2018517 144623 IV+ +Matemática+ +Conceito+de+derivadas+2f (1)

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17/05/2018
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Matemática
Curso: Medicina Veterinária
Prof.: Carlos Magno Sossai Andrade
e-mail: cmagno.sa@gmail.com
Conceito de derivada
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Conceito de derivada
• Ideia geral: Velocidade média e velocidade instantânea
• Velocidade média: é o valor da variação da posição de um
objeto (ou dizemos variação do espaço percorrido) dividido
pelo valor da variação do tempo
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade média:
Um automóvel viaja 200 quilômetros em 2 horas e 30 minutos.
Qual é a velocidade média desse automóvel após transcorrido
esse tempo?
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade média:
Um automóvel viaja 200 quilômetros em 2 horas e 30 minutos.
Qual é a velocidade média desse automóvel após transcorrido
esse tempo?
Solução: A velocidade média é o valor da variação da posição
(200 quilômetros) dividido pelo valor da variação do tempo (2,5
horas). Se denotarmos a posição por “s” e o tempo por “t”,
temos:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑠
∆𝑡
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade média:
Um automóvel viaja 200 quilômetros em 2 horas e 30 minutos.
Qual é a velocidade média desse automóvel após transcorrido
esse tempo?
Solução: A velocidade média é o valor da variação da posição
(200 quilômetros) dividido pelo valor da variação do tempo (2,5
horas). Se denotarmos a posição por “s” e o tempo por “t”,
temos:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑠
∆𝑡
=
200
2,5
= 80 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎
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Conceito de derivada
• A velocidade média não diz o quão rápido o automóvel está
viajando em um determinado momento da viagem. O carro
poderia estar viajando sem parar a 80 km/h, ou ido mais rápido
com algumas paradas no meio do caminho.
• A velocidade instantânea, por outro lado, consegue dar uma
melhor precisão quanto ao comportamento pontual.
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,1]
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,1]
• ∆௦
∆௧
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,1]
• ∆௦
∆௧
= ௧
మ
೑ି௧మ೔
௧೑ି௧೔
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,1]
• ∆௦
∆௧
= ௧
మ
೑ି௧మ೔
௧೑ି௧೔
= ଷ,ଵ
మିଷమ
ଷ,ଵିଷ
= ଽ,଺ଵିଽ
ଷ,ଵିଷ
= ଴,଺ଵ
଴,ଵ
= 6,1 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔.
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Considere que uma bola desce uma rampa tal que sua distância
“s” do topo da rampa após “t” segundos é exatamente t²
centímetros. Qual é a sua velocidade instantânea após “t”
segundos?
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,1]
• ∆௦
∆௧
= ௧
మ
೑ି௧మ೔
௧೑ି௧೔
= ଷ,ଵ
మିଷమ
ଷ,ଵିଷ
= ଽ,଺ଵିଽ
ଷ,ଵିଷ
= ଴,଺ଵ
଴,ଵ
= 6,1 𝑐𝑒𝑛𝑡í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔.
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,05]
• ∆௦
∆௧
= ௧
మ
೑ି௧మ೔
௧೑ି௧೔
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Solução: Poderíamos tentar responder essa questão calculando
a velocidade média sobre intervalos de tempo cada vez
menores.
Tomando o intervalo de tempo [3 ; 3,05]
• ∆௦
∆௧
= ௧
మ
೑ି௧మ೔
௧೑ି௧೔
= ଷ,଴ହ
మିଷమ
ଷ,଴ହିଷ
= ଽ,ଷ଴ଶହିଽ
ଷ,଴ହିଷ
= ଴,ଷ଴ଶହ
଴,଴ହ
= 6,05 𝑐𝑚/𝑠
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Solução: Continuando esse processo com intervalos de tempo
cada vez menores, poderíamos eventualmente concluir que a
velocidade instantânea é de 6,0.
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Solução: Continuando esse processo com intervalos de tempo
cada vez menores, poderíamos eventualmente concluir que a
velocidade instantânea é de 6,0.
Se calcularmos utilizando o limite com o tempo tendendo a
ZERO, encontramos a velocidade instantânea para o problema.
