Gabarito Matemática Aplicada - Módulo IV

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Gabarito das Autoatividades
MATEMÁTICA APLICADA
(ADG)
2011/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
MATEMÁTICA APLICADA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade 
vendida. 
a) Obtenha a função receita.
b) Calcule R (40).
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 
700,00?
R.: a) R = 5x
b) R(40) = 5.40 = 200
c) Q = 140 peças
2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função 
C(x) = 100 + 2x. Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
R.: C(10)= 100 + 2.10 = 120 
3 Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais:
Empresa A - Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção 
vendida.
Empresa B - Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção 
vendida.
Faça uma análise e avalie qual é a melhor proposta salarial.
Qual é a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas 
empresas será o mesmo? 
R.: a) Cálculo do ponto de equilíbrio (mesmo custo) 
 
Empresa A Empresa B
 
SA = 800 + 15x SB = 600 + 20x
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Assim quando o Salário A = Salário B
800 + 15x = 600 + 20x
15x – 20x = 600 – 800
 - 5x = - 200
 x = 200/5
 x = 40
Então, 
Até 40 coleções o salário da Empresa A
A partir de 40 coleções o salário da Empresa B
Para 40 coleções (ponto de equilíbrio).
 
4 Uma agência de automóveis cobra pelo aluguel de um de seus veículos a 
diária de R$ 40,00 mais a quantia de R$ 0,25 por quilômetro rodado. Outra 
agência cobra, pelo mesmo tipo de veículo, a diária de R$ 60,00 mais R$ 
0,175 por quilômetro rodado. Encontre as funções que representam o plano 
de aluguel de cada uma das agências e mostre qual deles é melhor do ponto 
de vista do consumidor.
R.: Agência A Agência B 
 C(A) = 40 + 0,25x C(B) = 60 + 0,175x
40 + 0,25x = 60 + 0,175x
0,25x – 0,175x = 60 – 40
0,075x = 20
 x = 20/0,075
 x = 266,67 km (ponto de equilíbrio) 
Então, 
Até 266,67 km a agência A tem melhor preço.
A partir de 266,67 km a agência B terá o melhor preço.
5 O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00 
somada ao custo de produção que é de R$ 15,00 por unidade. Nessas 
condições: 
a) Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas.
R.: C(x) = 200 + 15 x
b) Determine o número de unidades que devem ser produzidas para que o 
custo total seja de R$ 700,00.
R.: Cx = 200 + 15x
700 = 200 + 15x
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700 – 200 = 15x
500 = x
 15
x = 33,3333
c) Determine o custo total para produzir 1.500 unidades.
 R.: Cx = 200 + 15x
C (1500) = 200 + 15 . 1500
C = 200 + 22500
C (1500) = 22700
6 O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário 
de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00. Pede-se:
a) Obtenha a função lucro mensal.
R.: L(x) = 2x – 30000
b) Qual é o lucro obtido na venda de 50.000 unidades?
R.: L(50000) = 2. 50000 - 30000
 L(50000) = 70000
c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter lucro?
R.: L(x) = 2x – 30000
 L(0) = 2x – 30000
 0 = 2x – 30000
 x = 30000
 2
 X = 15000
 
L 0 = 15000 
Portanto o lucro começa com 15.001 peças.
d) Qual a quantidade de unidades que determina o ponto de nivelamento?
R.: L 0 = 15000 ( Ponto de Equilíbrio gerado pelo cálculo anterior)
7 Na fabricação de um determinado produto, o custo variável por unidade é 
de R$ 7,00, o preço de venda é R$ 10,00 e o custo fixo é de R$ 150,00 por 
dia. Obtenha:
a) a função receita;
R.: R(q) = 10·q 
b) a função custo total diário;
R.: Ct (q) = Cf (q) + Cv (q)·q
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 Ct (q)= 150 + 7·q
c) determinando a função lucro;
R.: L(q) = R(q) – Ct(q) 
 = 10·q – (150 + 7·q)
 = 3·q-150
O ponto de nivelamento se dá quando a receita é igual ao custo, ou seja, 
quando o lucro é nulo. Então:
 
L(q) = 0
 0 = 3·q – 150
 q = 150
 3
 q = 50 unidades
d) a função lucro;
R.: Já a encontramos no item anterior:
L(q) = 3·q-150
e) Qual o valor de q para que L(q) = 180 reais? 
R.: L(q) = 180
3q – 150 = 180
 3q = 180 - 150
 3q = 30 
 q = 10 unidades
8 O preço de venda de um produto é R$ 25,00. O custo variável por unidade 
é dado por:
Matéria-prima: R$ 6,00 por unidade.
Mão de obra direta: R$ 8,00 por unidade.
A primeira coisa a fazer é interpretar os dados do problema. Depois vamos 
pensar nas perguntas em si.
Receita: R(q) = 25·q, onde a letra q representa a quantidade vendida. 
(25 reais por unidade)
Custo variável: Cv(q) = 6 . q + 8 . q = 14 . q
Custo fixo: Cf(q) = 2.500 (independe da quantidade!)
Custo total: C(q) = Cv(q) + Cf(q) = 14 . q + 2.500 
Lucro:
 L(q) = R(q) - C(q)
 = 25 . q - (14 . q + 2.500) 
 = 25 . q - 14 . q - 2.500 
 = 11 . q - 2.500 
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Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 2.500,00, pergunta-se:
a) Qual é o ponto crítico (ponto de nivelamento)?
R.: O ponto crítico se dá quando a receita é igual ao custo, ou seja, quando 
o lucro é nulo. Assim,
b) Qual será o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês?
R.:
c) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 
1.000 para 1.500 unidades por mês?
R.: Vamos ver de quanto seria o lucro com a venda de 1.500 unidades:
reais 500.8
500.2000.11
500.2000.111)000.1(
=
−=
−⋅=L
Então a diferença entre os lucros seria 
L(1.500) - L(1.000) = 14.000 - 8.500 = 5.500 reais
Percentualmente, o lucro aumentaria em 
9 O modelo funcional que descreve a receita em função da quantidade 
comercializada é dada por R = -2q2 + 12q. Se o custo desse produto pode 
ser descrito pela equação C = 3q + 10, determine:
a) O modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, 
em função da quantidade produzida e comercializada.
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R.:
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
R.:
c) O preço unitário de venda para essa quantidade.
R.:
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10 Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita R pela venda de 
uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 10q - 2q2 e que o 
modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida 
é C = 2q + 2,50, determine:
R = 10q - 2q2 C = 2q + 2,50 
 
a) Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do 
produto, em função da quantidade produzida e comercializada.
R.: 
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
R.: 
(10 2 ²) (2 2,50) 2 ² 8 2,50L R C L q q q L q q= − = − − + = − + −
2
2 ² 8 2,50 0 2.2 8 0
2(2) 8(2) 2,50
4 8 0 8 4 2 2(4) 16 2,50
8 13,5 5,5
q q df q dq df dq
L
q q q L
L L
− + − = = − + = =
= − + −
− + = = = = − + −
= − + =
11 Sejam R = -2q2 + 60q e C = 10q + 200 as funções Receita e Custo para 
certo produto.
R = -2q2 + 60q C = 10q + 200 L = (-2q2) + 60q) - (10q + 200) 
L = -2q2 + 50q - 200 
a) Para que valores de q o lucro será positivo?
R.:
2
1 2 ² 50 200 2.2 50
500 4 50 0 12,5
4
50 (50) 4( 2)( 200) 50 900
2( 2) 4
5
20
II I II I
I
II
L q q L df q dq
df dq q q q
r
r
= − + − = = − +
= − + = = =
− ± − − − − ±
= =
− −
=
=
� �
�
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b) Qual o custo médio para se produzir 57 unidades?
R.:
10 200 10(57) 200 570 200 770 13,5
57 57 57m m
qC C CC
q
+ + +
= = = = =
12 Uma empresa possui um custo fixo de R$ 39,00 somados ao custo de 
produção de R$ 2,00. Sua receita total é dada pela função R = 18q - q2 
C = 39 + 2q. A partir destes dados apresente:
a) A função custo total.
R.: Ct = Cf + Cv Ct = 39 + 2.q
b) O ponto de nivelamento.
R.: Prejuízo.
c) Qual é o lucro pan (uma quantidade de 11 unidades)?
R.:
2
(11) (11) (11)
(11) (11) (11) (11)
18 ² (39 2 ) 18(11) (11) (39 2[11])
198 121 (39 22) 198 121 61 198 182 16
L R C L q q q L
L L L L
= − = − − + = − − +
= − − + = − − = − =
d) A quantidade que garante o lucro máximo.
R.: Lmax = q não haverá quantidade que garante lucro máximo.
13 A função receita de certo produto é R = 85q - 2q2 e o custo é C = 5q + 
600. Qual é a quantidade que maximiza o lucro?
R.: L(x) = R – C 
 L(x) = (85q – 2q²) – (5q + 600)
 L(x) = 85q – 2q² - 5q – 600
 L(x) = –2q² + 80q – 600 
Lembrando: a = - 2, b = 80 e c = - 600
V(x) - b = 80 = 20 para o lucro Máximo deve-se produzir 20 unidades.
 2a 4
14 Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de as-
sinaturas, o faturamento e o custo mensal (em milhares de dólares) são, 
respectivamente, R = 32x - 0,21x2 e C = 195 + 12x.
a) Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao 
custo, ou seja, o ponto em que o lucro é zero.
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R.: 
( )
( ) ( )
32 0,21 ² 195 12
20 0,21 ² 195 0 0,21 ² 20 195 0
² 4 20 400 163,8 20 236,2 20 15,37
2 0,42 0,42 0,42
4,63 11,02
0,42
² 4 20 15,37 35
2 0,42
x
x x
R x x C x L R C
L x x L x x
b b acr r r r
a
r r
b b acr r r
a
= − = + = −
= − − = − + − =
− + − − + − − + − +′ ′ ′ ′= = = =
− − −
−′ ′= =
−
− + − − −′′ ′′ ′′= = =
−
,37 84,21
0,42
r′′ =
−
15 Seja f (x,y) = x² - 3 xy - y² . Calcule f (5,0), f.(5,-2), f ( 3,6). 
R.: f(x,y) = x2 - 3xy - y2
f (5,0) 
x2 - 3xy - y2
52 - 3.5.0 - 02 
25 - 0 - 0 
25 
f (5, -2)
x2 - 3xy - y2 
52 - 3.5.(-2) - (-2) 
25 + 30 - 4 
51 
f (3,6) 
x2 - 3xy - y2 
32 - 3.3.6 - (6)2
- 9 - 54 - 36 
- 81 
16 Considere a função custo de produção f (x,y) = 2x + 8 y. Calcule f (8,1), 
f ( 2,6) f ( 3,15). 
R.: f (x,y) =2x + 8y
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17 Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R$ 50,00 a unidade e o segundo, 
a R$ 60,00 a unidade. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos.
a) Qual é a expressão da receita de vendas?
R.: R(x) = 50x + 60y
b) Qual será a receita, se forem vendidas 10 unidades do primeiro e 15 
unidades do segundo produto?
R.: R(x) = 50 .10 + 60.15
 R(x) = 500 + 900
 R(x) = 1400
18 Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preços 
unitários são R$ 10,00 e R$ 30,00, respectivamente.
a) Determine a função receita (x,y).
R.: R = 10x + 30 y
b) Calcule R (20,40).
R.: R (20,40)
 R = 10x +30y
 R = 10.20 + 30.40
 R = 200 + 1200
 R = 1400
c) Se foram vendidas 50 unidades do produto x, quantas unidades do produto 
y devo vender para ter uma receita de R$ 1.100,00?
R.: 50 unidades vendidas R = 1.100,00
R = 10x + 30y
1.100 = 10.50 + 30y
1.100 = 500 + 30y
30y = 600
y = 600/30
y = 20
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Deverá vender 20 unidades de y para que a receita seja de R$ 1.100,00.
19 Seja o custo fixo de um produto X R$ 800,00 e o custo por peça produzida 
de R$ 30,00. O custo fixo do produto Y de R$ 1.600,00 e o custo por peça 
produzida de R$ 80,00. O produto X é vendido a R$ 50,00 e o produto Y a 
R$ 130,00. Com base nos dados, pede-se:
a) A função custo com duas variáveis dos produtos A e B.
R.: C (x,y) 
 C (x) = 800 + 30x 
 C (y) = 1600 + 80y
Assim:
 2400 + 30x + 80y
 
