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Gabarito das Autoatividades
MATEMÁTICA APLICADA
(ADMINISTRAÇÃO)
2010/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
MATEMÁTICA APLICADA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade 
vendida. 
a) Obtenha a função receita.
b) Calcule R (40).
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 
700,00?
R.: a) R = 5x
 b) R(40) = 5.40 = 200
 c) q = 140 peças
2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função 
C(x) = 100 + 2x. Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
R.: C(10)= 100 + 2.10 = 120 
3 Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais:
Empresa A - Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida.
Empresa B - Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida.
Faça uma análise e avalie qual é a melhor proposta salarial.
Qual é a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas em-
presas será o mesmo? 
R.: a) Cálculo do ponto de equilíbrio (mesmo custo)
 Empresa A Empresa B 
 SA = 800 + 15 x SB = 600 + 20 x
 SA = SB 
 800 + 15 x = 600 + 20 x
 800 – 600 = 20 x – 15 x 
 200 = 5 x portanto 200/5 = x = 40 
Então, até 40 coleções o salário da empresa A é melhor.
A partir de 40, o salário B é melhor.
b) Para 40 coleções (ponto de equilíbrio o salário será o mesmo). 
4 Uma agência de automóveis cobra pelo aluguel de um de seus veículos a 
diária de R$ 40,00 mais a quantia de R$ 0,25 por quilômetro rodado. Outra 
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agência cobra, pelo mesmo tipo de veículo, a diária de R$ 60,00 mais R$ 
0,175 por quilômetro rodado. Encontre as funções que representam o plano 
de aluguel de cada uma das agências e mostre qual deles é melhor do ponto 
de vista do consumidor.
R.: Agência A Agência B 
 C(A) = 40 + 0,25 x C(B) 60 + 0,0,175 x 
 C(A) = C(B) 
 40 + 0,25 = 60 + 0,175 x 
 x = 266,66 km (ponto de equilíbrio)
Até 266,66 km a agência A tem o melhor preço.
A partir de 266,66 km a agência B tem o melhor preço.
5 O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00 somada 
ao custo de produção que é de R$ 15,00 por unidade. Nessas condições: 
a) Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas.
b) Determine o número de unidades que devem ser produzidas para que o 
custo total seja de R$ 700,00.
c) Determine o custo total para produzir 1.500 unidades.
R.: a) C(x) = 200 + 15 x
b) x = 33,33 unidades
c) C(1.500) = R$ 23.200,00
6 O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário 
de venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00. Pede-se:
a) Obtenha a função lucro mensal.
b) Qual é o lucro obtido na venda de 50.000 unidades?
c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter lucro?
d) Qual a quantidade de unidades que determina o ponto de nivelamento?
R.: a) L(X) = 2X - 30.000 
b) L(70.000) = R$ 110.000,00
c) Começa a ter lucro a partir de L(x) = 0, a partir de 15.001 unidades.
d) 15.000 unidades
7 Na fabricação de um determinado produto, o custo variável por unidade é 
de R$ 7,00, o preço de venda é R$ 10,00 e o custo fixo é de R$ 150,00 por 
dia. Obtenha:
a) a função receita;
b) a função custo total diário;
c) o ponto de nivelamento;
d) a função lucro;
e) a quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 
por dia.
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R.: a) R = 10 x
b) C(x) = 150 + 7x
c) 50 unidades
d) L(x) = 3x – 150
e) 110 unidades 
8 O preço de venda de um produto é R$ 25,00. O custo variável por unidade 
é dado por:
Matéria-prima: R$ 6,00 por unidade.
Mão de obra direta: R$ 8,00 por unidade.
Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 2.500,00, pergunta-se:
a) Qual é o ponto crítico (ponto de nivelamento)?
b) Qual será o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por 
mês?
c) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 
1.000 para 1.500 unidades por mês?
