CALCULO II - ESTACIO - AULA 7 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADS ESFÉRICAS

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 07: Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e
Esféricas
Apresentação
Na aula anterior, foi apresentado o conceito de integral tripla (utilizada em sua forma cartesiana), onde foram explorados os
conceitos derivados do Teorema de Fubini e a importância do uso dos limites de integração na resolução de uma integral
tripla. 
Nesta aula, continuaremos ao conceito de integral tripla, com ênfase nas formas cilíndricas e esféricas dessa integral. 
Para isso, usaremos os conceitos já vistos na Aula 5, de transformações de formas cartesianas em formas polares, sendo
que muitas transformações já terão sido vistas em aulas anteriores.
Objetivos
Explicar as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas;
Usar no conceito das integrais triplas o cálculo de volumes.
Coordenadas Cilíndricas
Quando foi apresentado o conceito de integral dupla em coordenadas polares vimos a relação existente entre as coordenadas
cartesianas ou retangulares e as coordenadas polares.
Essa relação se dá no plano de R , o que seria óbvio por se tratar da utilização em integral dupla.
Agora iremos trabalhar com a integral tripla, sendo assim nossa área de atuação será o R , ao fazer uso dessa área de atuação
em muitos casos será necessária a transformação de coordenadas cartesianas para as coordenas cilíndricas.
2
3
Sistemas de Coordenadas Cilíndricas
Quando trabalhamos em um sistema de coordenadas cilíndricas, tomamos um ponto P, no estado tridimensional, a coordenada
cilíndrica é representada pela terna ordenada (r, θ, z), na qual temos r e θ como coordenadas polares da projeção p, conforme a
Figura abaixo.
 Representação das coordenadas cilíndricas.
Da mesma maneira que podemos fazer a transformação de coordenadas cartesianas para polares, podemos fazer a
transformação para as coordenadas cilíndricas, valendo as seguintes relações:
Transformação de coordenada cilíndrica para cartesiana
x = r  cos θ  y = r senθ  z = z
Transformação de coordenada retangular para cilíndrica
= +    tgθ =       z = zr2 x2 y2
y
x
Vejamos alguns exemplos dessas transformações:
Exemplo 1
Sendo as coordenadas cilíndricas transforme em coordenada cartesiana.
Resolução
Sabemos que podemos transformar as coordenadas cilíndricas em cartesiana da seguinte maneira:
 Agora, temos:
Substituindo na equação acima, temos:
Senso a assim, a coordenada cilíndrica em coordenada cartesiana/retangular é: (−1,√3,1)
(2, , 1) 2π
3
x = r  cos θ   y = r senθ    z = z
r = 2,    θ =     z = 12π
3
x = 2 ⋅ cos = 2 ⋅ (− ) = −12π
3
1
2
y = 2 ⋅ sen  = 2 ⋅ ( ) = √32π
3
√3
2
z = 1
Exemplo 2
Sabendo que a coordenada cartesiana é (3, -3, -7) transforme em coordenadas cilíndricas.
Resolução
Numa coordenada cartesiana temos as seguintes coordenadas (x, y, z), sendo assim, usaremos
 , para fazermos a transformação pedida.
Com isso, temos que as coordenadas cartesianas transformadas em coordenadas cilíndricas �cam da seguinte forma:
Essas transformações servem para fazermos a introdução do uso da integral tripla não da maneira como apresentada na Aula 6.