b) A função lucro com duas variáveis dos produtos A e B.
R.: L (x,y) 
 20 x + 50y – 2400
c) O lucro na venda de 100 peças do produto A e 80 peças do produto B. 
R.: L (100, 80)
 L = 20.100 + 50.80 -2400
 L = 2000 + 4000 – 2400
 L = 3600
20 Uma empresa produz um produto em duas fábricas I e II. As funções custo 
em cada fábrica são:
 Fábrica I C (x) = 500 + 40 x Fábrica II C (y) = 1.000 + 20 x, em que x e 
y são as quantidades produzidas em cada unidade.
P = 80 C(x) = 500 + 40x C(y) = 1000 + 20y L(x,y) = (R(x) - C(x)) + (R(y) - C(y))
 Sendo o preço de venda do produto R$ 80,00, pede-se:
a) A função lucro L (x,y).
R.:
( ) ( ) ( ),
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
. 80 80
500 40 1000 20 40 20 1500
80 80
(80 80 ) (40 20 1500) 40 60 1500
x yx y
x y x y
x y
x y x y x y x y
L R P q R x R y
C x y C x y
R x y
L R C x y x y L x y
= ⇒ = =
= + + + = + +
= +
= − ⇒ + − + + = + −
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b) O lucro para 200 peças produzidas e vendidas dos produtos x e y (de 
cada produto).
R.: 
( , ) (200)
(200) (200) (200)
40 60 1500 40(200) 60(200) 1500
8000 12000 1500 20000 1500 18500
x yL x y L
L L L
= + − = + −
= + − = − =
21 Seja C (x,y) = 1.000 + 2x + 3y a função custo conjunto para fabricar x 
unidades de um produto I e y unidades de um produto II . 
a) Qual é o custo fixo?
R.: 1.000
 b) Qual é o custo de fabricação de 100 unidades de I e 200 unidades de II? 
R.: 1.800
TÓPICO 2
1 Uma companhia produz e vende dois produtos, denominados I e II, os 
quais são vendidos por R$ 20,00 e R$ 18,00, respectivamente. O custo para 
produzir x unidades do produto I e y unidades do produto II é:
 400 + 2x + 3y + 0,01( 3x² + xy + 3 y² )
Encontre os valores de x e y que maximizam o lucro da companhia.
R.: 
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2 Encontre os pontos x e y onde f (x,y) pode ter um máximo ou mínimo relativo:
a) f(x,y) = 8 + 4x + 6y +x² - 3 y² 
R.: Não existe máximo ou mínimo relativo, pois não podemos igualar os y, 
não podendo utilizar a técnica dos mínimos quadrados.
b) f(x,y) = 4 + 3x - 2y + x² -5 xy + 6 y²
R.: 
d(f)/d(x) 
3x + x² - 5xy
3.1 + 2.x – 5.1.y 
3 + 2x – 5y
y = (3 + 2x)/5
d(f)/d(x) 
-2y – 5xy + 6y²
-2 . 1 – 5.x .1 + 6.2.y
-2 – 5x + 12y
y = (2 + 5x)/-12 
(3 + 2x)/5 =(2 + 5x)/-12
Assim: 
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Então: y = (3+2x) /5 
c) f(x,y) = x + y - 3x² + 7xy - 4 y² 
R.: 
d(f)/d(x) 
x – 3x² + 7xy
1.1 – 3.2.x + 7.1.y 
1 – 6x + 7y 
y = (1 - 6x)/7
(1 – 6x)/7 =(1 + 7x)/-8
Assim: 
d(f)/d(x) 
y +7xy - 4y²
1 . 1 + 7.x .1 - 4.2.y
1 +7x -8y
y = (1+ 7x)/-8
Então: y = (1 - 6x)/7
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3 Quando uma empresa usa x unidades de trabalho e y unidades de capital, 
sua produção mensal de um certo produto é dada por:
P = 32 x + 20y - 2x² + 3xy – 2,5 y².
Obtenha os valores de x e y que maximizam a produção mensal.
R.: 
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4 O lucro que uma empresa obtém vendendo dois produtos A e B, é dado por:
 L = 600 + + 18x + 18y – 3xy -2x² - 4 y²,
em que x e y são quantidades vendidas. Obtenha os valores de x e y que 
maximizam o lucro.
R.: 
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5 Uma firma produz um produto que é vendido em dois países na Europa. 
A função custo do produto da empresa é dada por: C = 60.000 + 500 (x+y). 
Sejam x e y as quantidades vendidas nesses dois mercados e o preço de 
venda no país A é de R$ 800,00 e no país B é de R$ 1.000,00.
60.000 500( )
800 1000
800 1000 500 500 60.000
( , ) 300 500 60.000
C x y
R x y
L R C x y x y
L x y x y
= + +
= +
= − = + − − −
= + −
a) Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro em cada país.
R.:
( )
( )
0 300 0
0 500 0
L
L
df
x
dx
df
y
dy
= ⇒ = = ∃
= ⇒ = = ∃
b) Qual é o valor do lucro? 
R.: Como a função é de 1º grau, cujo gráfico é uma reta, não existe lucromáximo, o mesmo pode ser infinito.
Portanto a resposta é: não existe x e y que tornem o lucro máximo.
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TÓPICO 3
1 A tabela a seguir fornece as quantidades de fertilizantes aplicados (xi) e a 
produção por hectare (yi) em quatro canteiros de uma fazenda experimental.
Xi² 4 16 36 64 120
Xi 2 4 6 8 20
Yi 20 35 55 85 195
xi.yi 40 140 330 680 1190
a) Obtenha a reta dos mínimos quadrados de y em função de x ajustada 
aos dados.
R.:
 b = 48,75 - (10,75.5) 
 b = 48,75 - 53,75 
 b = - 5
10,75 5y x= −
b) Preveja a produção para uma aplicação de fertilizante correspondente a 
x = 7. 
R.: ( )10,75 7 5 75,25 5 70,25y y y= − = − =
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2 Um varejista variou o preço de um produto (x) e observou a correspondente 
demanda mensal. Os resultados obtidos foram:
R.: 
Preço (x) Demanda Mensal (y) x.y x² y = ax + b
10 100 1000 100
15 70 1050 225
20 50 1000 400
25 30 750 625
Total 70 250 3800 1350
Obtenha a reta dos mínimos quadrados de y em função de x ajustada aos 
dados.
R.: 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
27070 250 17500 49000
3800 1350 3800 1350
4 4 4 4
3800 4375 1350 1225 575 125 4,6
70250 4,6. 62,5 4,6 . 17,5 62,5 80,5 143
4 4
a a
a a a
b b b b
     = − ÷ − = − ÷ −  
 