R.:a) 227,27
b) R$ 8.500,00
c) R$ 5.500,00 ou 64,70%
9 O modelo funcional que descreve a receita em função da quantidade co-
mercializada é dada por R = -2q2 + 12q. Se o custo desse produto pode ser 
descrito pela equação C = 3q + 10, determine:
a) O modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, 
em função da quantidade produzida e comercializada.
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
c) O preço unitário de venda para essa quantidade.
R.: a) L(x) = – 2q² + 9 q – 10
b) q máx = Vx = - b / 2 a = -9 / 2.-2 = -9/-4 = 2.25
 L(x) = -10,125 + 20,25 – 10 = 0,125
c) Preço unitário de venda: ( R ) /q = 1,4375 
10 Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita R pela venda 
de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 10q - 2q2 e que 
o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade pro-
duzida é C = 2q + 2,50, determine:
a) Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do 
produto, em função da quantidade produzida e comercializada.
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
R.: a) L(x) = R(x) – C(x) = – 2q² + 8 q – 2,50
b) q máx = Vx = - b / 2 a = -8/ 2.-2 = 2
 L(2) = 5,5
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11 Sejam R = -2q2 + 60q e C = 10q + 200 as funções Receita e Custo para 
certo produto.
a) Para que valores de q o lucro será positivo?
b) Qual o custo médio para se produzir 57 unidades?
R.: a) L( x) = – 2q² + 50 q – 200 = 0 (ponto de equilíbrio)
A partir do ponto de equilíbrio começa a dar lucro.
Cálculo das raízes (x1 e x2) – Báskara x1 = 20 e x2 = 5 .
Começará a dar lucro a partir de 6 unidades até 20 unidades.
b) Cm = (10.57 + 200) / 57 = 770/57 = R$ 13,50 
12 Uma empresa possui um custo fixo de R$ 39,00 somados ao custo de 
produção de R$ 2,00. Sua receita total é dada pela função R = 18q - q2. A 
partir destes dados apresente:
a) A função custo total.
b) O ponto de nivelamento.
c) Qual é o lucro pan (uma quantidade de 11 unidades)?
d) A quantidade que garante o lucro máximo.
R.: a) C(x) = 39 + 2q 
b) L(x) = R – C = 18 - q² - (39 + 2q) = - q² - 2q – 21 = 0 
A partir do ponto de equilíbrio começa a dar lucro.
Cálculo das raízes (x1 e x2) – Báskara 
Como delta = b² - 4ac deu um resultado negativo, não haverá lucro zero e 
como a é negativo e a parábola vai estar virada para baixo, não haverá lucro, 
só prejuízo.
c) L(11) = - 164 (prejuízo)
d) Não haverá quantidade que garante o lucro máximo.
13 A função receita de certo produto é R = 85q - 2q2 e o custo é C = 5q + 
600. Qual é a quantidade que maximiza o lucro?
R.: L(x) = R – C = – 2q² + 80 Q – 600
 Vx = - b/2 a = - 80 / -4 = 20 
 
14 Uma companhia de televisão a cabo estima que com x milhares de as-
sinaturas, o faturamento e o custo mensal (em milhares de dólares) são, 
respectivamente, R = 32x - 0,21x2 e C = 195 + 12x.
a) Encontre o número de assinantes para o qual o faturamento é igual ao 
custo, ou seja, o ponto em que o lucro é zero.
R.: L(x) = - 0,21 x² + 20x – 195 = 0 ( ponto de equilíbrio)
Cálculo das raízes (x1 e x2) – Báskara 
x1 = 11 e x2 = 84,21
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15 Seja f (x,y) = x² - 3 xy - y² . Calcule f (5,0), f.(5,-2), f ( 3,6). 
R.: f (5,0) = 25
f (5,-2) = 51
f( 3,6) = - 81
 
16 Considere a função custo de produção f (x,y) = 2x + 8 y. Calcule f (8,1), 
f ( 2,6) f ( 3,15). 