= +     tg θ =       z = zr2 x2 y2
y
x
r = ( +  ) x2 y2
− −−−−−−−√
r = (3 + (−3   )2 )2
− −−−−−−−−−−
√
r = = 318
−−√ 2√
tgθ = = = −1 
y
x
−3
3
θ = 7π 
4
z =   − 7
(3√2, , −7)7π
4
Integral Tripla em Coordenadas Cilíndricas
Em uma integral tripla onde o seu método de resolução se dê pela integração em formato de coordenadas cilíndricas, vale a
transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas, fazendo da seguinte maneira:
Para isso, devemos utilizar os limites de integração 𝑧, 𝑟 , 𝜃, onde trocaremos 𝑑𝑉, por 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃, sendo a integral tripla em formato
cilíndrico escrito assim:
Logo, como nas coordenadas polares, essa fórmula é recomendável quando for uma região sólida e a sua resolução for mais
simples em coordenadas cilíndricas, em especial quando a função 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) envolver a expressão 𝑥 +𝑦 , ou seja, envolver a
expressão da circunferência.
x = r  cosθ   y = r  senθ   z = z
∫ ∫ ∫ f(x,y,z)dV =    f(rcosθ, rsenθ,z)rdzdrdθ∫ α
β
∫  (θ)h2 (θ) h1 ∫
 (rsenθ.  rcosθ)u2
 (rsenθ.rcosθ)u1
2 2
Exemplo
Antes de continuar, veja alguns exemplos <galeria/aula7/anexo/Exemplos 1.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula7/anexo/Exemplos%201.pdf
Coordenadas Esféricas
As coordenadas esféricas (𝜌,𝜃,𝜙) de um ponto p no espaço se comportam em uma região tridimensional como na Figura a seguir.
Com isso temos que 𝜌=|𝑂𝑃| é a da distância da origem a P, 𝜃 é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas e 𝜙 é o ângulo entre
o eixo z positivo e ao segmento de reta OP.
Uma das de�nições do uso das coordenas esféricas diz que:
 Representação das coordenas esféricas

O sistema de coordenadas esféricas é de extrema utilidade em problemas nos quais
existam simetria em torno de um ponto, e a origem esteja colocada nela.
STEWART, 2013, p. 927
Uma de�nição mais simples de quando se utilizar as coordenadas esféricas é a seguinte: O sistema de coordenadas esféricas é
outro meio útil para resolução de integrais em coordenadas tridimensionais. Essa coordenada simpli�ca o cálculo de integrais
triplas em regiões limitadas por esferas ou cones.
A Figura a seguir nos dá uma ideia da relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas:
Das relações trigonométricas nos triângulos OPD e OPP, temos:
Utilizando as coordenadas cilíndricas temos:
Fazendo as substituições temos:
Assim como:
 Relação entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesiana
z = ρ  cos  ϕ  e  r = ρ  sen  ϕ
x = r  cos θ  y = r  sen θ   z = z
x = ρ  sen ϕ   cos θ  y = ρ  sen ϕ   sen θ  z = ρ  cos ϕ
Essas equações servem para fazermos a conversão da coordenada retangular para coordenadas esféricas. Vejamos alguns
exemplos.
= + +ρ2 x2 y2 z2
Exemplo 3
O s pontos (2,𝜋/4,𝜋/3) estão em coordenadas esféricas, reescreva-os em coordenadas retangulares.
Resolução:
As coordenas esféricas são do tipo (𝜌,𝜃,𝜙), sendo assim, temos os seguintes valores:
Fazendo as substituições na equação esférica, temos:
Onde:
Senso a assim, a coordenada cilíndrica em coordenada cartesiana/retangular é: (−1,√3,1)
 ρ = 2,   θ = ,  ϕ =π
4
π
3
                (ρ, θ, ϕ)
x = 2  sen   cos   ,  y = ρ  sen    sen    e   z = ρ  cos  π 
3
π
4
π
3
π
4
π
3
x = 2( )( ) =    3√
2
2√
2
√6
2
y = 2( )( ) =   3√
2
2√
2
 6√
2
z = 2( ) = 11
2
Exemplo 4
Os pontos (0, 2√3,−2) estão em coordenadas retangulares. Encontre-as em formato esférico.
Resolução:
Achando o valor 𝜌, temos:
Utilizando duas das três equações da forma esférica, temos:
Sendo assim os pontos (0, 2√3,−2) em coordenadas esféricas são .