= − ÷ − = − ÷ = −
 
= − − = − − = + = 
 
3 Uma empresa observou a quantidade mensal produzida de um produto (x) e 
o correspondente custo (y) em milhares de reais. Os dados foram os seguintes:
 Total Σ
X 10 12 14 16 18 20 22 112
Y 14,5 16,5 18 18,5 19,5 21 21,5 129,5
X.Y 145 198 252 296 351 420 473 2135
X² 100 144 196 256 324 400 484 1904
a) Obtenha a reta de mínimos quadrados ajustada de y em função de x aos 
dados.
R.: 
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b) Qual o custo estimado para a produção de 24 unidades por mês? E 40 
unidades por mês? 
R.: Para 24 unidades:
( )3,625 24 39,5 87 39,5 47,5y y y= − = − =
4 A tabela a seguir fornece a exportação de um produto y em milhões 
de dólares, em função ano (x) contando a partir de determinada data do 
calendário.
 Total Σ
Ano(x) 1 2 3 4 5 6 7 28
Exportação(y) 80 100 118 143 164 179 205 989
X-Y 80 200 354 572 820 1074 1435 4535
X² 1 4 9 16 25 36 49 140
a) Obtenha a reta de mínimos quadrados de y em função de x ajustada aos 
dados.
R.:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )28 ²28 989 27692 7844535 140 4535 140
7 7 7 7
4535 3956 140 112 579 28 20,67
a a
a a a
= − ÷ − = − ÷ −
= − ÷ − = ÷ =
20,67 58,6y x= +
( ) ( )28989 20,67. 141,28 20,67.4 141,28 82,68
7 7
58,6
b b b
b
 