R.: f ( 8,1) = 24
f ( 2,6) = 52
f ( 3,15) = 126 
17 Uma loja vende dois produtos, o primeiro a R$ 50,00 a unidade e o se-
gundo, a R$ 60,00 a unidade. Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois 
produtos.
a) Qual é a expressão da receita de vendas?
b) Qual será a receita, se forem vendidas 10 unidades do primeiro e 15 uni-
dades do segundo produto?
R.: a) R (x,y) = 50x + 60 y
b) R (10,15) = 1.400
18 Sejam x e y as quantidades vendidas de dois produtos, cujos preços 
unitários são R$ 10,00 e R$ 30,00, respectivamente.
a) Determine a função receita (x,y).
b) Calcule R (20,40).
c) Se foram vendidas 50 unidades do produto x, quantas unidades do produto 
y devo vender para ter uma receita de R$ 1.100,00?
R.: a) R (x,y) = 10x + 30 y
b) R (20,40) = 1.400
c) 20 unidades
19 Seja o custo fixo de um produto X R$ 800,00 e o custo por peça produzida 
de R$ 30,00. O custo fixo do produto Y de R$ 1.600,00 e o custo por peça 
produzida de R$ 80,00. O produto X é vendido a R$ 50,00 e o produto Y a 
R$ 130,00. Com base nos dados, pede-se:
a) A função custo com duas variáveis dos produtos A e B.
b) A função lucro com duas variáveis dos produtos A e B.
c) O lucro na venda de 100 peças do produto A e 80 peças do produto B. 
R.: a)C (x,y,) = 800 + 30x +1.600 + 80y = 2.400 + 30x + 80 y 
b) L (x,y) = 20x + 50 y – 2.400
c) L (100,80) = 3.600
20 Uma empresa produz um produto em duas fábricas I e II. As funções 
custo em cada fábrica são:
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Fábrica I C (x) = 500 + 40 x Fábrica II C (y) = 1.000 + 20 x, em que x e y 
são as quantidades produzidas em cada unidade. Sendo o preço de venda 
do produto R$ 80,00, pede-se:
a) A função lucro L (x,y).
b) O lucro para 200 peças produzidas e vendidas dos produtos x e y (de 
cada produto).
R.: a) L (x,y) = 40 x + 60 y – 1.500
b) L (200,200) = 18.500
21 Seja C (x,y) = 1.000 + 2x + 3y a função custo conjunto para fabricar x 
unidades de um produto I e y unidades de um produto II . 
a) Qual é o custo fixo?
b) Qual é o custo de fabricação de 100 unidades de I e 200 unidades de II? 
R.: a) 1.000
b) 1.800
TÓPICO 2
1 Uma companhia produz e vende dois produtos, denominados I e II, os 
quais são vendidos por R$ 20,00 e R$ 18,00, respectivamente. O custo para 
produzir x unidades do produto I e y unidades do produto II é:
400 + 2x + 3y + 0,01( 3x² + xy + 3 y² )
Encontre os valores de x e y que maximizam o lucro da companhia.
R.: x= 265,71 e y = 205,71
2 Encontre os pontos x e y onde f (x,y) pode ter um máximo ou mínimo re-
lativo:
a) f(x,y) = 8 + 4x + 6y +x² - 3 y² 
b) f(x,y) = 4 + 3x - 2y + x² -5 xy + 6 y²
c) f(x,y) = x + y - 3x² + 7xy - 4 y² 
R.: a) não existe máximo ou mínimo relativo, pois não podemos igualar os 
y, não podendo utilizar a técnica dos mínimos quadrados.
b) df/dx = 3 + 2x – 5y y = (3 + 2x)/5
 df/dy = -2 – 5x + 12 y y = 5x + 2 /12 
Fazendo y = y teremos x = 26 e y = 11
c) x = -15 e y = -13 
3 Quando uma empresa usa x unidades de trabalho e y unidades de capital, 
sua produção mensal de um certo produto é dada por:
 P = 32 x + 20y - 2x² + 3xy – 2,5 y².
Obtenha os valores de x e y que maximizam a produção mensal.
