Função Gama e Beta

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1 Func¸a˜o Gama e Beta
(Em construc¸a˜o! )
1.1 Func¸a˜o Gama
Define-se a func¸a˜o Gama por
Γ(n) =
∫ +∞
0
tn−1e−tdt; n > 0
As formas de recorreˆncia mais usadas sa˜o dadas por:
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(n + 1) = n!
Γ(1/2) =
√
pi
Figura 1 – Gamma Function
Observando a figura 1 responda:
• Qual o prova´vel valor para Γ(1)?
• Existe Γ(−1)? Explique o motivo.
Alguns resultados importantes:
• Prove que Γ(n+ 1) = nΓ(n)
Γ(n + 1) =
∫ ∞
0
x(n+1)−1exdx
=
∫ ∞
0
xnexdx
= limb→∞
∫ b
0
xnexdx
= limb→∞
(
xn(−e−x)|b0 −
∫ b
0
−e−xnxn−1dx
)
= limb→∞x
n(−e−x)|b0 + n · limb→∞
∫ b
0
e−xxn−1dx
= 0 + n ·
∫ ∞
0
e−xxn−1dx
= nΓ(n) =⇒ para ∀n 6= 0
• Prove que 0! = 1
Γ(1) =
∫ +∞
0
e−tdt
= lim
b→∞
−e−b − (−e0)
= 1
⇔ Γ(1) = Γ(0 + 1) = 0! = 1
• Prove que Γ(1/2) = √pi
Neste caso e´ mais fa´cil resolver
√
Γ(1/2)2
Γ(1/2) =
∫ ∞
0
x
1
2
−1e−xdx
=
∫ ∞
0
x−
1
2 e−xdx
=⇒ troca de variavel x = u2
=
∫ ∞
0
(u2)−
1
2 e−u
2
(2udu)
= 2
∫ ∞
0
e−u
2
du
=⇒ forma quadra´tica
(Γ(1/2))2 = 4
∫ ∞
0
e−u
2
du ·
∫ ∞
0
e−v
2
dv
= 4
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e−(u
2+v2)dudv
=⇒ troca de coordenadas:u = ρ cosφ, v = ρ sinφ
= 4
∫ pi
2
0
∫ ∞
0
ρe−ρ
2
dρdφ
= 4
∫ pi
2
0
−1
2
e−ρ
2 |∞ρ=0dφ = pi
=⇒ ou seja,Γ(1/2) = √pi
Example 1 Calcule:
a) Γ(3)
b) Γ(0.5)
c) Γ(4)−Γ(2)
Γ(3)
d) Γ(5/2)
e) Γ(−1/2)
f) Γ(−3)
Example 2 Calcule a integral ∫ +∞
0
t2e−xdx
Res. Comparando a integral com a func¸a˜o gama vemos que
∫ +∞
0
t2e−xdx =
∫ +∞
0
t3−1e−xdx ≡
∫ +∞
0
tn−1e−tdt = Γ(3)
Temos n = 3 e, usando a seguinte propriedade
Γ(n + 1) = n!
encontramos o resultado
Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2! = 1 · 1 = 2
Exercise 3 Calcule
∫∞
0
x3e−xdx
R. 6
Exercise 4 Calcule
∫∞
0
x6e−2xdx
R. 45
8
Exercise 5 Calcule
∫ 1
0
dx√
− lnx
R.
√
pi
Exercise 6 Calcule a integral ∫ ∞
0
e−x
2
dx
Fac¸amos a troca de varia´vel u = x2
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
∫ ∞
0
e−u
du
2x
=
1
2
∫ ∞
0
u−1/2e−udu =
1
2
Γ(1/2) =
√
pi
2
1.1.1 Resultados relativos a` func¸a˜o gama
• Fo´rmula da reflexa˜o (complementar)
∫ ∞
0
tx−1
1− tdt = Γ(x)Γ(1− x) =
pi
sin xpi
• Fo´rmula de duplicac¸a˜o
22n−1Γ(x)Γ
(
x+
1
2
)
=
√
pi · Γ(2x)
• Fo´rmula da multiplicac¸a˜o de Gauss
Γ(nz) = (2pi)−133z−
1
2Γ(z)Γ(z +
1
3
)Γ(z +
2
3
)
• Produto
m−1∏
i=0
Γ
(
x+
i
m
)
= Γ(x)Γ(x+
1
m
)Γ(x+
2
m
) · · ·Γ(x+ m− 1
m
) (1.1)
= m(1/2)−mx(2pi)(m−1)/2Γ(mx)
• Coeficiente Binomial(
N
n
)
=
N !