= − = − = − 
 
=
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b) Preveja a exportação para o próximo ano e para os 5 próximos anos. 
R.:
( )
( )
1 1
5 5 5
20,67 1 58,6 79,27
20,67 5 58,6 103,35 58,6 161,95
y y
y y y
= + =
= + = + =
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Que elementos compõem e integram um jogo?
R.: Interações, agentes, racionalidade, comportamento estratégico.
2 O que se entende por interação? 
R.: Interações são situações entre vários agentes dentro de uma determinada 
situação. Por exemplo, vários vendedores de eletrodomésticos têm várias 
estratégias de vendas para atingirem suas metas. 
3 Por que é importante a racionalidade num jogo? 
R.: A racionalidade emprega os métodos adequados aos objetivos que 
se almejam, sejam quais forem esses objetivos. Podemos afirmar que a 
racionalidade é fundamental para a melhor compreensão das regras e dos 
limites da teoria dos jogos. É o diferencial competitivo de cada participante.
4 O que é comportamento estratégico? 
R.: Partindo-se do princípio de que todos os jogadores usam estratégias 
diferentes entre si, a utilização da racionalidade e do poder de decisão 
de cada jogador terá influências decisivas nos resultados dos jogos entre 
empresas ou instituições. Portanto, o comportamento estratégico é um 
instrumento pessoal. 
5 Por que se estuda a teoria dos jogos? 
R.: A teoria dos jogos representa um método para ampliar os dados 
necessários para uma tomada de decisão. Historicamente, a teoria dos 
jogos vem evoluindo e modelos de jogos são aplicados em Administração, 
ciências políticas, estratégias militares, economia, engenharia e outras 
áreas de atuação do homem.
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6 Podemos contar sempre com a sorte em jogo? 
R.: Certamente que não. A sorte é um elemento imprevisível e aparece em 
situações inusitadas. Contar com a sorte é dar chance para o azar. 
7 O que pode diferenciar os agentes em um jogo? 
R.: Um agente é qualquer pessoa que participa do jogo, portanto, tem 
tomada de decisão. Um agente não pode estar ao mesmo tempo nos dois 
lados do jogo. Se existe uma competição entre as empresas A e B, um 
mesmo jogador não pode participar das empresas A e B ao mesmo tempo. 
Deve escolher uma delas e permanecer até o final.
8 Uma empresa quer comprar uma concorrente que está mal financeiramente 
há 5 anos. Como você utilizaria os elementos que compõem o jogo para 
otimizar o resultado?
R.: Resposta pessoal.
9 Descreva uma situação utilizando os elementos de um jogo no dia a dia 
de uma empresa de transportes. O jogo seria entre o setor de logística e o 
setor de vendas.
R.: Resposta pessoal.
10 Assinale V ou F:
(V) Como todas as organizações, as empresas são um microcosmo em nossas 
vidas e têm seus sistemas – técnico e social, segundo classificação do Instituto 
Tavistock, de Londres – inter-relacionados.
(F) A teoria dos jogos é uma série de ensaios dentro da Administração 
e Economia que atua sobre expectativas e comportamentos. Sendo mais 
abrangente, trata da não cooperação. É uma análise matemática de situações 
que envolvam interesses sem conflito a fim de não indicar as melhores opções 
de atuação para que seja atingido o objetivo desejado.
(V) Os primeiros textos sobre a teoria dos jogos foram criados pelo matemático 
francês Émile Borel, que lançou as raízes desse estudo. Entretanto, foi o 
matemático americano John von Neumann e o austríaco Oskar Morgenstern 
aqueles que conceberam, por volta da década de 20, uma teoria matemática 
(The Theory of Games and Economic Behavior) apurada, mesclando economia 
e organização social aos jogos de estratégia.
(F) Uma relação do tema com o dia a dia das organizações em geral não são 
os aspectos geralmente analisados pela teoria: as estratégias não adotadas e 
suas consequências, as alianças impossíveis entre os indivíduos (“jogadores”).
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TÓPICO 2
1 O que é um modelo matemático?
R.: “Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas. Interações 
estratégicas, por sua vez, são o resultado do reconhecimento, por parte de 
cada um dos agentes, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
2 O que é um modelo determinístico? E probabilístico?
R.: Modelos em que todas as informações relevantes são assumidas como 
conhecidas (sem incertezas) são denominados determinísticos. Modelos em 
que uma ou mais variáveis de decisão não são conhecidas com certeza são 
chamados probabilísticos, e esta incerteza deve ser incorporada ao modelo. 
3 Conceitue estratégia ou tática.
R.: É a forma como você vai se comportar dentro de um jogo de empresa ou 
de mercado. É o seu posicionamento diante das circunstâncias. 
4 O que se entende por regras do jogo?
R.: As regras do jogo são as condições impostas ou negociadas por 
participantes em um jogo com poder de decisão. Na verdade, cada um deve 
usar o seu poder de decisão e participarda elaboração das regras do jogo, 
que podem estar sempre se alterando.
5 Explique o que vem a ser ganha-ganha. E ganha-perde. E perde-perde.
R.: Ganha-ganha: as duas partes envolvidas numa negociação ganham. 
E ganha-perde: uma das partes ganha e a outra perde. E perde-perde: as 
duas partes perdem numa negociação. É o pior negócio possível.
6 Assinale V ou F: 
(V) Numa empresa A um funcionário x trabalha incansavelmente para atingir as 
metas em vendas no mês. Tem-se um exemplo do paradigma ganha-ganha.
(V) Numa empresa B todos os funcionários atingiram as metas de produção 
numa determinada semana. No posto de vendas da empresa e nos escritórios 
de representação da empresa as metas de vendas não foram atingidas. Trata-
se de um paradigma perde-perde, pois a empresa perdeu liquidez e não obteve 
lucro.
(F) Em uma negociação o vendedor teve um lucro acima do esperado, 
majorando os preços do serviço. O cliente cancelou o serviço por se sentir 
lesado. Trata-se de um perde-ganha.
(V) Quando desenvolvemos nossas competências em cursos de aperfeiçoamento 
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na área de atuação com custos pagos pela empresa, realizamos um ganha-
perde, pois nós ganhamos e a empresa perde.
TÓPICO 3
1 Como mudar o jogo?
R.: As maiores oportunidades e os maiores ganhos reais ocorrem quando 
se joga o jogo certo. Segundo Nalebuff (1996, p. 83), “para mudar um jogo, 
você deve mudar um ou mais elementos. Mude uma das partes e você 
mudará o todo.”
 As partes não se separam do todo. Quando o autor fala em partes, está 
falando em interações, agentes, racionalidade, comportamento estratégico 
entre outros elementos que compõem um jogo. 
2 Como trazer clientes e fornecedores?
R.: 1 Eduque o mercado. 
2 Pague os fregueses para jogarem.
