AD1-C2-2014-2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2014/2) – Gabarito 
 
 
Solução da 1ª Questão 
 
Considere a figura 1.1 abaixo , representando o mesmo gráfico dado no enunciado 
 
 
Figura 1.1 
 
A figura 1.2 a seguir ilustra a hipótese de que os eixos verticais dividem a área de cada pulso na metade 
 
 
Figura 1.2 
 
Usando a notação das figuras acima, tem-se 
 
1 3 5( ) ( ) ( )  área R área R área R A
 e 
2 4( ) ( ) área R área R B
 (*) 
 
 
a) Cálculo de 
(0)G
: 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
 Por definição (*)0 2
1
2 0
(0) ( ) ( ) ( ) 2         G g t dt g t dt área R A B
 , ou seja , 
(0) 2 G B
 
 
 
Cálculo de 
(1)G
: 
Por definição: (*)1 2
1
2 1
( )
(1) ( ) ( )
2 2
         
área R A
G g t dt g t dt B
, isto é , 
(1)  G B
. 
 
Cálculo de 
(2)G
: 
Por definição: 2
2
(2) ( ) 0 G g t dt
, pois, como visto no caderno didático, os extremos de integração são 
os mesmos, ambos iguais a 2 e 
g
 está definida em 
2t
. isto é , 
(2) 0G
 . 
Cálculo de 
(3)G
: 
Por definição: (*)3
2
2
( )
(3) ( )
2 2
    
área R B
G g t dt
, isto é , 
(3)
2
 
B
G
. 
 
Cálculo de 
(4)G
: 
Por definição: (*)4
2
2
(4) ( ) ( )    G g t dt área R B
, isto é , 
(4)  G B
. 
 
Cálculo de 
(5)G
: 
Por definição: (*)5 4 5
3
2 2 4
( )
(5) ( ) ( ) ( ) (4) 0
2 2
             
área R A
G g t dt g t dt g t dt G B B B
, isto é , 
(5) 0G
. 
 
Cálculo de 
(6)G
: 
Por definição: (*)6 4 6
3
2 2 4
(6) ( ) ( ) ( ) (4) ( ) 2             G g t dt g t dt g t dt G área R B A B B B
, isto é 
, 
(6) G B
. 
Cálculo de 
(7)G
: 
Por definição: (*)7 6 7
4
2 2 6
( )
(7) ( ) ( ) ( ) (6)
2 2 2
         
área R B B
G g t dt g t dt g t dt G B
, isto é , 
(7)
2

B
G
. 
Cálculo de 
(8)G
: 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
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P
ág
in
a3
 
Por definição: (*)8 6 8
4
2 2 6
(8) ( ) ( ) ( ) (6) ( ) 0         G g t dt g t dt g t dt G área R B B
, isto é , 
(8) 0G
. 
 
Cálculo de 
(9)G
: 
Por definição: (*)9 8 9
5
2 2 8
( )
(9) ( ) ( ) ( ) (8) 0
2 2
         
área R A
G g t dt g t dt g t dt G B
, isto é , 
(9) G B
. 
Cálculo de 
(10)G
: 
Por definição: (*)10 8 10
5
2 2 8
(10) ( ) ( ) ( ) (8) ( ) 0 2         G g t dt g t dt g t dt G área R A B
, isto é , 
(10) 2G B
. 
 
Comparando os valores, tem-se: 
 
(0) 2 (1) (3) (2) (5) (8) 0 (7) (6) (9) (10) 2
2 2
                  
B B
G B G B G G G G G G G B G B
 
(b) Pela primeira forma do T.F.C., segue que 
'( ) ( )G x g x
 , para todo 
[0,10]x
. 
De acordo com o gráfico, tem-se ( ) 0g x  nos intervalos (0,2) , (4,6) e (8,10) e ( ) 0g x  , nos 
intervalos (2,4) e (6,8) . 
A tabela abaixo apresenta o comportamento do sinal de 
'( ) ( )G x g x
 e portanto dá a informação sobre 
crescimento e decrescimento de 
( )G x
 
 
Intervalos 
0 2x 
 
2 4x 
 
4 6x 
 
6 8x 
 
8 10x 
 
'( ) ( )G x g x
 

 

 

 

 

 
( )G x
 
 
 
Assim, a função 
( )G x
 é crescente em 
(0,2)
 , 
(4,6)
 e 
(8,10)
 e é decrescente em 
(2,4)
 e 
(6,8)
 . 
 
