está montado sobre quatro coxins elásticos duros, cada um com rigidez de 30 ∙ 10³ kN/m, 
e é projetado para operar a 3600 rpm. O sistema de sustentação está equipado com 
amortecedores viscosos, que possuem um coeficiente de amortecimento viscoso 
combinado d suficientemente grande para que o sistema seja criticamente amortecido 
quando recebe um deslocamento vertical e em segiuda é liberado, enquanto não está 
trabalhando. Quando o motor está funcionando, ele inflama o combustível alternadamente, 
uma rotação sim, outra não, causando um deslocamento vertical periódico modelado por 
[1,2 cos(ωt)] mm, com t em segundos. Determine o fator de amplificação |G(jω)| e o 
coeficiente de amortecimento total d. 
 
27) Determine uma expressão, em termos do fator de amortecimento ζ, para a razão de 
frequência na qual o máximo ocorre e além disso, uma expressão para o valor máximo da 
FRF. 
 
28) Cada uma das esferas tâm massa de 0,5 kg está presa à extremidade da haste elástica 
leve e se desloca de 4 mm quando uma força de 2 N é aplicada estaticamente à esfera. Se o 
cursor central recebe um movimento harmônico vertical com uma frequência de 4 Hz e 
uma amplitude de 3 mm, determine a amplitude da vibração vertical de cada esfera. 
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29) Um compressor de ar de 100 kg está montado sobre uma fundação elástica. Observou-
se que, quando uma força harmônica de amplitude 100 N é aplicada ao compressor, o 
deslocamento máximo em regime permanente, de 5 mm, ocorreu a uma frequência de 300 
rpm. Deduza as fórmulas para frequência de pico e de FRF máximo e determine a razão de 
amortecimento do sistema. 
 
30) O instrumento mostrado possui uma massa de 43 kg e é ligado por molas à base 
horizontal. Se a amplitude de vibração vertical da base é de 0,1 mm, calcule a faixa de 
frequência ƒn, em Hz, de vibração da base que deve ser impedida, se a amplitude de vibração 
vertical do instrumento não deve ser superior a 0,15 mm. Cada uma das quatro molas 
idênticas possui uma rigidez de 7,2 kN/m. 
 
 
31) A peça anexa B recebe um movimento horizontal xB. Faça um diagrama de corpo livre 
mostrando as forças que atuam na peça de massa m, desenvolva a equação de movimento 
para a massa m e determine a frequência crítica ωc e o fator de amortecimento. 
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32) Um dispositivo para produzir vibrações é constituído de dois volantes que giram em 
sentidos opostos, cada um contendo uma massa excêntrica m0 de 1 kg, com um centro de 
massa a uma distância e de 12 mm do seu eixo de rotação. Os volantes são sincronizados 
de modo que as posições verticais das massas desbalanceadas são sempre idênticas. A 
massa total do dispositivo é de 10 kg. Determine os dois valores possíveis da constante de 
rigidez equivalente para a montagem, que permitirão a amplitude da força periódica 
transmitida ao suporte fixo ser igual a 1500 N, devido ao desbalanceamento dos rotores a 
uma velocidade de rotação de 1800 rpm. 
 
 
33) Uma máquina de 200 kg se apoia sobre quatro suportes no chão, cada um dos quais 
possui uma constante de mola efetiva de 250 kN/m e coeficiente de amortecimento viscoso 
1000 N∙s/m. Sabe-se que o chão vibra verticalmente com uma frequência de 24 Hz. Qual 
será o efeito sobre a amplitude de oscilação absoluta da máquina se os suportes forem 
substituídos por outros novos, que possuem a mesma constante de mola efetiva, porém o 
dobro do coeficiente de amortecimento efetivo? Além disso, desenhe um esquema do 
problema e determine a sua equação de movimento. 
 
34) O motor elétrico tem massa de 50 kg e é suportado por 4 molas cada uma com rigidez 
de 100 N/m. Se o motor gira um disco montado excentricamente, a 20 mm do eixo, 
determine a velocidade angular de rotação ω para a qual ocorre a ressonância. 
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35) Um motor elétrico gira um volante excêntrico equivalente a um peso não balanceado 
de 0,25 lb localizado a 10 in do eixo de rotação. Se o peso do motor é de 150 lb e causa na 
viga uma deflexão estática de 1 in, determine 
a) a velocidade angular do volante quando ocorre ressonância, 
b) a amplitude de vibração em regime permanente se a velocidade angular do volante for 
de 20 rad/s e 
c) a velocidade angular do volante que produza uma amplitude de vibração de 0,25 in. 
 
 
36) Um motor está montado sobre um bloco de fundação suportadopor molas. Descreva a 
vibração do sistema, em regime permanente, se o bloco e o motor têm peso total de 1500 
lb e o motor em funcionamento gera uma força excitante F = [50 sen (2t)] lb, onde t é dado 
em segundos. Suponha que o sistema vibre apenas na direção vertical, com deslocamentos 
positivos medidos para baixo. A rigidez equivalente do conjunto de molas é de 2000 lb/ft. 
 
37) Suspende-se um bloco de 7 lb por meio de uma mola de rigidez k = 75 lb/ft. O suporte 
que prende a mola tem um movimento harmônico simples expresso por y(t) = [0,15 
sen(2t)] ft, onde t é em segundos. Se o fator de amortecimento é c/cc = 0,8, determine a 
resposta do sistema em regime estacionário. 
 
38) O bloco da figura está submetido a uma força harmônica F, em N, e t é dado em 
segundos. Faça um diagrama de corpo livre do sistema e determine a resposta do sistema 
em regime estacionário. 
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39) Faça um diagrama de corpo livre e determine sua equação de movimento e escreva a 
resposta do sistema abaixo, considerando θ = 30°, k = 1000 N/m, 
m = 50 kg. 
 