(N − n)!n! =
Γ(N + 1)
Γ(N − n + 1)Γ(n+ 1)
• Se n < 0
Γ(n) =
Γ(n+ 1)
n
• Derivada da func¸a˜o gamma
Γ(1)
′
=
∫ ∞
0
e−x ln xdx = −γ
onde γ e´ chamada de constante de Euler-Mascheroni
γ = lim
n→∞
(
1 +
1
2
+
1
2
+
1
4
+ · · ·++1
n
− ln(n)
)
≈ 0.57721 · · ·
para
Γ(x)
′
Γ(x)
= −γ +
(
1− 1
x
)
+
(
1
2
− 1
x+ 1
)
+ · · ·++
(
1
n
− 1
x+ n− 1
)
+ · · ·
Exercise 7 Usando a relac¸a˜o Complementar
∫∞
0
tn−1
1−t dt = Γ(n)Γ(1− n) = pisinnpi ,
prove que Γ(1/2) =
√
pi
Γ
(
1
2
)
Γ
(
1− 1
2
)
= Γ
(
1
2
)
Γ
(
1
2
)
= Γ2
(
1
2
)
=
pi
sin 1
2
pi
= pi
⇒ Γ
(
1
2
)
=
√
pi
Exercise 8 Calcule Γ(−1/2) (utilize a relac¸a˜o Γ(n) = Γ(n+1)
n
porque n < 0).
Γ(−1/2) = Γ(−1/2 + 1)−1/2 = −2Γ(1/2) = −2
√
pi.
Exercise 9 Calcule a integral ∫ 1
0
dx√− ln x
Fac¸amos u = − ln x⇒ x = e−u∫ 1
0
dx√− ln x =
∫ ∞
0
u−1/2e−udu = Γ(1/2) =
√
pi
Exercise 10 Calcule a integral
∫∞
0
3−4z
2
dz (RESP.
√
pi
4
√
ln 3
)
Exercise 11 Calcule o valor da integral Gaussiana
P [−∞ < x < +∞] =
∫ +∞
−∞
1√
2piσ
e−
1
2(
x−µ
σ
)
2
dx
com µ a me´dia e σ2 a variaˆncia. (RESP. P [−∞ < x < +∞] = 1)
Exercise 12 Desenvolvendo a troca de varia´vel x = e−y, prove que∫ 1
0
xm(ln x)ndx =
(−1)nn!
(m+ 1)n+1
Exercise 13 Mostre que
Γ(n) =
∫ 1
0
(
ln
1
x
)n−1
dx
1.2 Func¸a˜o Beta
Define-se a func¸a˜o Beta por
B(m,n) =
∫ 1
0
tm−1(1− t)n−1dx; m ∈ ℜ n ∈ ℜ
Com as seguintes propriedades
• Relac¸a˜o entre func¸a˜o beta e gamma:
B(m,n) =
Γ(m)Γ(n)
Γ(m+ n)
• Comutatividade
B(m,n) = B(n,m)
• Relac¸a˜o complementar
B(n, 1− n) = Γ(n)Γ(1− n)
A func¸a˜o beta pode assumir outras formas de acordo com a transformac¸a˜o
•
B(m,n) = 2
∫ pi
2
0
sin2m−1 θ cos2n−1 θdθ; para t = sin2 θ
•
B(m,n) =
∫ ∞
0
um−1
(1 + u)n+m
du; para t =
u
(1 + u)
Exercise 14 Prove a relac¸a˜o complementar.
Seja B(n,m) = Γ(n)Γ(m)
Γ(n+m)
, fac¸amos m = 1− n
B(n, 1− n) = Γ(n)Γ(1− n)
Γ(n+ (1− n)) =
Γ(n)Γ(1− n)
Γ(1)
= Γ(n)Γ(1− n)
Example 15 Calcule ∫ 1
0
x3(1− x)4dx
Comparando a func¸a˜o beta∫ 1
0
x3(1− x)4dx ≡
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx
=⇒ verifica-se que m− 1 = 3 e n− 1 = 4
B(4, 5) =
∫ 1
0
x4−1(1− x)5−1dx
=
Γ(4)Γ(5)
Γ(4 + 5)
=
Γ(4)Γ(5)
Γ(9)
=
3!4!
7!
