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Engenharia Civil - Campus Estoril
Geometria Analítica e Álgebra Linear - Lista de Exercícios Professor: Luiz Carlos Fernandes
Seções Cônicas
Questão 1. Dadas as elipses, esboce o seu gráfico e determine
(i) o comprimento do semieixo horizontal.
(ii) o comprimento do semieixo vertical.
(iii) as coordenadas dos vértices.
(iv) as coordenadas dos focos.
(a)
x2
169
+
y2
144
= 1.
(b) 225x2 + 289y2 = 65025.
(c)
x2
4
+
y2
9
= 1.
Questão 2. Para cada elipse do exercício anterior, determine se os pontos as coordenadas do ponto
cuja abcissa vale −3.
Questão 3. Determine os pontos em que a reta x+ 2y = 6 intersecta a elipse x2 + 4y2 = 20. Esboce
ambos os gráficos num mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Questão 4. Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da diretriz.
(a) y = 8x2
(b) y = −4x2
(c) y = 18x
2
(d) x = 6y2
(e) x = −8y2
(f) x2 = 2y
Questão 5. Para cada valor de k 6= 0, a equação y2 = 2kx representa uma parábola. Determine a
equação e esboce:
(a) a que passa por (2,
√
5).
(b) aquela cujo foco é (−3, 0).
(c) aquela cuja diretriz é x+ 7 = 0.
Questão 6. Determine os pontos em que a reta x+ y = 1 intersecta a parábola x2 − y = 0.
Questão 7. Para cada hipérbole dada determine as coordenadas dos vértices e dos focos, escreva as
equações de suas assíntotas e esboce-as no sistema de coordenadas cartesianas.
(a) x
2
4 +
y2
4 = 1
(b) y2 − 4x2 = 16
(c) x2 − y2 = 1
(d) y
2
9 − x
2
4 = 1
Questão 8. Determine a equação da hipérbole com centro na origem, eixo principal vertical e que
passa pelos pontos (4, 6) e (1,−3).
Questão 9. Determine a equação e esboce:
(a) da elipse de centro em (4,−2), vértice (9,−2) e semieixo vertícal de comprimento 3.
(b) da hipérbole de centro em (−2,−1), vértice (−2, 11) e assíntota de coeficiente angular 125 .
(c) da parábola de vértice no ponto (3,−2), eixo vertical e que passa pelo ponto (−2,−4).
1
Questão 10. Determine a equação da elipse tangente aos eixos coordenados e cujo centro está na
interseção das retas y = 9− x e y = x+ 1. Esboce a elipse indicando os vértices.
Questão 11. Determine a equação da hipérbole cujos focos são os vértices da elipse x
2
169 +
y2
25 = 1 e
cujos vértices são os focos dessa mesma elipse.
Questão 12. Dados os pontos A e B determine a equação da circunferência de diâmetro AB. Faça
um esboço dessa circunferência. ( Sugestão: como o diâmetro é o dobro do raio, sabe-se que o centro é o ponto
médio entre A e B. Assim, suas coordenadas são dadas pela média aritmética das coordenadas de A e B. )
Questão 13. Dados três pontos A, B e C quaisquer no plano, o ponto equidistante aos três é o centro da
circunferência que os contém. Para determinar este ponto, procedemos da seguinte maneira: primeiro determi-
namos os pontos médios entre A e B e entre B e C. Depois determinamos a reta perpendicular ao segmento AB
passando pelo seu ponto médio. Igualmente, encontramos a reta perpendicular a BC que passa pelo seu ponto
médio. A interseção entre essas duas retas é o centro da circunferência que contém os pontos A, B e C.
Com essas informações, determine um ponto equidistante aos pontos:
(a) A = (7,−2), B = (1,−2) e C = (3, 2)
(b) A = (−1, 3), B = (−3,−1) e C = (−4, 2)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Algumas respostas
1. (b) (i) a = 17, (ii) b = 15, (iii) (±17, 0).
3. (2, 2) e (4, 1).
4. (a) (0, 1/32), y = −1/32; (b) (0,−1/16), y = 1/16; (e) (−1/32, 0), x = 1/32.
5. (a) y2 = 5
2
x; (b) y2 = −12x; (c) y2 = 28x.
6.
(
−1+√5
2
, 3−
√
5
2
)
e
(
−1−√5
2
, 3+
√
5
2
)
.
7. (a) (±3, 0), y = ± 2
3
x; (c) (±1, 0), y = ±x.
8. 5y2 − 9x2 = 36.
9. (a) (x−4)
2
25
+ (y+2)
2
9
= 1; (b) (y+1)
2
144
+ (x+2)
2
81
= 1.
12. (x+ 3)2 + (y − 1)2 = 25.
13. (a) (4, 0); (b) (−2, 1)
Bibliografia
SANTOS, Fabiano José, FERREIRA, Silvimar F. Geometria Analítica, Bookman, 2009.
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