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R.: x = -31,41 e y = - 22,85
4 O lucro que uma empresa obtém vendendo dois produtos A e B, é dado 
por:
 L = 600 + + 18x + 18y – 3xy -2x² - 4 y²,
em que x e y são quantidades vendidas. Obtenha os valores de x e y que 
maximizam o lucro.
R.: x = 43,09 e y = 19,09
5 Uma firma produz um produto que é vendido em dois países na Europa. 
A função custo do produto da empresa é dada por: C = 60.000 + 500 (x+y). 
Sejam x e y as quantidades vendidas nesses dois mercados e o preço de 
venda no país A é de R$ 800,00 e no país B é de R$ 1.000,00.
a) Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro em cada país.
b) Qual é o valor do lucro? 
R.: a) x = 2 e y = 1,6
b) L (x,y) = 300x + 500y – 60.000
TÓPICO 3
1 A tabela a seguir fornece as quantidades de fertilizantes aplicados (xi) e a 
produção por hectare (yi) em quatro canteiros de uma fazenda experimen-
tal.
 Xi 2 4 6 8
 Yi 20 35 55 85
a) Obtenha a reta dos mínimos quadrados de y em função de x ajustada 
aos dados.
b) Preveja a produção para uma aplicação de fertilizante correspondente a x = 7. 
R.: a) a = 14,875 b = -25,675 y = 14,875x – 25,675 
b) p/ x= 7 y = 78,45
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2 Um varejista variou o preço de um produto (x) e observou a correspondente 
demanda mensal. Os resultados obtidos foram:
 Preço (x) Demanda mensal (y)
10 100
15 70
20 50
25 30
Obtenha a reta dos mínimos quadrados de y em função de x ajustada aos dados.
R.: a = -4,3 b = 143 y = -4,3x + 143 
3 Uma empresa observou a quantidade mensal produzida de um produto 
(x) e o correspondente custo (y) em milhares de reais. Os dados foram os 
seguintes:
 x 10 12 14 16 18 20 22
 Y 14,5 16,5 18 18,5 19,5 21 21,5
a) Obtenha a reta de mínimos quadrados ajustada de y em função de x aos 
dados.
b) Qual o custo estimado para a produção de 24 unidades por mês? E 40 
unidades por mês? 
R.: a) y = 0,5625x + 9,5 
b) p/ 24 unidades y = 23 e p/ 40 y = 32
4 A tabela a seguir fornece a exportação de um produto y em milhões de 
dólares, em função ano (x) contando a partir de determinada data do calen-
dário.
Ano (x) 1 2 3 4 5 6 7
Exportação(y) 80 100 118 143 164 179 205
a) Obtenha a reta de mínimos quadrados de y em função de x ajustada aos 
dados.
b) Preveja a exportação para o próximo ano e para os 5 próximos anos. 
R.: a) y = 20,67x + 57,6 
 b) p 5 anos y = 161
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Que elementos compõem e integram um jogo?
R.: Interações, agentes, racionalidade, comportamento estratégico.
2 O que se entende por interação? 
R.: Interações são situações entre vários agentes dentro de uma determinada 
situação. Por exemplo, vários vendedores de eletrodomésticos têm várias 
estratégias de vendas para atingirem suas metas. 
3 Por que é importante a racionalidade num jogo? 
R.: A racionalidade emprega os métodos adequados aos objetivos que 
se almejam, sejam quais forem esses objetivos. Podemos afirmar que a 
racionalidade é fundamental para a melhor compreensão das regras e dos 
limites da teoria dos jogos. É o diferencial competitivo de cada participante.
4 O que é comportamento estratégico? 
R.: Partindo-se do princípio de que todos os jogadores usam estratégias 
diferentes entre si, a utilização da racionalidade e do poder de decisão 
de cada jogador terá influências decisivas nos resultados dos jogos entre 
empresas ou instituições. Portanto, o comportamento estratégico é um 
instrumento pessoal. 
