U01_A02_FEMDIST_LEIDECOULOMB_2PP

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AULA 2: LEI DE COULOMB 
 
 
OBJETIVOS 
• ENUNCIAR AS CARACTERÍSTICAS DA FORÇA ELÉTRICA 
• APLICAR A LEI DE COULOMB EM SITUAÇÕES SIMPLES 
• EXPLICAR O SIGNIFICADO DA CONSTANTE DE PERMISSIVIDADE DO VÁCUO 
 
 
2.1 A LEI DE COULOMB 
 
Em 1785, Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806) realizou uma série de 
medidas cuidadosas das forças entre duas cargas usando uma balança de torção, 
semelhante à que Cavendish usou para comprovar a teoria da Gravitação. Através 
dessas medidas, Coulomb mostrou que, tanto para a atração como para a repulsão de 
cargas elétricas pontuais: 
 
(a) o módulo da força de interação F entre duas cargas pontuais é proporcional ao 
produto dessas cargas, ou seja: 
 21QQF ∝ 
 
(b) o módulo da força de atração ou repulsão entre duas cargas pontuais é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas. 
 
 2
1
r
F ∝
 
 
 
A força F que atua entre as cargas é denominada força elétrica ou força 
eletrostática. 
 
A experiência nos mostra também que a força elétrica tem as seguintes 
características: 
 
(a) é uma força de ação e reação; sua direção é a da linha que une as duas cargas e o 
seu sentido depende do sinal relativo das cargas, como se vê na figura 2.1; 
39 
 
 
(b) a força entre duas cargas elétricas é sempre instantânea, de acordo com a Física 
Clássica; 
 
(c) a força depende do meio em que as cargas elétricas estão situadas. 
 
 Tendo em vista essas informações, podemos escrever que o vetor força 
elétrica que atua entre duas cargas elétricas pontuais pode ser escrito como: 
 
 r
r
QQKF e ˆ= 2 21
r
 
(2.1) 
 
em que eK é uma constante de proporcionalidade e rˆ é o vetor unitário na direção 
que passa pelas cargas elétricas (na Figura 2.1, ele tem o sentido de 1Q para 2Q ). A 
equação 2.1 é a expressão matemática da Lei de Coulomb. 
 
 
 
Figura 2.1: (a) e (b) duas cargas de mesmo sinal se repelem. (c) cargas de sinais 
opostos se atraem. Estão indicados também os vetores força elétrica 12F
r
 
da carga 1Q 
sobre 2Q e 12F
r
 
da carga 2Q sobre 1Q bem como o vetor unitário rˆ . Pela 3ª. Lei de 
Newton temos que .2112 FF
rr
−= 
 
A dependência da força elétrica com o meio é levada em conta na constante 
eK . Para o vácuo, eK é escrita na forma: 
 
04
1
=
εpie
K 
40 
 
em que 0ε é uma outra constante denominada permissividade do vácuo. 
 
Se medirmos a carga elétrica em Coulomb, o valor dessa constante no SI é: 
 
 221120 ..108,854= CmN −−−×ε 
 
O valor numérico de eK e sua unidade são, então: 
 
 229 ..108,9874= −× CmNKe 
 
O valor da permissividade do ar é muito próximo do valor da permissividade do 
vácuo. Assim vamos supor que elas são iguais. Dessa forma, a lei de Coulomb pode 
ser escrita como: 
 
 
 r
r
QQ
F ˆ
4
1
= 2
21
0εpi
r
 
(2.2) 
 
SAIBA MAIS 
O SISTEMA DE UNIDADES NA ELETROSTÁTICA 
Na equação 2.1 conhecemos as unidades de força e de distância; falta então 
definir as unidades de carga elétrica e da constante eK . Isso pode ser feito de duas 
maneiras: 
 
(1) podemos atribuir à constante eK um valor arbitrário ( 1=eK , para facilitar) e 
determinar a unidade de carga de modo tal que a força elétrica que atue entre duas 
cargas unitárias, situadas à distância unitária uma da outra, seja também unitária. 
Essa foi a maneira adotada para o sistema CGS de unidades (o sistema CGS tem como 
unidades fundamentais o centímetro, o grama e o segundo). Nele, escreve-se o 
módulo da lei de Coulomb para o vácuo como: 
 2
21
=
r
QQF
 
41 
 
A unidade de carga é chamada de statcoulomb. Duas cargas de 1 statcoulomb, 
situadas a um centímetro de distância uma da outra no vácuo, exercem uma força 
mútua de 1 dyna ( 510− N). Temos que 1 statcoulomb = 3,336 x .10 10C− 
 
(2) A outra maneira consiste em definir a unidade de carga independentemente da lei 
de Coulomb e determinar o valor da constante eK experimentalmente, a partir da 
unidade de carga. O inconveniente desse modo é que, toda vez que uma medida da 
constante muda seu valor, a unidade de carga elétrica tem que ser modificada. 
 
