Eletromagnetismo - Coordenadas cartesianas - Prof Danilo Huanca

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Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
 
Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
Recapitulation Sistemas de coordenadas
 
Sistema de coordenadas ortogonais
● Sistemas de coordenadas ortogonais 
– Definição
– tipos 
● Coordenadas cilíndricas e esféricas
– propriedades
– Ponto, vetor e vetor unitarios: relação entre eles
– Exercícios e aplicações
Bibliografia 
- Elementos e eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Electromagnetismo, 8a edição, 2013. William H. Hayt Jr, and John A. Buck
Sistema de coordenadas ortogonais
● tipos 
Coordenadas cilíndricas 
parabólicas
Coordenadas parabólicas
 
Álgebra vetorial
● Coordenadas cartesianas
– Determinado pela interseção de três planos mutuamente ortogonais
−∞<x<∞
−∞< y<∞
−∞<z<∞
● Características
– As variáveis x, y, e z variam no intervalo
– Vetores unitários perpendiculares entre si
 
Sistema de coordenadas
● Coordenadas cartesianas
– Determinado pela interseção de três planos mutuamente ortogonais
A⃗=(A x , A y , A z)
A⃗=A x i^=A y j^+A z k^
|A⃗|=√ Ax2+A y2+A z2
– O vetor é expresso como:
i^× j^= k^
j^×k^=i^
k^×i^= j^
a^1×a^2= a^3
a^3× a^1= a^2
a^2× a^3=a^1
– Vetores unitários perpendiculares entre si
a^ i× a^ j= a^k εikj
a^ i⋅a^ j=a^k δij
a^1
a^2
a^3
a^2
a^3
a^1
a^1
a^2
a^3
−a^2
−a^3
−a^1
x
y
z
P(x , y , z)
oi^ j^
k^
i^
j^
k^
A⃗
– Caso geral
εikj={ 1, i≠ j≠k0, i= j=k−1, i≠ j≠k} δij={1,i= j0,i≠ j}
 
Sistemas de coordenadas
● Coordenadas cilíndricas
– Determinado pela interseção de um cilindro e dois planos 
superficie ρ
superficie z
x
y
z
A⃗
ϕ
ρ
ρ
a^ρ
a^ϕ
k^
o
x
y
z
Superfícies para valores definidos (,,z)
 
Coordenadas cilíndricas
● Coordenadas cilíndricas
– Determinado pela interseção de um cilindro e dois planos 
A⃗=(Aρ , Aϕ , A z)
A⃗=Aρ a^ρ+Aϕ a^ϕ+A z k^
|A⃗|=√ Aρ2+Aϕ2+A z2
● Características
– As variáveis , , e z variam no intervalo
a^ρ× j^ϕ= k^
a^ϕ×k^=a^ρ
k^×a^ρ=a^ϕ
– Vetores unitários perpendiculares entre si
0≤ρ<∞
0≤ϕ<2π
−∞< z<∞
A⃗
ϕ
ρ
ρ
a^ρ
a^ϕ
k^
o
x
y
z
– Representação do vetor
 
Coordenadas cilíndricas
● Relação entre as variáveis (x,y,z) e (,z)
● Transformação do sistema (,z) para (x,y,z) 
P(x , y , z)→P(ρ ,ϕ , z)
ϕ
ρ
ρ
o
x
y
z
ρ senϕ
z
ρ=√ x ²+ y ²
ϕ=arctan ( y
x
)
z=z
x=ρ cosϕ
y=ρ senϕ
z=z
● Transformação do sistema (x,y,z) para (,z)
 