5 Por que se estuda a teoria dos jogos? 
R.: A teoria dos jogos representa um método para ampliar os dados 
necessários para uma tomada de decisão. Historicamente, a teoria dos 
jogos vem evoluindo e modelos de jogos são aplicados em administração, 
ciências políticas, estratégias militares, economia, engenharia e outras 
áreas de atuação do homem.
6 Podemos contar sempre com a sorte em jogo? 
R.: Certamente que não. A sorte é um elemento imprevisível e aparece em 
situações inusitadas. Contar com a sorte é dar chance para o azar. 
7 O que pode diferenciar os agentes em um jogo? 
R.: Um agente é qualquer pessoa que participa do jogo, portanto, tem 
tomada de decisão. Um agente não pode estar ao mesmo tempo nos dois 
lados do jogo. Se existe uma competição entre as empresas A e B, um 
mesmo jogador não pode participar das empresas A e B ao mesmo tempo. 
Deve escolher uma delase permanecer até o final.
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8 Uma empresa quer comprar uma concorrente que está mal financeiramente 
há 5 anos. Como você utilizaria os elementos que compõem o jogo para 
otimizar o resultado?
R.: Resposta pessoal.
9 Descreva uma situação utilizando os elementos de um jogo no dia a dia 
de uma empresa de transportes. O jogo seria entre o setor de logística e o 
setor de vendas.
R.: Resposta pessoal.
10 Assinale V ou F:
( V ) Como todas as organizações, as empresas são um microcosmo em 
nossas vidas e têm seus sistemas – técnico e social, segundo classificação 
do Instituto Tavistock, de Londres – inter-relacionados.
( F ) A teoria dos jogos é uma série de ensaios dentro da Administração 
e Economia que atua sobre expectativas e comportamentos. Sendo 
mais abrangente, trata da não cooperação. É uma análise matemática de 
situações que envolvam interesses sem conflito a fim de não indicar as 
melhores opções de atuação para que seja atingido o objetivo desejado.
( V ) Os primeiros textos sobre a teoria dos jogos foram criados pelo matemático 
francês Émile Borel, que lançou as raízes desse estudo. Entretanto, foi o 
matemático americano John von Neumann e o austríaco Oskar Morgenstern 
aqueles que conceberam, por volta da década de 20, uma teoria matemática 
(The Theory of Games and Economic Behavior) apurada, mesclando 
economia e organização social aos jogos de estratégia.
( F ) Uma relação do tema com o dia a dia das organizações em geral não 
são os aspectos geralmente analisados pela teoria: as estratégias não 
adotadas e suas consequências, as alianças impossíveis entre os indivíduos 
(“jogadores”).
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TÓPICO 2
1 O que é um modelo matemático?
R.: “Jogos são modelos que tratam de interações estratégicas. Interações 
estratégicas, por sua vez, são o resultado do reconhecimento, por parte de 
cada um dos agentes, de que suas ações afetam os demais e vice-versa.
2 O que é um modelo determinístico? E probabilístico?
R.: Modelos em que todas as informações relevantes são assumidas como 
conhecidas (sem incertezas) são denominados determinísticos. Modelos 
em que uma ou mais variáveis de decisão não são conhecidas com certeza 
são chamados probabilísticos, e esta incerteza deve ser incorporada ao 
modelo. 
3 Conceitue estratégia ou tática.
R.: É a forma como você vai se comportar dentro de um jogo de empresa ou 
de mercado. É o seu posicionamento diante das circunstâncias. 
4 O que se entende por regras do jogo?
R.: As regras do jogo são as condições impostas ou negociadas por 
participantes em um jogo com poder de decisão. Na verdade, cada um deve 
usar o seu poder de decisão e participar da elaboração das regras do jogo, 
que podem estar sempre se alterando.
5 Explique o que vem a ser ganha-ganha. E ganha-perde. E perde-perde.
R.: Ganha-ganha: as duas partes envolvidas numa negociação ganham. 
E ganha-perde: uma das partes ganha e a outra perde.