O Coulomb foi definido através do conceito de corrente elétrica, sendo portanto, 
independente da lei de Coulomb. Ele é a unidade de carga elétrica adotada no sistema 
MKS (que tem como unidades fundamentais o metro, o quilograma e o segundo), e a 
constante eK , nesse sistema, é determinada experimentalmente. 
 
Em 1901, Giovanni Giorgi (1871 -- 1950) mostrou que o sistema de unidades 
do eletromagnetismo poderia ser incorporado ao sistema MKS, admitindo que a carga 
elétrica é a quarta grandeza fundamental deste sistema, além do comprimento, tempo 
e massa (fato que, inclusive, foi a origem do Sistema Internacional). Para isso, bastava 
modificar algumas equações do eletromagnetismo. Uma dessa modificações implicou 
em escrever a constante eK na forma: 
 
04
1
=
εpie
K 
em que a nova constante 0ε , denominada permissividade do vácuo, tem como valor: 
 22112270 ..108,854=10.4
1
= CmN
c
−−−
−
×
pi
ε
 
 
Em 1960, na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, decidiu-se adotar um 
valor fixo para a constante eK no vácuo e definir o Coulomb a partir dele. Assim, 
adotou-se o valor: 
 927 108,9874=10= ×− cK e 
em que c é a velocidade da luz no vácuo. 
Com esse valor de eK , a unidade de carga --- o Coulomb --- passou a ser 
42 
 
definida como a carga que, colocada no vácuo, a um metro de uma carga igual, a 
repeliria com uma força de 9108,9874 × N. A unidade de eK no SI é N.m 2 /C 2 . 
 
 EXEMPLO 2.1 
Qual a magnitude da força eletrostática repulsiva entre dois prótons separados em 
média de m15102,4 −× em um núcleo de Ferro? 
 
Solução: Escrevemos imediatamente: 
 2
2
04
1
=
r
QF
piε 
ou:
 
 N
m
CCmN
m
CF 9,12=)10(4,2
)10)(1,60/10(8,98
)10(4,2
)10(1,60
4
1
= 215
219229
215
219
0
−
−
−
−
×
××
=
×
×
εpi
 
 
 ATIVIDADE 2.1 
Compare a magnitude da força gravitacional entre esses dois prótons com a magnitude 
da força elétrica calculada no exemplo 2.1? 
 
 EXEMPLO 2.2 
Duas bolinhas pintadas com tinta metálica estão carregadas. Quando estão afastadas 
de 2100,4 × m atraem-se com uma força de 51027× N. Encosta-se uma na outra sem 
tocar-lhes com a mão. Afastando-as novamente até a distância de 2100,4 × m elas se 
repelem com a força de 5109× N. Explique porque a força mudou de atrativa para 
repulsiva. 
Solução: Vamos começar pensando nos princípios gerais de Física que envolvem 
cargas: lei de Coulomb e conservação da carga. A lei de Coulomb nos diz que as 
cargas vão se atrair porque as suas cargas são opostas. A conservação da carga nos 
43 
 
diz que a carga total se conserva no processo podendo apenas se redistribuir. Então, 
ao serem postas em contato, as bolinhas vão sofrer uma redistribuição de carga graças 
às forças de atração. Como quantidades iguais de cargas de sinais contrários se 
cancelam, temos, no final, uma carga líquida de mesmo sinal em ambas as bolinhas, 
causando portanto uma força repulsiva entre elas. 
 
