Resmat 2 Aula 5

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17/08/2018
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Professor: Fernando Braga
AULA 5
� Às vezes, o projeto de um eixo depende de
restrição quantidade de rotação ou torção que
pode ocorrer quando o eixo é submetido a um
torque.
� Saber calcular o ângulo de torção para um eixo é
importante quando analisamos as reações em
eixos estaticamente indeterminados.
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� Vamos desenvolver uma fórmula para determinar
o ângulo de torção � de uma extremidade de um
eixo em relação à sua outra extremidade.
� Consideraremos que o eixo tem seção transversal
circular que pode variar gradativamente ao longo
de seu comprimento e que o material é homogêneo
e se comporta de maneira linear elástica quando o
torque é aplicado.
� Utilizando a fórmula da deformação:
� E a lei de Hooke escrita para cisalhamento:
� O ângulo de torção é dado por:
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� Eixo de seção transversal circular com variação
gradativa:
� Eixo de seção transversal circular constante
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� Se o eixo for submetido a vários torques diferentes
ou se a área da seção transversal ou o módulo de
cisalhamento mudar abruptamente de uma região
do eixo para a seguinte.
Como sugestão deve-se
aplicar a regra da mão
direita para determinar o
torque e ângulo positivos.
Exercício 1
As engrenagens acopladas à
extremidade fixa do eixo de
aço estão sujeitas aos torques
mostrados na figura. Se o
módulo de elasticidade ao
cisalhamento for 80 GPa e o
eixo tiver diâmetro de 14 mm,
determine o deslocamento do
dente P da engrenagem A. O
eixo gira livremente dentro do
mancal em B.
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Exercício 2
Um eixo escalonado ABCD consistindo de segmentos circulares
sólidos está submetido a três torques, como ilustrado na figura.
Considere o material aço com módulo de cisalhamento G=80GPa.
Determine:
a) A tensão de cisalhamento máxima no eixo
b) O ângulo de torção em graus na extremidade D.
� Eixos cujas seções transversais não são circulares não
são simétricos em relação às respectivas linhas centrais
e, como a tensão de cisalhamento é distribuída de um
modo muito complexo nas seções transversais, elas
ficarão abauladas ou entortarão quando o eixo sofrer
torção.
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� Distribuição de tensão em um eixo quadrado
Os resultados da análise para seções
transversais quadradas, triangulares e
elípticas, mostram que a tensão de
cisalhamento máxima ocorre em um
ponto na borda da seção transversal
mais próxima da linha central do eixo.
� Eixos com seções 
transversais triangulares, 
elípticas e quadradas
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Exercício 3
O eixo de alumínio 6061-T6
mostrado na figura tem área
de seção transversal na
forma de um triângulo
equilátero. Determine o
maior torque T que pode
ser aplicado na extremidade
do eixo se a tensão de
cisalhamento admissível for
56 MPa e o ângulo de torção
na extremidade = 0,02 rad.
� Vamos considerar um tubo de com área de seção
transversal constante, não circular.
Para a análise, consideraremos que as paredes têm
espessura variável t.
� Como elas são finas, poderemos obter uma solução
aproximada para a tensão de cisalhamento considerando
que essa tensão é uniformemente distribuída pela
espessura do tubo.
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� Esquema proposto
Em outras palavras, poderemos
determinar a tensão de
cisalhamento média no tubo em
qualquer ponto dado.
� Antes de definirmos uma fórmula para a tensão de
cisalhamento média vamos, entender o conceito de
fluxo de cisalhamento.
� Vamos considerar um pequeno elemento de tubo de 
comprimento finito s e largura diferencial dx.
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� Em uma extremidade, o elemento tem espessura ta
e na outra extremidade, a espessura é tb. Devido ao
torque aplicado T, uma tensão de cisalhamento é
desenvolvida na face frontal do elemento.
Especificamente, na extremidade A, a tensão de
cisalhamento é �A, e na extremidade B, é �B .
� Estas tensões de cisalhamento equivalentes �A e �B
também devem agir sobre as laterais longitudinais
do elemento.
� Visto que essas laterais têm espessuras constantes, 
as forças que agem sobre elas são dFA = �A (tadx) e 
dFB = �B (tBdx) . 
� O equilíbrio de força exige que essas forças sejam 
de igual valor, mas em direções opostas, de modo 
que �A ta= �B tB
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� Esse importante resultado afirma que o produto
entre a tensão de cisalhamento longitudinal média e
a espessura do tubo é a mesma em cada ponto na
área de seção transversal do tubo. Esse produto é
denominado de fluxo de cisalhamento.
� Uma vez que q é constante na seção transversal, a
maior tensão de cisalhamento média ocorrerá no
local em que a espessura do tubo for a menor.
� Tensão de cisalhamento média
A tensão de cisalhamento média, �MED que age sobre a área
sombreada dA=tds do elemento diferencial, mostrado
pode ser relacionada com o torque T considerando-se o
torque produzido pela tensão de cisalhamento em tomo de
um ponto selecionado O no interior do limite do tubo.
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� Tensão de cisalhamento média
A tensão de cisalhamento desenvolve uma força sobre o
elemento que é dada por:
O torque é dado por:
Integrando o torque temos:
Resolvendo a integral temos que:
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Onde:
� �MED = tensão de cisalhamento média que age sobre a espessura do 
tubo
� T = torque interno resultante na seção transversal,
� t = espessura do tubo no local onde �MED deve
� ser determinada
� A = área média contida no contorno da linha m central da espessura 
do tubo
Ângulo de Torção
Se o material se comportar de modo linear elástico e G for 
o módulo de cisalhamento, então esse ângulo pode ser 
expresso pela seguinte fórmula:
Nessa expressão, a integração deve ser executada em todo 
o contorno da área de seção transversal do tubo.
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Exercício 4:
O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção
transversal retangular, como mostrado na figura. Se
for submetido aos dois torques, determine a tensão
de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B. O
tubo é fixo em E.