3 Subsidie alguns fregueses, e outros fregueses pagantes se seguirão.
4 Experimente você mesmo. Torne-se seu próprio freguês a fim de expandir 
o mercado, garantir a demanda e alcançar a escala.
3 Num lote de 52 peças, 15 apresentam defeito. Retiradas as duas peças 
deste lote, com reposição, qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
R.: 225/2704 = 0,083 = 8,3%
4 Um levantamento entre 50 estudantes do curso de Contábeis da USP, 
sobre o número de atividades extracurriculares, resultou nos dados a seguir: 
Número de atividades Frequência
0 8
1 20
2 12
3 6
4 3
5 1
Com base nos dados acima, pede-se: 
a) Seja A o evento em que um estudante participe de pelo menos 1 atividade. 
Calcule P(A).
R.: Pelo menos 1 (1 ou + ) 20+12+6+3+1
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( )
( )
42 0,84 84%
50
a
t
m
p p
m
= = = =
b) Seja B um evento em que um estudante participe de exatamente 2 
atividades. Calcule P(B).
R.: Exatamente 2 m = 12
5 O número de acidentes por semana em uma intersecção de grande 
movimento foi registrado durante um período de um ano. Houve 11 semanas 
em que não ocorreu nenhum acidente, 26 semanas em que ocorreu 
apenas um acidente, 13 semanas com dois acidentes e 2 semanas em que 
ocorreram 3 acidentes. Considere uma semana escolhida aleatoriamente e 
seja X o número de acidentes ocorridos durante esta semana. Assim, X é 
uma variável aleatória que pode assumir os valores O, 1, 2 e 3. 
a) Escreva as possibilidades em que ocorreram 0,1,2 e 3 acidentes.
R.: 
12 0,24 24%
50
p = = =
(0)
(1)
(2)
(3)
11 0,2115 21,15%
52
26 0,50 50%
52
13 0,25 25%
52
2 0,038 3,8%
52
p
p
p
p
= = =
= = =
= = =
= = =
b) Calcule a média de acidentes E(x).
R.: 
11.0 26.1 13.2 2.3 580 26 26 6 1,115
52 52
x x+ + += = + + + = = ACIDENTES/
 SEMANA
6 Uma fazenda de citros antecipa um lucro de 100.000 durante o ano corrente 
se as temperaturas noturnas permanecerem modera das. Infelizmente, a 
previsão do tempo indica uma chance de 25% de que a temperatura cairá 
abaixo de zero durante a próxima semana. Uma situação climática como 
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esta destruirá 40% da safra e reduzirá o lucro para U$ 60.000. Entretanto, 
o fazendeiro pode proteger as frutas contra a possível geada (utilizando 
diver sos recursos) a um custo de U$ 5.000. O fazendeiro deve gastar os 
U$ 5.000 e, portanto, reduzir o seu lucro para 95.000? (Sugestão: calcule 
E(X), onde X é o lucro que o fazendeiro obterá se ele não tomar nenhuma 
providência para proteger as frutas). 
R.: Sim, deve gastar para prevenir, pois o risco é considerável.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 O que se entende por modelagem matemática?
R.: Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um 
modelo que tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa 
realidade para tentar compreendê-lo e estudá-lo, criando reflexões e 
hipóteses sobre tais fenômenos.
2 Cite três tipos de problema em que podemos utilizar a modelagem para a 
tomada de decisão.
R.:Problemas de otimização de recursos, problemas de localização e 
problemas de carteiras de investimento
3 Como podemos converter dados em informações significativas?
R.: Transformar dados brutos (números e fatos) em dados, através de seu 
armazenamento de forma organizada a fim de facilitar o processo de tomada 
de decisão.
4 Por que apoiar o processo de tomada de decisão de forma transferível e 
independente?
R.: Através dos Sistemas de Apoio à Decisão, dar suporte às decisões para 
que estas sejam independentes do decisor e assegurar que o processo de 
toma da de decisão seja claro e transparente. 
5 Qual é o objetivo em criar sistemas computacionais úteis para usuários 
não técnicos?
R.: Facilitar, através de sistemas de fácil utilização, os processos de tomada 
de decisão operacional, gerencial e estratégico. 
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6 O que você entende por modelos computacionais?
R.: Entendemos modelos computacionais como um conjunto de relações 
matemáticas e hipóteses lógicas, implementadas em computador de forma 
a representar um problema real de tomada de decisão. 
7 Que tipos de soluções podem ser utilizados na implantação de sistemas 
computacionais? 
R.: Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos. 
Facilitar, através de sistemas de fácil utilização, os processos de tomada de 
decisão operacional, gerencial e estratégica. 
8 Assinale V ou F:
(F) A modelagem matemática é livre e espontânea, ela surge da necessidade 
do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir em 
seu processo de construção.
(V) Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem 
para ajudar no processo de decisão, encontram-se: 
• Problemas de Carteiras de Investimento. 
• Problemas de Relações interpessoais. 
• Problemas de Previsão e Planejamento.
(V) Para auxiliar a empresa na resolução de um problema, o modelador precisa 
definir muito bem o problema, conhecer todos os processos da empresa, ter 
bons conhecimentos de matemática e tecnologia de informações. Vencidas 
essas etapas, o modelador vai utilizar todas as informações disponíveis, e 
partirá, então, para o estudo de variáveis e elaboração das equações que 
irão conduzir o empresário à solução do problema. 
(V) Por modelos computacionais entendemos um conjunto de relações 
matemáticas e hipóteses lógicas, implementadas em computador de forma 
a representar um problema real de tomada de decisão. 
TÓPICO 2
1 Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro 
diferentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de TV, designados 
respectivamente I, II, III. IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida 
decorado. 
Modelo I Modelo II Modelo III Modelo IV Restrições
Montagem 4 5 3 5 900
Decoração 2 1 5 3 500
Lucro 7 7 6 9
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R.: Solução pelo método simplex
Inicialmente, vamos definir a função objetivo:
Lucro = 7x1 + 7x2 + 6x3 + 9x4
Sujeito a:
4X1 + 5X2 + 3X3 + 5X4 ≤ 900
2X1 + 1X2 + 5X3 + 3X4 ≤ 500
Utilizando um programa computacional para iterações das funções temos 
que o maior lucro é de R$ 1600,00 sendo que a solução otimizada é dada por:
1) 100 unidades do modelo 1
2) 100 unidades do modelo 4 
2 Um investidor que dispõe de R$ 6.000,00 está comtemplando a possibilidade 
de compra de dois tipos de ações:
tipo 1 - preço unitário de R$ 5,00 para compra e rentabilidade anual esperada 
de 30%; tipo 2 - preço unitário de R$ 3,00 para compra e rentabilidade anual 
esperada de 35%.
Supondo que o investidor não queira comprar mais que 1.750 ações e 
que seu corretor só possa conseguir 1.000 ações do tipo 1 e 1.500 ações 
tipo 2, que quantidades deve comprar de cada tipo, para maximizar o total 
do capital no final de um ano?
R.: Solução pelo método gráfico
 