2.2 FORÇA DE UM CONJUNTO DE CARGAS 
 
 Como acontece com a força gravitacional, as forças eletrostáticas também 
obedecem ao Princípio deSuperposição. Quando um conjunto de várias cargas 
exercem forças (de atração ou repulsão) sobre uma dada carga 0q , a força total sobre 
esta carga é a soma vetorial das forças que cada uma das outras cargas exercem 
sobre ela: 
 
i
i
i
i
N
i
i
i
i
N
i
i
N
i rr
rr
rr
qq
rr
rr
qq
FF rr
rr
rrrr
rr
−
−
−
=−
−
∑∑∑
0
0
2
01=0
0
02
01=0
0
1= 4
ˆˆ
4
==
piεpiε
 (2.3) 
 
 
 
em que iq é a i-ésima carga do conjunto, irr
rr
−0 é a distância entre 0q e a carga iq 
e irr ˆˆ0 − é o vetor unitário da direção que une a carga 0q à carga iq , cujo 
sentido é o de 0q para iq . Ou seja, cada carga interage com uma dada carga 0q 
independentemente das outras, e a força resultante sobre 0q é a soma vetorial de 
cada uma dessas forças. 
 
 EXEMPLO 2.3 
Três cargas 1,5=1 +Q mC, 0,5=2 −Q mC e 0,2=3Q mC estão dispostas como na 
Figura 2.2 (1 mC = 310− C). A distância entre as cargas 1Q e 3Q vale 1,2m e a 
distância entre as cargas 2Q e 3Q vale 0,5 m. Calcular a força resultante sobre a 
carga 3Q 
 
Solução: Seja um sistema de coordenadas com origem na carga 3Q , e eixos dirigidos 
44 
 
como mostrado na Figura 2.2. 
 
Figura 2.2 – Disposição das cargas elétricas do Exemplo 2.3 
 
A força de 1Q sobre 3Q é repulsiva pois ambas as cargas são positivas; a força 
de 2Q sobre 3Q é atrativa pois as cargas possuem sinais diferentes, Assim, temos 
que: 
 N
m
CCCmN
r
QQFx 322
33
229
2
13
31
0
101,88=(1,2)
)10(0,2)10(1,5/109,0=
4
1
= ×
××
×
−−
piε
 
e: 
 N
m
CCCmN
r
QQ
Fy
3
22
33
229
2
23
32
0
103,60=
0,5
)10(0,2)10(0,5/109.0=
4
1
= ×
××
×
−−
piε 
 
Note que as equações acima nos dão o módulo das componentes da força total. 
Portanto, nelas, as cargas entram sempre com sinal positivo. A direção e sentido das 
forças componentes são determinadas com um diagrama, ver figura2.3. O módulo da 
força resultante F é: 
 .104,06== 322 NFFF yx ×+ 
Como a força elétrica é um vetor, temos que especificar sua direção e sentido. Se θ é 
o ângulo que o vetor F
r
 faz com o eixo Ox, temos: 
 .4,62=1.91=
101,88
103,60
==t 3
3
oθθ ⇒
×
×
x
y
F
F
g 
 
45 
 
 
 Figura 2.3: Diagrama das componentes do vetor força, F
r
. 
 
 EXEMPLO 2.4 
Uma carga Q é colocada em cada um de dois vértices da diagonal de um quadrado. 
Outra carga q é fixada nos vértices da outra diagonal, conforme mostra a Figura 2.4 . 
Para que a carga Q do vértice inferior esteja sujeita à uma força eletrostática 
resultante nula, como devem estar relacionadas as cargas Q e q ? 
 
 
Figura 2.4 – Disposição das cargas elétricas do exemplo 2.4. 
 
Solução: Uma inspeção na figura nos mostra que as cargas Q e q devem ter sinais 
opostos, para que não não haja força sobre Q . As forças eletrostáticas que atuam na 
carga Q do vértice inferior do quadrado são mostradas na Figura 2.4. Temos que: 
 
 0=cos= qQQQx FFF +−∑ α 
 0== qQQQy FsenFF +−∑ α 
 
 em que α é o ângulo que QQF faz com o eixo Ox. Mas: 
46 
 
 ,21/2/=cos =aaα 
 ,
24
1
= 2
2
0 a
QFQQ piε 
e 
 .
4
1
= 2
0 a
qQFqQ piε 
Com esses valores, a condição de equilíbrio fica: 
0=
4
1
2
1
24
1
2
0
2
2
0 a
qQ
a
Q
piεpiε
+





−
 
0=
2
1
2 22
2
a
qQ
a
Q
+





−
 
0=
22
qQ +





− 
qQ =
22 
Finalmente, levando em conta que as cargas tem sinais opostos, temos: 
qQ 22= − 
(o sinal negativo indica cargas de sinal contrário). 
 
 ATIVIDADE 2.2 
Duas esferas condutoras de massa m estão suspensas por fios de seda de 
comprimento L e possuem a mesma carga q , como é mostrado na Figura 2.5.: 
(a) Considerando que o ângulo θ é pequeno, calcule a a distância x entre as 
esferas, no equilíbrio, em função de q , m , L , 0ε e g . 
 