Coordenadas cilíndricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. cilíndrico
A⃗=A x i^+A y j^+A z k^
● Coordenadas cartesianas
– Precisamos determinar relação entre 
vetores unitários 
(i^ , j^ , k^ )→( a^ρ , a^ϕ , k^ )
ϕ
ρ
ρ
a^Ρ
a^Φ
k^
o
x
y
z
z
a^ρ
a^ϕ
A⃗ ● Coordenadas cilíndricas
A⃗=Aρ a^ρ+Aϕ a^ϕ+A z k^
Coordenadas cilíndricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. cilíndrico
A⃗=A x i^+A y j^+A z k^
● As coordenadas no eixo z são iguais
– Relembremos: 
● Relação entre vetores unitários
i^=i^ρ+ i^ϕ
j^= j^ρ+ j^ϕ
ϕ
o x
y
a^ρ
a^ϕ ϕ
A⃗x
A⃗ y A⃗
i^
j^
ϕ
−a^Φ
ϕ

B⃗
a^
( B⃗⋅a^) a^
A⃗
Coordenadas cilíndricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. cilíndrico
● Relação entre vetores unitários
i^=cosϕ a^−senϕ a^ϕ
j^=senϕ a^+cosϕ a^ϕ
Φ
o x
y
a^Ρ
a^ϕ ϕ i^
j^
ϕ
−a^ϕ
ϕ
● Substituindo esses vetores em:
A⃗=A x i^+A y j^+A z k^
A⃗=(A xcosϕ+A y senϕ) a^+(−Ax senϕ+A y cosϕ) a^ϕ+A z k^
A=A xcosϕ+A y senϕ
Aϕ=−A x senϕ+A ycosϕ
A z=A z
Coordenadas cilíndricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. cilíndrico
● Formas matriciais
Φ
o x
y
a^Ρ
a^ϕ ϕ i^
j^
ϕ
−a^ϕ
ϕ
● Caso inverso: 
[ AAϕA z ]=[
cosϕ senϕ 0
−senϕ cosϕ 0
0 0 1][ AxA yA z ]
[ AxA yA z ]=[
cosϕ −senϕ 0
senϕ cosϕ 0
0 0 1][ AAϕA z ]
 
Sistemas de coordenadas
● Coordenadas esféricas
– Determinado pela interseção de uma superfície esférica, uma cônica e um plano 
y
x
z
z
y
x
θ
r⃗
ϕ
a^ r
a^ ϕ
a^ θ
P ( r , θ , ϕ )
 
Sistemas de coordenadas
● Coordenadas esféricas
– Determinado pela interseção de uma superfície esférica, uma cônica e um plano 
Superfícies para valores definidos (,,z)
z
y
x
θ
r⃗
ϕ
a^ r
a^ ϕ
a^ θ
P ( r , θ , ϕ )
A⃗=(Ar , Aθ, Aϕ)
A⃗=Aρ a^ρ+Aϕ a^ϕ+A z k^
|A⃗|=√ A r2+Aθ2+Aϕ2
● Características
– As variáveis , , e z variam no intervalo
0≤r<∞
0≤θ<π
0≤ϕ<2π
– Representação do vetor
a^r×a^θ=a^ϕ
a^ϕ×a^r=a^θ
a^θ×a^ϕ=a^r
- produto vetorial entre vetores unitários 
 
Coordenadas esféricas
● Relação entre as variáveis (x,y,z) e ()
● Transformação do sistema (r) para (x,y,z) 
r=√ x ²+ y ²+z2
ϕ=arctan ( y
x
)
θ=arctan √ x
2+ y2
z
x=r senθcosϕ
y=r senθsenϕ
z=r cosθ
● Transformação do sistema (x,y,z) para r)
ϕ
ρ
ρ
a^ r
a^ ϕ
a^ θ
o
x
y
z
r⃗
θ
a^r×a^θ=a^ϕ
a^ϕ×a^r=a^θ
a^θ×a^ϕ=a^r
- produto vetorial entre vetores unitários 
 