= + +  ρ2 x2 y2 z2
ρ = + +x2 y2 z2
− −−−−−−−−−√
ρ = 0 + (2√3  + (−2)2 )2 )2
− −−−−−−−−−−−−−−−−
√
ρ = = 412 + 4
− −−−−
√
   cos ϕ =     Z
ρ 
cos ϕ = =−2
4
−1 
2
ϕ =  2π3
cos θ =   = 0 ⇒ θ = arccos0 =x
ρ  sen ϕ
π 
2
θ = π/2
(4,    , )2π 
3
π
2
Integral Tripla em Coordenadas Esféricas
No sistema de coordenadas cilíndrica, o correspondente a uma caixa retangular é uma cunha esférica cujos limites para as
integrais triplas se comportam conforme a Figura abaixo:
Com isso, a transformação da integral tripla em formato cartesiano, em integral tripla em formato esférico é representada da
seguinte maneira:
Onde a área de integração é uma cunha esférica dada por:
E  = {(ρ,θ,ϕ)|a ≤ ρ ≤ b,α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d}
∫ ∫ ∫ f(x,y,z)dV =  f(  ρ  senϕ   cosθ,ρ  senϕ   senθ,  ρ  cosϕ)    senϕ dρ dθdϕ )∫ d
c
∫ β
a
∫ b
a
ρ2
{(ρ,θ,ϕ)|a ≤ ρ ≤ b,α ≤ θ ≤ β, c ≤ ϕ ≤ d}
Exemplo
Antes de encerrar seus estudos, veja a utilização dessa integral nos exemplos <galeria/aula7/anexo/Exemplos 2.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula7/anexo/Exemplos%202.pdf
Atividades
1. Transforme as coordenadas cilíndricas em cartesianas. O resultado é:(3, , 2)π
3
a) ( , , 2)3
2
3 3√
2
b) ( , , 1)3
2
3 3√
2
c) ( , , 2)3
2
3 3√
2
d) ( , , 2)1
2
3 3√
2
e) (− , , 2)3
2
3 3√
2
2. Sabendo quea coordenada cartesiana é (2, -2, 5), transforme em coordenadas cilíndricas. O resultado é:
a) ( , , 5)2√ 7π
4
b) (−2 , , 5)2√ 7π
4
c) (2 , , 5)2√ 7π
4
d) (2, , 5)7π
4
e) (2 , , 4)2√ 7π
4
3. Fazendo uso da integral tripla no formato cilíndrico, calcule o volume de um sólido R, limitado superiormente pelo plano z = 1 e
inferiormente pelo paraboloide z = x + y . O resultado é:2 2
a) 2π
7
b) 5π
3
c) 2π
5
d) 2π
3
e) π
3
4. Os pontos (1,𝜋/6,𝜋/2) estão em coordenadas esféricas, reescreva esses pontos em coordenadas retangulares. O resultado é:
a) ( , , )3√
2
3√
2
2√
2
b) (− , − , )3√
2
3√
2
2√
2
c) (2, , )3√
2
2√
2
d) ( , , )3√ 3√
2
2√
2
e) ( , , )2√ 3√
2
2√
2
5. Sabendo que os limites de integração de uma integral tripla são representados por 0≤𝜌≤2, 0≤𝜃≤𝜋/3, 𝜋≤𝜙≤𝜋/2, calcule o valor
dessa integral. O resultado é:
a) π
9
b) 2π
9
c) 4π
9
d) 7π
9
e) 8π
9
NotasReferências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAND, W. O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva. 2013
STEWART, James. Cálculo Volume 2. São Paulo: Cegage Learning- 2013.
Próxima aula
Integral de linha;
Integral de linha em funções vetoriais.
Explore mais
Objetos de aprendizagem:
Coordenadas cilindricas ejercicio 1 (em espanhol); <https://www.geogebra.org/m/HGxnytQw>
Coordenadas cilíndricas. <https://www.geogebra.org/m/FhE6pxRP>
https://www.geogebra.org/m/HGxnytQw
https://www.geogebra.org/m/FhE6pxRP