=
1
35
Exercise 16 Demonstre que
B(m,n) = 2
∫ pi
2
0
sin2m−1 θ cos2n−1 θdθ
sob a transformac¸a˜o x = sin2 θ
B(m,n) =
∫ 1
0
xm−1(1− x)n−1dx
=⇒ Lembre-se que x = sin2θ
=
∫ pi
2
0
(sin2 θ)m−1(1− sin2 θ)n−1(2 sin θ cos θdθ)
= 2
∫ pi
2
0
(sin2 θ)m−1 sin θ(cos2 θ)n−1 cos θdθ
= 2
∫ pi
2
0
(sin θ)2m−2+1(cos θ)2n−2+1dθ
= 2
∫ pi
2
0
sin2m−1 θ cos2n−1 θdθ
Exercise 17 Calcule a integral ∫ pi
2
0
sin θ cos θdθ
• 1o me´todo Fac¸amos a troca de varia´vel por u = sin θ, enta˜o du = cos θdθ∫ pi
2
0
sin θ cos θdθ =
∫ pi
2
0
udu =
sin2 θ
2
|pi/20 =
1
2
• 2o me´todo Comparando a integral com a func¸a˜o beta:
(2) ·
∫ pi
2
0
sin θ cos θdθ ≡ 2
∫ pi
2
0
sin2m−1 θ cos2n−1 θdθ =
Γ(m+ n)
Γ(m)Γ(n)
=⇒ multiplicamos a integral a` esquerda por 2 por convenieˆncia
=⇒ comparando, m = 1 e n = 1
(2) ·
∫ pi
2
0
sin θ cos θdθ =
Γ(1 + 1)
Γ(1)Γ(1)
=
Γ(2)
Γ(1)Γ(1)
=
1!
0!0!
= 1
Frinalmente, ∫ pi
2
0
sin θ cos θdθ =
1
2
Exercise 18 CAlcule a integral ∫ pi/2
0
sin3θ√
cos θ
dθ
Exercise 19 Calcule a integral ∫ 2
0
x
3
√
8− x3dx
(RESP. 16pi
9
√
3
, sugesta˜o: use x3 = 8y ou x = 2y1/3)
Exercise 20 Calcule a integral
∫ 2
0
(4− x2)3/2dx
Exercise 21 Prove que
B(m,n) =
∫ ∞
0
um−1
(1 + u)n+m
du; para t =
u
(1 + u)
ou u =
t
(1− t)
B(m,n) =
∫ 1
0
tm−1(1− t)n−1dt
=
∫ ∞
0
(
u
1 + u
)m−1 [
1−
(
u
1 + u
)]n−1
du
(1 + u)2
=
∫ ∞
0
(
u
1 + u
)m−1(
1
1 + u
)n−1
du
(1 + u)2
=
∫ ∞
0
um−1
(1 + u)m−1+n−1+2
du
=
∫ ∞
0
um−1
(1 + u)n+m
du
Exercise 22 Prove que
∫ ∞
0
xm
(1 + xp)n
dx =
1
p
β
(
m+ 1
p
, n− m+ 1
p
)
Seja t = xp ⇒ dt = pxp−1dx,∫ ∞
0
xm
(1 + xp)n
dx =
∫ ∞
0
(t1/p)m
(1 + t)n
dt
pxp−1
=
1
p
∫ ∞
0
tm/p
(1 + t)n
x1−pdt
=
1
p
∫ ∞
0
tm/p
(1 + t)n
(t1/p)1−pdt
=
1
p
∫ ∞
0
t
m+1
p
−1
(1 + t)n
dt
=
1
p
∫ ∞
0
t
m+1
p
−1
(1 + t)n−
m+1
p
+m+1
p
dt
(1.2)
comparando com a forma
B(m,n) =
∫ ∞
0
tm−1
(1 + t)n+m
dt
temos o resultado ∫ ∞
0
xm
(1 + xp)n
dx =
1
p
β
(
m+ 1
p
, n− m+ 1
p
)
Exercise 23 Calcule a integral ∫ ∞
0
x4
(1 + x2)3
dx
Exercise 24 Prove a relac¸a˜o∫ a
0
xm(a− x)ndx = am+n+1β(m+ 1, n+ 1)
Verifique a possibiliade da troca u = ax reduzir a` forma B(m,n) =
∫ 1
0
tm−1(1− t)n−1dx.
=⇒ Seja x = at⇒ dx = adt∫a
0
xm(a− x)ndx =
∫ 1
0
(at)m(a− at)nadt
=
∫ 1
0
amtman(1− t)nadt
=
∫ 1
0
am+n+1tm(1− t)ndt
= am+n+1
∫ 1
0
tm(1− t)ndt
= am+n+1
∫ 1
0
t(m+1)−1(1− t)(n+1)−1dt
= am+n+1β(m+ 1, n+ 1)
Exercise 25 Prove que
1
Γ(n+ 1)
∫ 1
0
xm(ln x)ndx =
(−1)n
(m+ 1)n+1
1.2.1 Convergeˆncia da func¸a˜o Gamma
Seja a func¸a˜o gamma dada por:
Γ(n) =
∫ +∞
0
tn−1e−tdt
O expoente n pode assumir treˆs poss´ıveis casos:
a Para n ≥ 1
– 1a forma: Neste caso ∃k > 0, tal que n < k torna n finito.
