TG Estudos Disciplinares VII

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
TG – ATIVIDADES DISCIPLINARES VII
 
ANDRÉ AGUIAR PAES LEME – RA 1643119
CRUZEIRO
2017
SUMÁRIO
1. PERGUNTA	3
2. RESPOSTA	4
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	7
1. PERGUNTA
As derivadas constituem uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções, desta forma, o estudo das derivadas é amplamente utilizado em aplicações práticas nos mais diversos campos da ciência, como geometria, engenharia, física, biologia, economia, entre outros. Com base nos seus conhecimentos de derivadas, procure exemplos de diferentes aplicações deste conceito nos demais campos da ciência. Mostre como este recurso é utilizado nestas diferentes áreas.
2. RESPOSTA
A derivada é uma importante ferramenta não só para a matemática, mas também para as mais diversas áreas. Com esta atividade, é possível exemplificar tal aplicação em alguns problemas propostos.
 
MARQUES (2006) descreve que problemas em administração e economia na maioria das vezes envolvem maximização de lucro e receita, e minimização de custos. Com o auxílio da derivada, pode-se calcular o máximo de lucro que uma indústria pode obter e o menor custo, na confecção do produto. Segundo MUNEM & FOULIS (1982), em economia, o termo “marginal” é frequentemente usado como um sinônimo virtual para “derivada de”. Por exemplo, se C é uma função custo tal que C (x) é o custo da produção de x unidades de certa mercadoria, C‘ (x) é chamado de custo marginal da produção de x unidades e C‘ é chamada de função custo marginal. Desse modo, o custo marginal é a taxa de variação do custo da produção por variação da produção por unidade.
Problema 1: Sabendo-se que o custo total de produção de x microondas por dia é de R$ ( ) e o preço unitário é de R$ (100 – x). Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máximo?
Solução 1: O Lucro Total é dado por L = Receita (R) – Custo (C), onde a Receita = P(x).x
C (x) = ( ), P(x) = (100 – x) e R(x) = 
L(x) = R(x) – C(x) = 
L(x) = 
L(x) = 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação à x ,
L’(x) = 
Para calcular os pontos críticos de L é só igualar L'(x) a zero, ou seja, L’(x) = 0, e tem-se que , que resultará em , ponto critico da função. Portanto, é preciso fabricar
10 microondas por dia.
Problema 2: No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$ 1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro?
Solução 2: Inicialmente, observe que o lucro é de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o número de centavos que o pipoqueiro baixa no preço de cada pacote; o lucro na venda de cada pacote de pipoca será então de centavos, e a quantidade vendida será . O lucro total é, portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a quantidade vendida, ou seja,
L = L(x) = 
L(x) = 
Agora, deve-se maximizar a função L(x) . Como L é uma função polinomial, acontece quando iguala sua derivada à zero (uma vez que a derivada sempre existe) e resolvendo a equação resultante. Sendo:
L’(x) = 
Como a derivada segunda de L é igual a L’’(x) = , portanto negativa para qualquer valor de x , segue que x = 150 é um ponto de máximo. Assim, o preço de venda que dará o maior lucro é de R$ 3,00.
Problema 3: O preço da produção de unidades carpetes para sala de estar é dado pela função . Se o preço de venda de cada bateria é , para , determine o número de baterias que devem ser fabricadas e vendidas para que o lucro seja máximo.
Solução 3: A função lucro será denotada por:
L(x) = 
L(x) = 
L(x) = 
L(x) = 
Derivando a função Lucro e igualando a zero para determinar o ponto crítico:
L’(x) = 
L’(x) = 
Sendo assim, o número de carpetes fabricados para que o lucro seja máximo é de 20.000.
Tendo em vista os aspectos apresentados, percebe-se que, com o auxílio da derivada, é patente o fato de esta resolver diversas situações no cotidiano e em diversas áreas. Tradicionalmente, os livros didáticos de cálculo focam na apresentação teórica de definições, na qual os exercícios propostos tratam de casos numéricos, não de aplicações reais que fazem parte da vivência do estudante. Atividades práticas no ensino de cálculo, além de atrair a atenção dos alunos, pode incentivá-los a se dedicarem mais à matéria, propiciando assim, uma aprendizagem mais sólida dos conteúdos. A partir desta proposta, o presente trabalho apresentou três aplicações de cálculo, demonstrando a importância dessa disciplina para o desenvolvimento dos mais variados tipos de aplicações.
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_anderso_marcolino.pdf
 http://www.imef.furg.br/images/stories/Monografias/Matematica_aplicada/Lucas-Marchand-TCC-da-Matemtica-Aplicada.pdf
 BIN YAN, SHANG-AN LI AND SONG-ZHI SU. 2010. Shape context with bilinear interpolation. In 2nd International Conference on Signal Processing Systems (ICSPS), 2: 442-446.
 BORTOLON, 1997. Simulação transiente das equações de águas rasas pelo método dos volumes finitos. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil.
 CURY, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica.
 http://www.ufjf.br/mestradoedumat/files/2011/05/DISSERTA%C3%87%C3%83O-DE-MESTRADO-_-Marcos-Raad.pdf