Cálculo III - resolução do trabalho

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TRABALHO DE CÁLCULO III - ENTREGAR DIA 11/12/2014 
NOME: 
1. Calcule ou mostre que não existem: 
í 
a) lim (1 + x)x b) lim (x -1). In (x -1) 
x-*0 
2. Calcule ou mostra que diverge a J ^ - — 
dx 
(l-xf 
3. Determine o domínio da função f(x- , na forma algébrica e na forma geométrica. 
^4x2 + 9 / - 3 6 
4. Represente as curvas de nível de z = 4 - 2y - x2. 
5. Determine as derivadas parciais de primeira ordem (fx e fy) de cada função a seguir: 
a) f(x,y) = 2x4y3-xy2+3y + \ f(r,s) = Vr2 + s2 c) f(x,y) = ex.hi(xy) 
6. O raio e a altura de um cilindro reto são 8 cm e 20 cm, respectivamente, com erro possível de medida de 
± 0,01 cm. Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do cilindro. 
7. Suponhamos que as dimensões (em centímetros) de uma caixa retangular variem de 9, 6 e 4 para 9,02, 
5,97 e 4,01, respectivamente. 
a) Obtenha, através de diferenciais, uma aproximação da variação do volume. 
b) Ache a variação exata do volume. 
8. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 
80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a 
V 
lei de Ohm, / = — , e uma regra da cadeia, para achar a taxa de variação à qual a corrente / (em 
amperes) varia. 
9. Seja a função / ( x , y) = x3y2 que determina a temperatura (em graus Celsius) em (x,y) (em cm). 
a) Calcule a derivada direcional de / no ponto P(— 1,2), na direção do vetor v = 4i — 3/ . 
b) Explique o significado do resultado encontrado no item anterior. 
10. Suponhamos que um sistema coordenado xyz esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura T 
no ponto (x, y, z) seja dado pela fórmula T = \2 + y2 + z2). 
a) Calcule a taxa de variação de T em relação à distância no ponto PÇL, 3, - 2) e na direção do vetor 
v = i-j + k. 
b) Em que direção, a partir de P, T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T 
em PI 
11. Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume de 12 m3. O custo por metro quadrado do 
material a ser usado é de $ 400,00 para o fundo, $ 300,00 para dois dos lados opostos, e $ 200,00 para os 
lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimiza o custo. 
12. Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x2 e y = 2x, usando integral dupla Fazer o gráfico 
da região. 
13. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de 2y = 16 - x2 e x + 2y = 4 , usando integral dupla. 
Fazer o gráfico da região. 
0 a) ( u x ) 
2 ^ (<+x) 
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