(b) Sendo 80=L cm; m = 5,0 g e x = 10,0 cm, calcule o valor de q para 
essa situação. Verifique se, com esses dados, a hipótese de que θθ eng st ≈ é válida. 
47 
 
 
 Figura 2.5: Esferas condutoras suspensas. 
 
 ATIVIDADE 2.3 
Suponha que o gráfico da figura 2.6 corresponda a duas bolas de beisebol com massas 
0,142 kg e cargas positivas iguais. Para cada bola determine o número de elétrons que 
faltam e estime a fração destes elétrons faltantes em relação ao número de cargas 
positivas. 
 
 Figura 2.6- Gráfico de F F versus r . 
 
 
 
 2.3 A LEI DE COULOMB EM UM DIELÉTRICO 
 
 Suponhamos agora, que duas cargas 1Q e 2Q fossem colocadas no interior de 
um material dielétrico qualquer. A experiência nos mostra que, nesse caso, a interação 
entre as cargas sofre uma redução, cuja intensidade depende do meio. 
O fator de redução é denotado por k é chamado de constante dielétrica do 
meio. Assim: 
48 
 
 .ˆ
4
1
= 2
21
0
r
r
QQ
k
F
εpi
r
 
(2.5) 
 
 Uma maneira de compreender esse fato é considerando uma situação simples. 
Sejam duas placas condutoras situadas no vácuo, carregadas eletricamente com 
cargas iguais mas de sinais contrários, conforme mostra a figura 2.7. 
 
 
 Figura 2.7: Carga entre placas condutoras. 
 
Colocando-se uma carga q entre as placas, uma força F
r
 atua sobre essa carga 
devido às cargas nas placas. 
Se essas placas forem preenchidas por um dielétrico, já sabemos que o 
dielétrico ficará polarizado, como discutimos anteriormente: as cargas que 
aparecem na superfície do dielétrico são denominadas cargas de polarização. 
 
 
 Figura 2.8: Polarização de um dielétrico entre placas carregadas 
 
 Na Figura 2.8 é fácil perceber que o efeito líquido dessa polarização será 
neutralizar parcialmente as cargas das duas placas e portanto a força original (no 
vácuo) oF vai diminuir. O grau de polarização do meio vai nos dizer quantitativamente 
o tamanho dessa diminução. A Tabela 2.1 mostra os valores da constante dielétrica de 
alguns materiais. 
 
 
 
49 
 
 
TABELA 2.1: CONSTANTE DIELÉTRICA PARA ALGUNS MATERIAIS 
Material Constante 
dielétrica (K) 
 Vácuo 
Ar 
Benzeno 
Âmbar 
Vidro 
Óleo 
Mica 
Glicerina 
Água 
 1,0000 
 1,0005 
 2,3 
 2,7 
 4,5 
 4,6 
 5,4 
43 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
ATIVIDADE 2.1 
 
Usamos a lei de Newton de gravitação: 
 2
2
=
r
m
GF p 
Com os valores dados, temos que: 
 
 .101,05=)10(4,2
)10)(1,67/10(6,67
=
35
215
2272211
N
m
KgkgmNFg
−
−
−−
×
×
××
 
 
A força gravitacional é cerca de 1036 vezes menor que a força elétrica. Esse resultado 
nos diz que a força gravitacional é muito pequena para equilibrar a força eletrostática 
existente entre os prótons no núcleo dos átomos. É por isso que temos que invocar a 
existência de uma terceira força, a força forte, que age entre os prótons eos nêutrons 
quando estão no núcleo. A força forte é uma força atrativa.
 
 
 
ATIVIDADE 2.2 
 
(a) Vamos estudar as forças que agem nas esferas: 
 
 
 Figura 2.9: Forças que agem nas eferas 
 
51 
 
Note da Figura 2.9 que a ação da força peso é anulada pela componente vertical da 
tensão na corda yT e a força elétrica, pela sua componente horizontal. 
Matematicamente, essas condições se expressam da seguinte maneira: 
 2
2
04
1
==
x
qFTsen C εpi
θ 
e: 
 mgT =cosθ 
Agora, a melhor estratégia para eliminar a incógnita T é dividir as duas equações. 
Teremos: 
 
mgx
q
g 2
0
2
4
t
εpi
θ = 
Se Lxseng /2=t θθ ≈ (ver figura) então: 
 
mg
Lq
x
mgx
q
L
x
0
2
3
2
0
2
4
2
=
4
=
2 εpiεpi
⇒ 
Portanto: 
 
1/3
0
2
2
= 





mg
Lq
x
εpi
 
 (b) Temos: 
 C
L
mgx
q 815
1/23
0 105,9103,47
2
4
=
−− ×=×≈





±
εpi
 
e 
 0,06=
0,802
10,0
=
2
=s
×L
x
enθ 
 0,9964(0,06)1=cos 2 ≅−θ 
 
Portanto a hipótese é verificada. 
 