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Se calcularmos utilizando o limite com a variação do tempo
tendendo a ZERO, encontramos a velocidade instantânea para
o problema.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = lim
∆௧→଴
∆𝑠
∆𝑡
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Se calcularmos utilizando o limite com a variação do tempo
tendendo a ZERO, encontramos a velocidade instantânea para
o problema.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = lim
∆௧→଴
∆𝑠
∆𝑡
𝑉 𝑖𝑛𝑠𝑡. = lim
∆௧→଴
𝑡ଶ௙ −𝑡ଶ௜
𝑡௙ − 𝑡௜
= lim
௧→ଷ
𝑡² − 3²
𝑡 − 3
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Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Se calcularmos utilizando o limite com a variação do tempo
tendendo a ZERO, encontramos a velocidade instantânea para
o problema.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = lim
∆௧→଴
∆𝑠
∆𝑡
𝑉 𝑖𝑛𝑠𝑡. = lim
∆௧→଴
𝑡ଶ௙ −𝑡ଶ௜
𝑡௙ − 𝑡௜
= lim
௧→ଷ
𝑡² − 3²
𝑡 − 3
𝑉 𝑖𝑛𝑠𝑡. = 6 cm/s
Conceito de derivada
• Exemplo de velocidade instantânea:
Se calcularmos utilizando o limite com a variação do tempo
tendendo a ZERO, encontramos a velocidade instantânea para
o problema.
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 = lim
∆௧→଴
∆𝑠
∆𝑡
𝑉 𝑖𝑛𝑠𝑡. = lim
∆௧→଴
𝑡ଶ௙ −𝑡ଶ௜
𝑡௙ − 𝑡௜
= lim
௧→ଷ
𝑡² − 3²
𝑡 − 3
𝑉 𝑖𝑛𝑠𝑡. = 6 cm/s
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Conceito de derivada
A reta Tangente
Conceito de derivada
• A reta Tangente:
Na geometria, a tangente de uma curva em um de seus pontos
é uma reta que a toca em um único ponto.
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Conceito de derivada
• Exemplo reta tangente
Use limites para encontrar a inclinaçãoda reta tangente ao
gráfico de 𝑦 = 𝑥ଶ, no ponto (1; 1).
     




x
y
Conceito de derivada
• Exemplo reta tangente
Use limites para encontrar a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑦 = 𝑥ଶ, no ponto (1; 1).
Solução: Utilizando as mesmas ideias:
𝑚 = lim
∆௫→଴
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆௫→଴
𝑥²௙ − 𝑥²௜
𝑥௙ − 𝑥௜
     




x
y
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Conceito de derivada
• Exemplo reta tangente
Use limites para encontrar a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑦 = 𝑥ଶ, no ponto (1; 1).
Solução: Utilizando as mesmas ideias:
𝑚 = lim
∆௫→଴
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆௫→଴
𝑥²௙ − 𝑥²௜
𝑥௙ − 𝑥௜
𝑚 = lim
௫→ଵ
𝑥² − 1
𝑥 − 1      




x
y
Conceito de derivada
• Exemplo reta tangente
Use limites para encontrar a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑦 = 𝑥ଶ, no ponto (1; 1).
Solução: Utilizando as mesmas ideias:
𝑚 = lim
∆௫→଴
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆௫→଴
𝑥²௙ − 𝑥²௜
𝑥௙ − 𝑥௜
𝑚 = lim
௫→ଵ
𝑥² − 1
𝑥 − 1
𝑚 = 2
     




x
y
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Conceito de derivada
A Derivada
Conceito de derivada
• Definição de derivada
“É a taxa de variação instantânea de 𝑦 com relação a x
no valor de x − a, dada a função genérica 𝑦 = 𝑓 𝑥
quando x → a".
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Conceito de derivada
• Definição de derivada
A derivada de uma função 𝑓 𝑥 em x = a, denotada por 𝑓′ 𝑎 (lê-
se “f linha de a”) pode ser definida através do limite:
𝑓ᇱ 𝑎 = lim
௫→௔
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Desde que o limite exista.
Geometricamente, representa a inclinação da reta tangente ao
gráfico de 𝑓 e que passa pelo ponto (𝑎; 𝑓 𝑎 )
Conceito de derivada
• Definição de derivada em um ponto
Se considerarmos 𝑥 = 𝑎 + ℎ, então fazer 𝑥 se aproximar de 𝑎 é
o mesmo que fazer ℎ → 0.