 Temos que: 
X1 = ações do tipo 1 a serem compradas
X2 = ações do tipo 2 a serem compradas
Sendo C o total do capital esperado ao final de um ano, deseja-se 
maximizar, portanto:
C = valor (quantidade + rentabilidade anual) . ação tipo 1 + valor (quantidade 
+ rentabilidade anual) . ação tipo 2
C = 5(1 + 0,3) X1 + 3(1 + 0,35)X2
ou melhor
C = 6,5X1 + 4,05X2 (Função objetivo a ser maximizada)
Sujeito a:
X1 ≤ 1000 (o corretor só pode comprar até 1000 ações do tipo 1) 
X2 ≤ 1500 (o corretor só pode comprar até 1500 ações do tipo 2)
X1 + X2 ≤ 1750 (o corretor só quer comprar até 1750 ações)
5X1 + 3X2 ≤ 6000 (o corretor só dispõe de R$6000,00)
X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0 (considerar que as ações não podem ter valores negativos) 
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 Na solução gráfica devem ser consideradas todas as equações lineares 
existentes das restrições. 
Então temos seis restrições:
 
X1 ≤ 1000
X2 ≤ 1500
X1+X2 ≤ 1750
5X1 + 3X2 ≤ 6000
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Representando estas restrições no sistema cartesiano, temos:
A área que atende a todas as restrições é demarcada pelos vértices:
A (0, 0), 
B(0, 1500), 
C(250, 1500), 
D(350, 1400), 
E(1000, 333,33) e 
F(1000, 0)
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A determinação dos vértices pode ser obtida pela intersecção das retas 
da função objetivo e restrições.
 
 Substituindo estas coordenadas dos vértices na função objetiva (C = 6,5X1 
+ 4,05X2), temos que:
Vértice C 
A(0,0) 0 
B(0,1500) 6750 
C(250,1500) 8375 
D(350, 1400) 8575 
E(1000, 333,33) 7999,985 
F(1000,0) 650
Como se vê, o maior ganho possível é de R$ 8.575,00 ou o que equivale 
dizer x = 350 e y = 1400.
Então, a solução otimizada é dada por:
1) o investidor deve comprar 350 ações do tipo 1;
2) o investidor deve comprar 1400 ações do tipo 2. 
3 Uma empresa está analisando um conjunto de alternativas de projetos de 
investimentos disponíveis e apresentados na tabela a seguir: 
Projeto Função Z Inv.1ano Inv.2ano Vida Receita 3 anos
1 X1 12 3 5 10
2 X2 54 7 5 27
3 X3 6 6 5 10
4 X4 6 2 5 8
5 X5 30 35 5 35
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para 
o segundo. Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a 
combinação ótima desses projetos? 
R.: Solução pelo método simplex
 
Inicialmente, para valer a regra de TMA de 10% a.a., vamos colocar todos 
os valores para o final do período de 5 anos:
X1: Investimento: 12 · 1,15 X1 + 3 · 1,14 X1 = 
 19,326 X1 + 4,392 X1 = 23,718 X1
Receita: (10 · 1,14 + 10 · 1,13 + 10 · 1,12 + 10 · 1,11 + 10) X1 = 61,051 X1
33UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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M
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T
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C
A
 