ATIVIDADE 2.3 
Vamos começar calculando a carga q , igual em ambas as bolas: .
4/1
=
0
2
piε
Frq
 
 
52 
 
Podemos escolher qualquer ponto na curva para calcular q . Por exemplo, 
6109,0= −×F N e 4,0=r m, o que dá: 
 
 .13,0103,1/109,0109,04,0= 722962 CCCmNNmq µ=×==×××× −− 
 
Seja n o número de elétrons que faltam em cada bola: 
 
 .107,9=
101,6
101,3
==
11
19
7
eletrons
C
C
e
q
n ×
×
×
−
−
 
 
Num objeto neutro, o número de elétrons é igual ao número de prótons. A fração dos 
elétrons que falta é pNn/ , onde PN é o número de prótons. 
Considerando que uma bola de beisebol tem massa de 0,142 kg e que metade 
dessa massa é atribuída aos prótons e metade aos neutrons. Dividindo então a massa 
de uma bola de beisebol pela massa de um par próton-neutron, obtemos uma 
estimativa de PN : 
 
 .ó1025,4=)102(1,67
0,142
==
25
27 tonsprkg
kg
mm
MN
np
P ×
×+ −
 
 
E a fração de elétrons ausentes, então, é dado por: 
 
 .1086,1=
ó105
é107,9
=
14
25
11
−×
×
×
tonspr
faltamquetronsel
N
n
P
 
 
O que quer dizer esse resultado? Significa que um em cada 13104,5 × ou )109,1(1/ 14−× 
elétrons está ausente em cada bola. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E2.1) A que distância de uma carga elétrica Q=+3,50 mC deve ser colocada outra 
carga q=2,70 mC, no vácuo, para que a força elétrica entre elas seja de 5,64 910× N? 
53 
 
 
E2.2) Se as cargas do exercício E2.1 estiverem na glicerina, qual seria a resposta? 
 
E2.3) Uma carga positiva Q= 2,0 μC é colocada em repouso e no vácuo, a uma 
distância de 1,0 m de outra carga igual. Ela então é solta. Calcule: 
a) a aceleração da carga Q. Ela é igual à da outra? 
b) a velocidade dela depois de percorrer uma distância de 5,0 m 
 
E2.4) Na Atividade 2.2, qual é o ângulo entre linhas que suportam as cargas elétricas, 
se uma carga vale o dobro da outra? Qual é a distância entre elas agora? 
 
PROBLEMAS 
 
P1.1) Três cargas q1=-6,0 µC, q2=+2,0 µC e q3=+4,0 µC são colocadas em linha 
reta. A distância entre q1 e q2 é de 2,0 m e a distância entre q2 e q3 é de 3,5 m. 
Calcule a força elétrica que atua em cada uma das cargas. 
 
P1.2) Quatro cargas iguais Q, duas positivas e duas negativas, são dispostas sobre um 
quadrado de lado a=1,0 m, de modo que cargas de mesmo sinal ocupam vértices 
opostos. Uma carga Q/2 positiva é colocada no centro do quadrado. Qual a força 
resultante que atua sobre ela? 
 
P1.3) No problema P1.2, qual deve ser a carga Q’ do centro do quadrado para que a 
força resultante no centro do quadrado seja nula? 
 
P1.4) Uma carga Q é dividida em duas: q e Q-q. Qual deve ser a relação entre Q e q se 
as duas partes, quando separadas a uma distância determinada sofrem uma força de 
repulsão máxima? 
 
P1.5) Duas pequenas esferas carregadas positivamente possuem uma carga 
combinada de 50 µC. Se elas se repelem com uma força de 1,0 N quando separadas 
de 2,0 m, qual é a carga em cada uma delas? 
 
P1.6) Um cubo de lado a tem uma carga positiva em cada um de seus vértices. Qual é 
o módulo da força resultante que atua em uma dessas cargas?