Dessa forma temos a derivada de uma função no ponto 𝑎.
𝑓ᇱ 𝑎 = lim
௛→଴
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Desde que o limite exista.
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Conceito de derivada
• Exemplo: Derivada em um ponto
Encontre 𝑓ᇱ 4 , se 𝑓 𝑥 = 2𝑥ଶ − 3
Solução: 𝑓ᇱ 𝑎 = lim
௛→଴
௙(௔ା௛)ି௙(௔)
௛
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4)
ℎ
Conceito de derivada
• Exemplo: Derivada em um ponto
Encontre 𝑓ᇱ 4 , se 𝑓 𝑥 = 2𝑥ଶ − 3
Solução: 𝑓ᇱ 𝑎 = lim
௛→଴
௙(௔ା௛)ି௙(௔)
௛
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
𝑓(4 + ℎ) − 𝑓(4)
ℎ
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2 ∗ 4 + ℎ ଶ − 3) − (2 ∗ 4 ଶ − 3)
ℎ
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Conceito de derivada
• Exemplo: Derivada em um ponto
Solução:
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2 ∗ 16 + 8ℎ + ℎଶ − 3) − (2 ∗ 16 − 3)
ℎ
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2ℎଶ + 16ℎ + 32 − 3) − (32 − 3)
ℎ
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2ℎଶ + 16ℎ)
ℎ
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2ℎ + 16)
1
𝑓ᇱ 4 = lim
௛→଴
(2ℎ + 16) 
𝑓ᇱ 4 = 16
Conceito de derivada
• Exercicios
1) Ache a inclinação da reta tangente à curva, no ponto dado
a) 𝑦 = ଷ
௫
 ; 3; 1
b) 𝑦 = ଵ
ଵା௫
; 2; 3
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Conceito de derivada
• Exercicios
1) Ache a inclinação da reta tangente à curva, no ponto dado
a) 𝑦 = ଷ
௫
 ; 3; 1  𝑦ᇱ = − ଵ
ଷ
b) 𝑦 = ଵ
ଵା௫
; 2; 3  𝑦ᇱ = − ଵ
ଽ
Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo:
Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = 𝑥², isto é, encontre ௗ௬
ௗ௫
se y = 𝑥²
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Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo:
Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = 𝑥², isto é, encontre ௗ௬
ௗ௫
se y = 𝑥²
Solução: 𝑓ᇱ 𝑥 = lim
௛→଴
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
(𝑥 + ℎ)² − 𝑥ଶ
ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
𝑥ଶ + 2𝑥ℎ + ℎଶ − 𝑥ଶ
ℎ
Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo: Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = 𝑥²,
Solução:ௗ௬
ௗ௫
= lim
௛→଴
ଶ௫௛ା௛మ
௛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
2𝑥 + ℎ
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
2𝑥 + ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
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Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo:
Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = ଵ
௫
, isto é, encontre ௗ௬
ௗ௫
se y = ଵ
௫
Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo: Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = ଵ
௫
, isto é, encontre ௗ௬
ௗ௫
se y = ଵ
௫
Solução: 𝑓ᇱ 𝑥 = lim
௛→଴
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
1
𝑥 + ℎ −
1
𝑥
ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
𝑥 − 𝑥 + ℎ
𝑥 𝑥 + ℎ
ℎ
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Conceito de derivada
• Outra notação para derivada: ௗ௬