 
40) Vibrações no corpo humano são problemas significativos no projeto de máquinas e 
estruturas. Um martelo pneumático transmite uma excitação harmônica ao braço do 
operador. Para modelar essa situação, o antebraço é considerado como um pêndulo, 
pivotado em O, que sofre a ação de uma força harmônica (como pode ser observado na 
figura abaixo). Determine a equação dinâmica do antebraço. Considerando m = 6 kg e l = 
44,2 cm, determine a máxima deflexão da mão, que está no fim do braço e sofre a ação da 
força harmônica da britadeira de magnitude 10 N e frequência de 2 Hz. I = (ml²)/3. 
 
 
41) O pêndulo abaixo é pivotado em O. Calcule a frequência natural e a frequência 
amortecida do sistema para pequenas variações do ângulo em relação a O. Além disso, 
determine a frequência de ressonância. 
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42) A figura abaixo representa o pedal de um instrumento musical, faça o diagrama de 
corpo livre e 
a) escreva a equação dinâmica do sistema em função de θ , se k = 2000 N/m, c = 25 N∙s/m, 
m = 25 kg e F(t) = 50 cos(2πt). 
b) determine a resposta em regime estacionário. 
d) determine ζ e classifique o sistema. 
 
 
43) Um sistema com 1 GDL possui massa equivalente de 10 kg e rigidez equivalente de 
1000 N/m. Escreva a equação de movimento, em unidades consistentes, para esse sistema 
sabendo que ele sofre uma perturbação harmônica cossenoidal com amplitude de 10 N e 
defasagem de 30°. Além disso, como engenheiro mecânico, determine a faixa de frequência, 
em Hz, que essa perturbação pode ter, de modo que a resposta em regime permanente 
tenha amplitude menor do que 0,02 m. 
 
45) O ventilador tem massa de 25 kg e está preso na extremidade de uma viga horizontal 
de massa desprezível, conforme a figura abaixo. As pás estão montadas excentricamente 
no eixo, de modo que elas são equivalentes a uma massa desbalanceada de 3,5 kg e 
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localizada a 100 mm do eixo de rotação. Se a deflexão máxima estática da viga causada pelo 
peso do ventilador é de 50 mm, determine a amplitude da vibração do ventilador, no regime 
estacionário, quando sua velocidade angular é de 10 rad/s. 
 
 
45) A figura abaixo mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar 
no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O veículo tem 1200 kg de massa 
e o sistema de suspensão apresenta os seguintes valores k = 400 kN/m e ζ = 0,5. Se a 
velocidade do veículo for de 20 km/h, determine a amplitude de deslocamento do veículo. 
O leito da estrada apresenta variação senoidal com amplitude de 0,05 m e comprimento de 
onda de 6 m. 
 
 
 
BOA SORTE! 
 
 
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Respostas: 
1) 45,326 mm 
2) 0,062 
3) 14,14% 
4) 879,556 rpm 
5) 0,0625 & 0,133 
6) 29,555 mm 
7) 0,369 & 2,803∙104 N/m 
8) 2,215 ∙ 106 N/m 
9) 100,075 mm 
10) 0,100 m & 4 kN 
11) a) 0,05 
b) 1 
c) y(t) = [0,01sen(10t – π/2)] m 
12) a) --- 
b) 1909,859; 603,951; 90,088. 
c) Apenas o “A”. 
13) 2,231 ∙ 104 N/m & 252,590 N 
14) 7,578% 
17) 0,066667 
18) 0,184696 
19) √(5k/m) 
20) y(t) = [5,276sen(30t − 1,716)] mm & 270,636 N. 
21) a) 13,440 mm 
b) 22,727 mm 
22) 0,193649 
21) ω < 4,989 rad/s ou ω > 6,864 rad/s 
22) ω < 5,176 rad/s ou ω > 6,616 rad/s 
23) 3,976 Hz 
24) 84,848 mm; 24,794 mm; 74,575 mm 
25) 50%; 2,52% 
26) 0,974044; 207846,097 N∙s/m 
27) ω/ωn = √(1 – 2ζ²); |G(jω)| = 1/[2ζ√(1 – ζ²)] 
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28) 8,145 mm 
29) Dedução: vide questão 27; ζ = 0,099801. 
30) 2,378 < fn < 5,317 Hz 
31) ωc = √
k1+k2
m
; ζ=
c
2√(k1+k2)m
 
32) 2,267 ∙ 105 N/m; 8,234 ∙ 105 N/m. 
33) Aumento de 28,856% 
34) 2,828 rad/s 
35) a) 19,657 rad/s 
b) 0,490 in 
c) 18,966 rad/s 
36) [0,027568 sen (2t)] ft 
37) [0,149505 sen (2t − 0,172569)] ft 
38) [0,119323 cos (6t − 1,464531)] m 
39) y(t) = 0,130909 sen(2,5t) 
40)
ml2
3
θ̈ +
mgl
2
θ = F0l cos ωt & 0,080243 m 
41) ωn = √
kl1
2 + mgl
ml2 
 também de ressonância & 
ωd = √(
kl1
2 + mgl
ml2 
) (1 −
c2l2
4
4(kl1
2 + mgl)ml2
) 
42) a) 0,5625θ̈ + 0,25θ̇ + 5θ = 7,5 cos 2πt 
b) θ(t) = 0,434075 cos(2πt + 0,091038) rad 
c) 0,074536; Subamortecido 
43) 0 ≤ ω < 5√2 ou ω > 5√6 
44) 14,554 mm 
45) 55,048 mm