Ficha_Exercicios_Nº8_CalculoIntegral

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Ficha No 8 - Semanas 11 e 12
CÁLCULO INTEGRAL
Cursos: Todos Nível: I
Disciplina: Análise Matemática I Semestre: 2o/2020
Docentes: Carga Horária: 6h/Semana
I. Primitiva e Integral Indefinida
1. Encontre uma primitiva F , da função f(x) = x
2
3 + x, que satisfaça F (1) = 1.
2. Determine a função f tal que
∫
f(x)dx = x2 +
1
2
cos 2x+ C.
3. Encontre uma primitiva da função f(x) =
1
x2
+ 1 que se anule no ponto x = 2.
4. Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
∫
f(x)dx = sinx− x cosx− 1
2
x2 + C, ache f
(
π
4
)
.
5. Encontre uma função f tal que f ′(x) + sinx = 0 e f(0) = 2.
6. Calcule as seguintes integrais
(a)
∫
x−
3
4 dx
(b)
∫
3
√
xdx
(c)
∫
(x3 + 6x+ 1)dx
(d)
∫
x(1 + 2x4)dx
(e)
∫
(1− t)(2 + t2)dt
(f)
∫ (
x2 + 1 +
1
x2 + 1
)
dx
(g)
∫ (
2−
√
x
)2
dx
(h)
∫
sinx
1− sin2 x
dx
(i)
∫
sin 2x
sinx
dx
(j)
∫
x2dx√
x
(k)
∫
arctanx
1 + x2
dx
(l)
∫
dx
x+ 5
(m)
∫
dx
5x− 9
II. Integrais Definidas
7. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função
(a) g(x) =
∫ x
0
√
1 + 2tdt
(b) g(x) =
∫ x
1
ln tdt
(c) g(y) =
∫ y
2
t2 sin tdt
(d) g(u) =
∫ u
3
dx
x+ x2
8. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não
existe.
(a)
∫ 3
−1
x5dx
(b)
∫ 5
−2
6dx
(c)
∫ 4
0
(1 + 3y − y2)dy
(d)
∫ 1
0
x
4
5 dx
(e)
∫ 8
1
3
√
xdx
(f)
∫ 2
1
3
t4
dt
(g)
∫ 3
−2
x−5dx
(h)
∫ 5
−5
2
x3
dx
(i)
∫ 2π
π
cos θdθ
(j)
∫ 2
0
x(2 + x5)dx
(k)
∫ √ 3
2
1
2
6√
1− t2
dt
(l)
∫ 1
0
4
t2 + 1
dt
III. Integração por Mudança de Variável
9. Calcule a integral fazendo a substituição dada
(a)
∫
cos 3xdx, u = 3x
(b)
∫
x(4 + x2)10dx, u = 4 + x2
(c)
∫
x2
√
x3 + 1dx, u = x3 + 1
(d)
∫
sin
√
x√
x
dx, u =
√
x
(e)
∫
4
(1 + 2x)3
dx, u = 1 + 2x
(f)
∫
esin θ cos θdθ, u = sin θ
Análise Matemática I 1 Ficha No8: Cálculo Integral
10. Calcule a integral indefinida usando a substituição mais adequada
(a)
∫
2x(x2 + 3)4dx
(b)
∫
x2(x3 + 5)2dx
(c)
∫
1 + 4x√
1 + x+ 2x2
dx
(d)
∫
x
(x2 + 1)2
dx
(e)
∫
dx
5− 3x
(f)
∫
3
(2y + 1)5
dy
(g)
∫ √
4− tdt
(h)
∫
y3
√
2y4 − 1dy
(i)
∫
sin(πt)dt
(j)
∫
sec(2θ) tan(2θ)dθ
(k)
∫
(lnx)2
x
dx
(l)
∫ √
x sin
(
1 + x
3
2
)
dx
(m)
∫
cos θ sin6 θdθ
(n)
∫
ex
√
1 + exdx
(o)
∫
ecos t sin tdt