ௗ௫
Exemplo: Encontre 𝑓ᇱ 𝑥 se 𝑓 𝑥 = ଵ
௫
, isto é, encontre ௗ௬
ௗ௫
se y = ଵ
௫
Solução: 𝑓ᇱ 𝑥 = lim
௛→଴
௙(௫ା௛)ି௙(௫)
௛
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
−ℎ
𝑥 𝑥 + ℎ
∗
1
ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
௛→଴
−1
𝑥 𝑥 + ℎ
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥ଶ
Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função constante
𝑓 𝑥 = 𝑘
𝑓′ 𝑥 = 0
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 10  𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = −45  𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 100459  𝑓′ 𝑥 = 0
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Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função Potência
𝑓 𝑥 = 𝑥௡, se n é inteiro positivo
𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∗ 𝑥௡ିଵ
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥²  𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥ହ  𝑓′ 𝑥 = 5𝑥ହିଵ = 5𝑥ସ
𝑓 𝑥 = 𝑥ିଷ 𝑓ᇱ 𝑥 = −3𝑥(ିଷିଵ)  𝑓ᇱ 𝑥 = −3𝑥(ିସ)
𝑓 𝑥 = 𝑥
భ
మ 𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ
𝑥(
భ
మିଵ)  𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ
𝑥(ି
భ
మ) 𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ ௫
Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função Soma
𝑓 𝑥 = u x + v(x)
𝑓′ 𝑥 = u′ x + v′(x)
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥ଶ + 𝑥³  𝑓ᇱ ௫ = 2𝑥 + 3𝑥²
𝑓 𝑥 = 𝑥ହ +4𝑥ିଷ  𝑓′ 𝑥 = 5𝑥ସ − 12𝑥(ିସ)
𝑓 𝑥 = 𝑥
భ
మ + 𝑥ି
భ
మ 𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ
𝑥(ି
భ
మ) − ଵ
ଶ
𝑥ି
య
మ 𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ ௫
− ଵ
ଶ ௫య
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Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função Diferença
𝑓 𝑥 = u x − v(x)
𝑓ᇱ 𝑥 = uᇱ ୶ − v′(x)
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥ଶ − 𝑥³ 𝑓ᇱ 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑥²
𝑓 𝑥 = 𝑥ହ −4𝑥ିଷ 𝑓ᇱ 𝑥 = 5𝑥ସ + 12𝑥(ିସ)
𝑓 𝑥 = 𝑥
భ
మ + 𝑥ି
భ
మ𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ
𝑥(ି
భ
మ) − − ଵ
ଶ
𝑥ି
య
మ  𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ ௫
+ ଵ
ଶ ௫య
Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função Produto
𝑓 𝑥 = u x ∗ v(x)
𝑓ᇱ 𝑥 = uᇱ x ∗ 𝑣 x + 𝑢 x ∗ v′(x)
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥  𝑓ᇱ 𝑥 = 𝑥′ ∗ 𝑥 + 𝑥 ∗ 𝑥 ᇱ
𝑓 𝑥 = 𝑥ିହ ∗ (𝑥ଶ)  𝑓′ 𝑥 = 𝑥ିହ ′ ∗ 𝑥ଶ + 𝑥ିହ ∗ (𝑥ଶ)′
𝑓ᇱ ௫ = −5𝑥ି଺ ∗ 𝑥ଶ + 𝑥ିହ ∗ 2𝑥ଵ = −5𝑥ିସ + 2𝑥ିସ = −3𝑥ିସ
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Conceito de derivada
• Regras de derivação
Função quociente
𝑓 𝑥 =
u x
v x
𝑓ᇱ 𝑥 =
𝑣 ∗ 𝑢ᇱ − v′ ∗ u
v²
Exemplo:
𝑓 𝑥 = ௫
మ
௫ఱ
 𝑓ᇱ 𝑥 = ௫
ఱ ∗ ௫మ
ᇲ
ି ௫మ ∗ ௫ఱ
ᇲ
(௫ఱ)²
𝑓ᇱ 𝑥 =
𝑥ହ ∗ (2𝑥) − 𝑥ଶ ∗ 5𝑥ସ
𝑥ଵ଴
=
2𝑥଺ − 5𝑥଺
𝑥ଵ଴
=
−3𝑥଺
𝑥ଵ଴
= −
3
𝑥ସ
Conceito de derivada
• Regras de derivação
Regra da cadeia
𝑓 𝑥 = u v(x)
𝑓ᇱ 𝑥 = uᇱ v(x) ∗ 𝑣′ x
Exemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥ଶ + 1 𝑓 𝑥 = (𝑥ଶ+1)
భ
మ
Fazendo: 𝑣 𝑥 = 𝑥ଶ + 1, então 𝑣′ 𝑥 = 2𝑥
Fazendo: 𝑢 𝑥 = 𝑣 , então 𝑢′ 𝑥 = ଵ
ଶ ௩
De forma que: 𝑓ᇱ 𝑥 = ଵ
ଶ ௫²ାଵ
∗ 2𝑥  𝑓ᇱ 𝑥 = ௫
௫²ାଵ