Coordenadas esféricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. esférico
A⃗=A x i^+A y j^+A z k^
● Coordenadas cartesianas
– Precisamos determinar relação entre 
vetores unitários 
(i^ , j^ , k^ )→(a^r , a^θ , a^ϕ)
● Coordenadas cilíndricas
A⃗=A r a^r+Aθ a^θ+Aϕ a^ϕ
ϕ
ρ
ρ
a^ r
a^ ϕ
a^ θ
o
x
y
z
a^ ρ
a^ ϕ
A⃗
r⃗
A⃗ x y
 
Coordenadas esféricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. esférico
A⃗=A x i^+A y j^+A z k^
● Coordenadas cartesianas
– Precisamos determinar relação entre 
vetores unitários 
(i^ , j^ , k^ )→(a^r , a^θ , a^phi)
● Coordenadas cilíndricas
A⃗=A r a^r+Aθ a^θ+Aϕ a^ϕ
– Analisaremos o plano z
(a^ρ , a^ϕ , k^ )→(a^r , a^ϕ , a^θ)
(a^ρ , k^ )→(a^r , a^θ)
θ
o
z
a^r
−a^θ
A⃗ρ
A⃗ z
A⃗ zρ
a^ρ
k^
a^θ
r
θ
θ
ρ
 
Coordenadas esféricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. cilíndrico
● Relação entre vetores unitários
a^ρ=sen θ a^r+cosθ a^θ
k^=cosθ a^r−senθ a^θ
● Substituindo esses vetores em:
i^=cosϕ a^−senϕ a^ϕ
j^=senϕ a^+cosϕ a^ϕ
i^=cosϕ senθ a^r+cosϕ cosθ a^θ−senϕ a^ϕ
j^=senϕ senθ a^r+senϕ cosθ a^θ+cosϕ a^ϕ
k^=cos θ a^r−senθ a^θ
● O resultado é:
θ
o
z
a^r
−a^θ
a^ρ
k^
a^θ
r
θ
θ
ρ
 
Coordenadas esféricas
● Transformação de um vetor: sist. cartesiano para sist. esférico
θ
o
z
a^ r− a^ θ
a^ ρ
k^
a^ θ
r
θ
θ
ρ
● O vetor é:
● A forma matricial:
A⃗=(A xcosϕ senθ+A y senϕ senθ+A z cos θ)a^r+(Ax cosϕ cosθ+A y senϕ cosθ−A z senθ) a^θ+(A xsenϕ+A y cosϕ)a^ϕ
[ A rAθAϕ]=[
cosϕ senθ senϕ senθ cosθ
cosϕ cosθ senϕ cosθ −senθ
−senϕ cosϕ 0 ] [ AxA yA z ]
[ AxAyA z ]=[
cosϕ senθ cosϕcos θ −senθ
senϕ senθ senϕcos θ cosθ
cosθ −senθ 0 ] [ A rAθAϕ]
● Sentido inverso: sist. esférico para sist. 
cartesiano
 
Coordenadas esféricas
● Exercício 2.1
Transformar o vetor B para coordenadas: (a) cilíndrica, (b) esféricas
B⃗= y i^−x j^+ z k^
● Exercício 2.2
Encontrar a transformada em coordenadas: (a) cilíndrica, (b) esféricas do campo 
vetorial G
G⃗= xz
y
i^
● Exercício 2.3
(a) expresse o campo D em componentes e variáveis cilíndricas.
(b) Calcule D no ponto onde= 2,  =0,2 e z= 5. 
D⃗= 1
√ x2+ y2
(x i^+ y j^)
Coordenadas esféricas
● Exercício 2.4
Deduzir as relações matriciais para transformar um vetor A do sistema cilíndrico para o 
sistema coordenadoesférico.
A⃗= y i^+ x j^+z k^
● Exercício 2.5
Dado o ponto P(-2,6,3) e o campo vetorial F, expresse P e F em coordenadas 
cilíndricas e esféricas. Determine A e P nos sistemas cartesiano, cilíndrico e esférico.
F⃗= y i^+( x+ z) j^
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