E perde-perde: as duas partes perdem numa negociação. É o pior negócio 
possível.
6 Assinale V ou F: 
( V ) Numa empresa A um funcionário x trabalha incansavelmente para 
atingir as metas em vendas no mês. Tem-se um exemplo do paradigma 
ganha-ganha.
( V ) Numa empresa B todos os funcionários atingiram as metas de produção 
numa determinada semana. No posto de vendas da empresa e nos escritórios 
de representação da empresa as metas de vendas não foram atingidas. 
Trata-se de um paradigma perde-perde, pois a empresa perdeu liquidez e 
não obteve lucro.
( F ) Em uma negociação o vendedor teve um lucro acima do esperado, 
majorando os preços do serviço. O cliente cancelou o serviço por se sentir 
lesado.Trata-se de um perde-ganha.
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( V ) Quando desenvolvemos nossas competências em cursos de 
aperfeiçoamento na área de atuação com custos pagos pela empresa, 
realizamos um ganha-perde, pois nós ganhamos e a empresa perde.
TÓPICO 3
1 Como mudar o jogo?
R.: As maiores oportunidades e os maiores ganhos reais ocorrem quando 
se joga o jogo certo. Segundo Nalebuff (1996, p. 83), “para mudar um jogo, 
você deve mudar um ou mais elementos. Mude uma das partes e você 
mudará o todo.”
As partes não se separam do todo. Quando o autor fala em partes, está 
falando em interações, agentes, racionalidade, comportamento estratégico 
entre outros elementos que compõem um jogo. 
2 Como trazer clientes e fornecedores?
R.: 1 Eduque o mercado. 
2 Pague os fregueses para jogarem.
3 Subsidie alguns fregueses, e outros fregueses pagantes se seguirão.
4 Experimente você mesmo. Torne-se seu próprio freguês a fim de expandir 
o mercado, garantir a demanda e alcançar a escala.
3 Num lote de 52 peças, 15 apresentam defeito. Retiradas as duas peças deste 
lote, com reposição, qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
R.: 225/2704 = 0,083 = 8,3%
 
4 Um levantamento entre 50 estudantes do curso de Contábeis da USP, sobre 
o número de atividades extracurriculares, resultou nos dados a seguir: 
Número de atividades Frequência
0 8
1 20
2 12
3 6
4 3
5 1
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Com base nos dados acima, pede-se: 
a) Seja A o evento em que um estudante participe de pelo menos 1 atividade. 
Calcule P(A).
b) Seja B um evento em que um estudante participe de exatamente 2 ativi-
dades. Calcule P(B).
R.: a) 84% b) 24% 
5 O número de acidentes por semana em uma intersecção de grande 
movimento foi registrado durante um período de um ano. Houve 11 semanas 
em que não ocorreu nenhum acidente, 26 semanas em que ocorreu 
apenas um acidente, 13 semanas com dois acidentes e 2 semanas em que 
ocorreram 3 acidentes. Considere uma semana escolhida aleatoriamente e 
seja X o número de acidentes ocorridos durante esta semana. Assim, X é 
uma variável aleatória que pode assumir os valores O, 1, 2 e 3. 
a) Escreva as possibilidades em que ocorreram 0,1,2 e 3 acidentes.
b) Calcule a média de acidentes E(x).
R.: a) 0 - 11/52 1- 26/52 2- 13/52 3 – 2/52
 b) Média = 1,115 acidentes por semana. 
6 Uma fazenda de citros antecipa um lucro de 100.000 durante o ano corrente 
se as temperaturas noturnas permanecerem modera das. Infelizmente, a 
previsão do tempo indica uma chance de 25% de que a temperatura cairá 
abaixo de zero durante a próxima semana. Uma situação climática como 
esta destruirá 40% da safra e reduzirá o lucro para U$ 60.000. Entretanto, 
o fazendeiro pode proteger as frutas contra a possível geada (utilizando 
diver sos recursos) a um custo de U$ 5.000. O fazendeiro deve gastar os 
U$ 5.000 e, portanto, reduzir o seu lucro para 95.000? (Sugestão: calcule 
E(X), onde X é o lucro que o fazendeiro obterá se ele não tomar nenhuma 
providência para proteger as frutas). 