Seja x ≥ x
2
−x ≤ −x
2
e−x ≤ e−x2
e−xxn−1 ≤ e−x2xn−1 para n ≥ 1∫ ∞
0
e−xxn−1dx ≤
∫ ∞
0
e−
x
2xn−1dx
∫ ∞
0
e−xxn−1dx ≤ 2k[n− (k − 1)]!
∫ ∞
0
e−x/2dx para n ≤ k (finito)
∫ ∞
0
e−xxn−1dx ≤ 2k+1[n− (k − 1)]!
Para n finito, a integral
∫∞
0
e−xxn−1dx e´ convergente.
– 2a forma: Neste caso ∃r > 0 e para n ≥ 1, a func¸a˜o f(x) = e−xxn−1 e´ cont´ınua
em [0, t]∀t > 0,
e−xxn−1 = e−x/2(e−x/2xn−1)
Observe que
lim
x→∞
e−x/2xn−1 = 0,
De fato, ∃r > 0 / e−x/2xn−1 < 1 ∀x ≥ r
Seja e−xxn−1 = e−x/2(e−x/2xn−1)
e−xxn−1 < e−x/2∫ ∞
0
e−xxn−1dx <
∫ ∞
0
e−x/2dx
∫ ∞
0
e−xxn−1dx < 2
portanto, conclu´ımos que
∫∞
0
e−xxn−1dx e´ convergente.
b Para 0 < n < 1∫ ∞
0
e−xxn−1dx =
∫ 1
0
e−xxn−1dx+
∫ ∞
1
e−xxn−1dx
A integral
∫∞
1
e−xxn−1dx e´ convergente. Devemos verificar a caonvergeˆncia da inte-
gral
∫ 1
0
e−xxn−1dx para x ∈ [0, 1]
Seja x ∈ [0, 1]
e−xxn−1 ≤ xn−1∫ 1
0
e−xxn−1dx ≤
∫ 1
0
xn−1dx
∫ 1
0
e−xxn−1dx ≤ 1
n
Como a integral
∫ 1
0
e−xxn−1dx tambe´m e´ convergente, implica que
∫ ∞
0
e−xxn−1dx sera´ convergente para 0 < n < 1
c Para n ≤ 0
Como n ≤ 0⇒ n− 1 < 0 (ou 1− n > 0 ), pelo crite´rio da comparac¸a˜o
e−ttn−1 ≤ tn−1∫ ∞
0
e−ttn−1dt ≤
∫ ∞
0
tn−1dt
∫ ∞
0
e−ttn−1dt ≤
∫ 1
0
tn−1dt+
∫ ∞
1
tn−1dt
A integral ∫ 1
0
tn−1dt = +∞ para n ≤ 0
Ou seja, pelo crite´rio da comparac¸a˜o a integral
∫∞
0
e−ttn−1dt divergira´ para n ≤ 0.
Isto significa que a integral Γ(n) convergira´ apenas para n > 0. Para n interios
negativos a func¸a˜o Γ(n) na˜o existe, por outro lado, para valores de n na˜o inteiros negativos
podemos extender o resultado pela relac¸a˜o
Γ(n) =
Γ(n+ 1)
n
Por exemplo, para n = −1
2
(claramente n e´ negativo!)
Γ(−1/2) = Γ(−1/2 + 1)−1/2 = −2Γ(1/2) = −2
√
pi
1.3 Inverso da func¸a˜o Γ(n)
A func¸a˜o inversa da gama, f(n) = 1
Γ(n)
e´ definida para todo n ∈ ℜ porque a singularidade
e´ removida.
Figura 2 – Gra´fico da func¸a˜o Γ(n)
1.4 Func¸a˜o Digama ou func¸a˜o psi ψ(z)
Define-se por
ψ(z) =
d[ln Γ(z)]
dz
=
Γ
′
(z)
Γ(z)
Quando n = 1⇒ ψ(1) = −γ, porque
ψ(1) =
d[ln Γ(1)]
dz
=
Γ
′
(1)
Γ(1)
=
Γ
′
(1)
0!
= Γ
′
(1) ==
∫ ∞
0
e−x ln xdx = −γ
onde γ e´ chamada de constante de Euler-Mascheroni.
Bibliografia:
• SPIEGEL R. M. Ana´lise de Fourier. Schaum McGraw-Hill. Sa˜o Paulo
• ABRAMOWITZ M; STEGUN I. A. Handbook Mathematical Functions - with for-
mulas, graph, and mathematical tables. USA.
	Função Gama e Beta
	Função Gama
	Resultados relativos à função gama
	Função Beta
	Convergência da função Gamma
	Inverso da função (n)
	 Função Digama ou função psi (z)