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L
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C
A
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A
Função Z = -23,718 X1 + 61,051 X1= 37,333 X1
X2: Investimento: 54 · 1,15 X2 + 7 · 1,14 X2 = 
 86,968 X2 + 10,249 X2 = 97,217 X2
Receita: (27 · 1,14 + 27 · 1,13 + 27 · 1,12 + 27 · 1,11 + 27) X2 = 164,838 X2
Função Z = 164,838 X2 – 97,217 X2 = 67,621 X2
X3: Investimento: 6 · 1,15 X3 + 6 · 1,14 X3 = 
 9,663 X3 + 8,785 X3 = 18,448 X3
Receita: (10 · 1,14 + 10 · 1,13 + 10 · 1,12 + 10 · 1,11 + 10) X3 = 61,051 X3
Função Z = 61,051 X3 – 18,448 X3 = 42,603 X3
X4: Investimento: 6 · 1,15 X4 + 6 · 1,14 X4 = 
 9,663 X4 + 2,928 X4 = 12,591 X4
Receita: (8 · 1,14 + 8 · 1,13 + 8 · 1,12 + 8 · 1,11 + 8) X4 = 48,841 X4
Função Z = 48,841 X4 – 12,591 X4 = 36,250 X4
X5: Investimento: 30 · 1,15 X5 + 35 · 1,14 X5 = 
 48,315 X5 + 51,244 X5 = 99,559 X5
Receita: (35 · 1,14 + 35 · 1,13 + 35 · 1,12 + 35 · 1,11 + 35) X5 = 213,678 X5
Função Z = 213,678 X5 – 99,559 X5 = 114,119 X
5
Assim:
Max Z = 37,333 X1 + 67,621 X2 + 42,603 X3 + 36,250 X4 + 114,119 X5 + X6 + X7
Situação 1: 1º ano
19,326 X1 + 86,968 X2 + 9,663 X3 + 9,663 X4 + 48,315 X5 ≤ 80,526
Situação 2: 2º ano
4,392 X1 + 10,249 X2 + 8,785 X3 + 2,928 X4 + 51,244 X5 ≤ 29,282
Utilizando um programa computacional para iterações das funções temos:
O maior ganho possível é de aproximadamente R$ 299,58. 
A solução otimizada é dada por:
7 vezes no projeto 4
1vez no projeto 3
3,22 vezes no projeto 6
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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TÓPICO 3
1 Na fabricação de dois de seus produtos, uma empresa utiliza dois 
equipamentos que limitam a produção. Em um dado período de tempo, 
estão disponíveis 80 horas do equipamento I e 60 horas do equipamento II.
Para a fabricação de uma unidade do produto A, usam-se 2 horas do 
equipamento I e 3 horas do equipamento II. Já para a fabricação de uma 
unidade do produto B, são gastas 4 horas do equipamento I e 1 hora do 
equipamento II.
Por outro lado, uma unidade do produto A gera um lucro de R$ 100,00 
enquanto que uma unidade do produto B, gera um lucro de R$ 80,00.
Baseado nos dados acima, pede-se:
a) Formule a programação linear pertinente ao programa (função objetivo, 
conjunto de restrições e condição de não negatividade).
R.: Função objetivo : L(x) = 100x + 80 x2
 Condições de Restrições
 Máq. 1 2x1 + 3x2 ≥80
 Máq. 2 4x1 + x2≥ 60
 x1 e x2 ≥ 0
 sendo x1 = prod A x2 = prod B
b) Maximize o lucro. 
R.: Isolando: x2 na maq 2 
x2 = 60- 4 x1 
Substituindo x2 na maq 1 
2x1 + 3(60-4 x1) = 80
2x1 + 180-12 x1) = 80
180-80 = 12 x1 -2 x1
100 = 10 x1
100/10 = x1 = 10
Como x2 = 60 4 x1 = 60 -4 . 10 = 60 – 40 = 20 = x2
 L(x) = 100.10 + 80 .20 = 1000 + 1600 = 2600
2 Uma firma produz duas linhas de produto, I e II, com uma planta que 
contém três departamentos de produção: corte, mistura e embalagem. O 
equipamento em cada departamento pode ser operado 8 horas por dia, 
portanto, podemos entender estas horas como a capacidade diária de cada 
departamento. O processo de produção pode ser resumido da seguinte 
maneira:
a) O produto I é primeiro cortado e então embalado. Cada tonelada desse 
produto consome ½ hora da capacidade de corte e 1/3 hora da capacidade 
de embalagem.
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b) O produto II é primeiro misturado e depois embalado. Cada tonelada 
desse produto consome 1 hora de capacidade de mistura e 2/3 hora da 
capacidade de embalagem.
 Os produtos I e II são vendidos ao preço de R$ 80,00 e R$ 60,00 por 
tonelada, respectivamente, mas, deduzindo-se todos os custos, eles geram 
um lucro líquido de R$ 40,00 e R$ 30,00 respectivamente, por tonelada.
Baseado nos dados acima, pede-se:
a) Formule a programação linear pertinente ao programa (função objetivo, 
conjunto de restrições e condição de não negatividade).
b) Maximize o lucro. 
R.: Função objetivo : L(x) = 40x1 + 30 x2
Condições de Restrições = Corte 0,5 x1 ≥8
Corte = 0,5 x1 ≥8
Embalagem = 1/3 x1 + 2/3 x2 ≥8
Mistura = x2 ≥8 e x1 , x2 ≥0
L(x) = 40.16 + 30 .4 = 640 + 120 = 760
Situação 2
9 / x2 = 8 ( mistura)
1 x1 + 2 8 = 8
3 3 
1 x1 = 8 - 5,33
3
x1 = 2,666 
x1 = 8
L(x) = 40.16 + 30 .4 = 640 + 120 = 760
L(x) = 40.8 + 30 .8 L(x) = 320 + 240 = 560
Conclusão: Usando omáximo de tempo de corte x1 = 8 conseguimos o 
lucro maior L(x) = 760
3 Resolva o caso a seguir:
L = 2 X1 + 5 X2
Sujeito a (condições de restrições) 
 X1≤ 4
 X2 ≤ 3
 X1 + 2X2 ≤ 8
 X1,X2 ≥ 0 Condição de não negatividade das variáveis de decisão.
Calcule o lucro máximo.
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R.: a) Situação 1
x1 = 4
4 + 2x2 = 8
2 x2 = 8 -4
x2 = 4
 2
x2 = 2
L(x) = 2.4 + 5 .2 = 8 + 10 = 18
Situação 2
x2 = 3
x1 = 8 -6
x1 = 2
L(x) = 2.2 + 5 .3
L(x) = 4 + 15
L(x) = 19
Conclusão o lucro máximo ocorre p/ x1 = 2 e x2 = 3 e é L(x) = 19