R.: Sim, deve gastar para prevenir, pois o risco é considerável.
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 O que se entende por modelagem matemática?
R.: Modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um 
modelo que tenta descrever matematicamente um fenômeno da nossa 
realidade para tentar compreendê-lo e estudá-lo, criando reflexões e 
hipóteses sobre tais fenômenos.”
2 Cite três tipos de problema em que podemos utilizar a modelagem para a 
tomada de decisão.
R.:Problemas de otimização de recursos, problemas de localização e 
problemas de carteiras de investimento
3 Como podemos converter dados em informações significativas?
R.: Transformar dados brutos (números e fatos) em dados, através de seu 
armazenamento de forma organizada a fim de facilitar o processo de tomada 
de decisão.
4 Por que apoiar o processo de tomada de decisão de forma transferível e 
independente?
R.: Através dos Sistemas de Apoio à Decisão, dar suporte às decisões para 
que estas sejam independentes dodecisor e assegurar que o processo de 
toma da de decisão seja claro e transparente. 
5 Qual é o objetivo em criar sistemas computacionais úteis para usuários 
não técnicos?
R.: Facilitar, através de sistemas de fácil utilização, os processos de tomada 
de decisão operacional, gerencial e estratégico. 
6 O que você entende por modelos computacionais?
R.: Entendemos modelos computacionais como um conjunto de relações 
matemáticas e hipóteses lógicas implementadas em computador de forma a 
representar um problema real de tomada de decisão. 
7 Que tipos de soluções podem ser utilizados na implantação de sistemas 
computacionais? 
R.: Criar sistemas computacionais úteis para os usuários não técnicos. 
Facilitar, através de sistemas de fácil utilização, os processos de tomada de 
decisão operacional, gerencial e estratégica. 
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8 Assinale V ou F:
( F ) A modelagem matemática é livre e espontânea, ela surge da necessi-
dade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir 
em seu processo de construção.
( V ) Entre os tipos de problemas em que pode ser utilizada a modelagem 
para ajudar no processo de decisão, encontram-se: 
• Problemas de Carteiras de Investimento. 
• Problemas de Relações interpessoais. 
• Problemas de Previsão e Planejamento.
( V ) Para auxiliar a empresa na resolução de um problema, o modelador pre-
cisa definir muito bem o problema, conhecer todos os processos da empresa, 
ter bons conhecimentos de matemática e tecnologia de informações. Vencidas 
essas etapas, o modelador vai utilizar todas as informações disponíveis, e 
partirá, então, para o estudo de variáveis e elaboração das equações que 
irão conduzir o empresário à solução do problema. 
( V ) Por modelos computacionais entendemos um conjunto de relações 
matemáticas e hipóteses lógicas, implementadas em computador de forma 
a representar um problema real de tomada de decisão. 
TÓPICO 2
1 Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro dife-
rentes modelos de consoles em madeira para aparelhos de TV, designados 
respectivamente I, II, III e IV. Cada um deles deve ser montado e em seguida 
decorado. Os modelos necessitam respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para 
a montagem e de 2, 1, 5, e 3 horas para a decoração.
Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 
reais. O fabricante dispõe de 900 horas para a montagem destes produtos e 
de 500 horas para a decoração. Quanto de cada um dos modelos deve ser 
produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro?
R.: O lucro máximo será com 100, 62, 20 e 46 peças dos produtos I, II, III, 
IV, respectivamente.