(p)
∫
dx
x lnx
(q)
∫
cotxdx
(r)
∫
3
√
x3 + 1x5dx
(s)
∫
x
4
√
x+ 2
dx
IV. Integração por Partes
11. Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas:
(a)
∫
x lnxdx, u = lnx, dv = xdx (b)
∫
θ sec2 θdθ, u = θ, dv = sec2 θdθ
12. Calcule as seguintes integrais usando a integração por partes:
(a)
∫
x cos 5xdx
(b)
∫
xe−xdx
(c)
∫
ln(2x+ 1)dx
(d)
∫
t3etdt
(e)
∫
(lnx)2dx
(f)
∫
p5 ln pdp
(g)
∫
arctanxdx
(h)
∫
3x cos dx
(i)
∫
eαx sinβxdx
(j)
∫
eαx cosβxdx
(k)
∫
sin(lnx)dx
(l)
∫
lnxdx
(m)
∫ √
x2 − a2dx
(n)
∫ √
x2 + a2dx
(o)
∫ √
x2 + 2x+ 5dx
V. Integração de Funções Racionais Por Fracções Parciais
13. Usando o método dos coeficientes indeterminados, calcule
(a)
∫
x
x− 6
dx
(b)
∫
r2
r + 4
dr
(c)
∫
x− 9
(x+ 5)(x− 2)
dx
(d)
∫
dt
(t+ 4)(t− 1)
dt
(e)
∫
dx
(x+ 5)2(x− 1)
(f)
∫
x2 + 2x− 1
x3 − x
dx
(g)
∫
x2
(x− 3)(x+ 2)2
dx
(h)
∫
x2 − x+ 6
x3 + 3x
dx
(i)
∫
x3 − 2x2 + x+ 1
x4 + 5x2 + 4
dx
(j)
∫
x4
x4 + 5x2 + 4
dx
(k)
∫
5x2 + 6x+ 9
(x− 3)2(x+ 1)2
(l)
∫
dx
(1 + x2)2
VI. Integração de Expressões Irracionais
14. Ache as integrais seguintes:
(a)
∫
dx
1 +
√
x
(b)
∫ √
x− 1
3
√
x+ 1
dx
(c)
∫
x
√
x− 1
x+ 1
dx
(d)
∫
3
√
x+ 1
x− 1
dx
(e)
∫
1−
√
x+ 1
1 +
√
x+ 1
dx
(f)
∫ √
x+ 1−
√
x− 1√
x+ 1 +
√
x− 1
dx
VII. Integrais Trigonométricas
15. Calcule as integrais
Análise Matemática I 2 Ficha No8: Cálculo Integral
(a)
∫
sin3 x cos2 xdx
(b)
∫
sin6 x cos3 xdx
(c)
∫ 3π
4
0
sin5 x cos3 xdx
(d)
∫ π
2
0
cos5 xdx
(e)
∫
cos5 x sin4 xdx
(f)
∫
sin3(mx)dx
(g)
∫
sin 5x sin 2xdx
(h)
∫
dx
3 + 5 cosx
(i)
∫
dx
sinx+ cosx
(j)
∫
cosx
1 + cosx
dx
(k)
∫
sinx
1− cosx
dx
(l)
∫
dx
4 sinx+ 3 cosx+ 5
(m)
∫
dx
cosx+ 2 sinx+ 3
(n)
∫
dx
(2− sinx)(3− sinx)
VIII. Substituição Trigonométrica
16. Ache a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e rotule o triângulo
rectângulo associado:
(a)
∫
1
x2
√
x2 − 9
dx, x = 3 sec θ (b)
∫
x3
√
9− x2dx, x = 3 sin θ (c)
∫
x3
x2 + 9
dx, x = 3 tan θ
17. Mediante a substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
1
x2
√
25− x2
dx
(b)
∫ √
x2 − a2
x4
dx
(c)
∫
dx√
x2 + 16
(d)
∫ √
1− 4x2dx
(e)
∫ √
x2 + 2x+ 5dx
(f)
∫
x3dx√
4− x2
(g)
∫
dx
(x2 + 1)
√
1− x2
(h)
∫
dx
x
√
x2 + x− 9
(i)
∫
dx√
x2 + px+ q
Análise Matemática I 3 Ficha No8: Cálculo Integral