2 Um investidor que dispõe de R$ 6.000,00 está contemplando a possibi-
lidade de compra de 2 tipos de ações: tipo 1 – preço unitário de R$ 5,00 e 
rentabilidade anual esperada de 30%; tipo 2, preço unitário de compra de R$ 
3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%. Supondo que o investidor não 
queira adquirir mais que 1750 ações e que seu corretor só possa conseguir 
1000 ações tipo 1 e 1500 tipo 2, que quantidades deve comprar, de cada 
tipo, para maximizar o total do capital no final do ano?
R.: Serão 1380 ações do tipo 1 e 370 do tipo 2.
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3 Uma empresa está analisando um conjunto de alternativas de projetos de 
investimentos disponíveis e apresentados na tabela seguir.
Projeto Inv. 1ano Inv. 2 ano vida Receita 3 anos
1 12 3 5 10
2 54 7 5 27
3 6 6 5 10
4 6 2 5 8
5 30 35 5 35
O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 
para o segundo. Sabendo-se que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a 
combinação ótima desses projetos?
R.: Resposta pessoal (várias combinações).
TÓPICO 3
1 Na fabricação de dois de seus produtos, uma empresa utiliza dois 
equipamentos que limitam a produção. Em um dado período de tempo, 
estão disponíveis 80 horas do equipamento I e 60 horas do equipamento II.
Para a fabricação de uma unidade do produto A, usam-se 2 horas 
do equipamento I e 3 horas do equipamento II. Já para a fabricação de uma 
unidade do produto B, são gastas 4 horas do equipamento I e 1 hora do 
equipamento II.
Por outro lado, uma unidade do produto A gera um lucro de R$ 100,00 
enquanto que uma unidade do produto B, gera um lucro de R$ 80,00.
Baseado nos dados acima, pede-se:
a) Formular a programação linear pertinente ao programa (função objetivo, 
conjunto de restrições e condição de não negatividade).
b) Maximizar o lucro. 
R.: a) Função objetivo: L(X) = 100 x1 + 80 x2
 Condições de restrições: 
 Máq I 2 X1 + 3X2 ≥ 80
 Máq II 4 X1 + 1 X2 ≥ 60
 X1 e X2 ≥ 0 sendo x1 = produto A e X2 = produto B
b) Lucro máximo para x1 = 10 e X2 = 20
 Lucro máximo = 2.800 
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2 Uma firma produz duas linhas de produto, I e II, com uma planta que 
contém três departamentos de produção: corte, mistura e embalagem. O 
equipamento em cada departamento pode ser operado 8 horas por dia, 
portanto, podemos entender estas horas como a capacidade diária de cada 
departamento. O processo de produção pode ser resumido da seguinte 
maneira:
a) O produto I é primeiro cortado e então embalado. Cada tonelada desse 
produto consome ½ hora da capacidade de corte e 1/3 hora da capacidade 
de embalagem.
b) O produto II é primeiro misturado e depois embalado. Cada tonelada 
desse produto consome 1 hora de capacidade de mistura e 2/3 hora da 
capacidade de embalagem.
 Os produtos I e II são vendidos ao preço de R$ 80,00 e R$ 60,00 por 
tonelada, respectivamente, mas, deduzindo-se todos os custos, eles geram 
um lucro líquido de R$ 40,00 e R$ 30,00 respectivamente, por tonelada.
Baseado nos dados acima, pede-se:
a) Formular a programação linear pertinente ao programa (função objetivo, 
conjunto de restrições e condição de não negatividade).
b) Maximizar o lucro. 
R.: a) Função objetivo: L(X) = 40x1 + 30 x2
 Corte 0,5 X1≥ 8
 Embalagem 1/3 x1 +2/3 x2 ≥ 8
 Mistura x2 ≥ 8
 X1 e X2 ≥ 0 
b) Lucro máximo = 640,00
3 Resolva o caso a seguir:
L = 2 X1 + 5 X2
Sujeito a (condições de restrições) 
 X1≤ 4
 X2 ≤ 3
 X1 + 2X2 ≤ 8
 X1,X2 ≥ 0 Condição de não negatividade das variáveis de decisão.
Calcule o lucro máximo.
R.: x1 = 2 e x2 = 3