(c) Pelo item anterior e o teste da derivada primeira, temos que 
2x 
 e 
6x 
 são pontos de máximo 
locais e 
4x 
 e 
8x 
 são pontos de mínimo locais. 
Por outro lado, segue que de (b) segue que 
G
 é contínua no intervalo fechado 
[0,10]
 e, pela 
comparação dos valores obtidos em (**), segue que 
0x 
 é o ponto de mínimo absoluto e 
10x
 é 
ponto de máximo absoluto. 
 
(d) Para estudarmos os pontos de inflexão e as mudanças de concavidade no gráfico de 
( )G x
, devemos 
estudar o sinal de 
''( )G x
. 
Como 
'( ) ( )G x g x
 e 
g
 é derivável no intervalo 
(0,10)
, segue que 
''( ) '( )G x g x
. 
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P
ág
in
a4
 
Lembre-se que 
'( )g x
 representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
g
 no ponto 
( , ( ))P x g x
 
que, neste caso, é positiva nos intervalos em que 
g
 é crescente (vide figura 1.3), e negativa nos 
intervalos em que 
g
 é decrescente (vide figura 1.4). 
Assim, a tabela seguinte nos dá o comportamento do sinal de 
''( )G x
. 
 
Intervalos 
0 1x 
 
1 3x 
 
3 5x 
 
5 7x 
 
7 9x 
 
9 10 x
 
''( ) '( )g x f x
 

 

 

 

 

 

 
Concavidade do 
gráfico de 
g
 

 

 

 

 

 

 
 
A tabela acima nos diz que existe mudança de concavidade em 
1x 
, 
3x 
, 
5x 
, 
7x 
 e 
9x  
e existe reta tangente nos pontos 
(1, (1))G
,
(3, (3))G
,
(5, (5))G
, 
(7, (7))G
 e 
(9, (9))G
,logo os 
pontos mencionados são pontos de inflexão e portanto as abscissas dos pontos de inflexão ocorrem 
em 
1x 
, 
3x 
, 
5x 
, 
7x 
 e 
9x 
. 
 
 
 
 Figura 1.3 Figura 1.4 
 
(e) A tabela acima nos disse que o gráfico de 
G
tem concavidade para cima em 
(0,1) (3,5) (7,9) 
e 
para baixo em 
(1,3) (5,7) (9,10) 
. 
 
(f) Juntando os dados dos itens anteriores, podemos dar um esboço aproximado do gráfico da função 
G
. O esboço do gráfico é dado na figura 1.5 a seguir: 
 
 
 Figura 1.5 
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P
ág
in
a5
 
Solução da 2ª Questão 
 
O gráfico da função
f
 é o mostrado na figura 2.1 a seguir: 
 
 
Figura 2.1 
 
A interseção da curva exponencial com o eixo 
x
 é obtida resolvendo-se a equação 
1 1
22 3.2 0 3.2 2 2 3 log 3
         x x x x
 
 
(a) Como a função 
f
 tem expressões diferentes nos intervalos consecutivos 
[ 4,1]
 e 
[1,3]
, devemos usar 
a proposição 2.2 do caderno didático para obter: 
 
3 1 3
4 4 1
( ) ( ) ( )
 
   f x dx f x dx f x dx
 (1)
 
 
Usando as expressões da função 
f
 em cada um dos intervalos e substituindo em (1), temos: 
 
. . . 1 33 1 3
1 1
4 14 4 1
1 3 1 1
6 3
( ) 2sen( ) ( 2 3.2 ) 2. cos( ) 2 .2
6 6 ln 2
12 12 4 3 3
cos( ) cos( ) 2.3 .2 2.1 .2
6 6 ln 2 ln 2
12 3 12
.
2
 

 
 

 
 
 
   
               
          
                    
          
   
  
T F C
x xx xf x dx dx dx x
1 3 3 6( 3 1) 9
. 6 2 4
2 4ln 2 ln 2 4ln 2 
         
                  
        
 
 
(Obs.: você poderia usar uma calculadora para concluir que o valor acima é negativo. 
Entretanto, buscando motivá-lo a fazer estimativas numéricas, notemos o seguinte: 
3 1 3 1 2 6.( 3 1) 12
1 1
4
4


       


  

 
Multiplicando as desigualdades (o que é possível, já que os membros são positivos) , obtém-se que 
6.( 3 1) 12 6.( 3 1) 6.( 3 1)
3 3 4 7
4              
 (I) 
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P
ág
in
a6
 
Agora, também se sabe que 
3e
. Logo 
3 2 e
 e assim 
1 1 9 9
ln ln2 ln 2 2
2 ln2 4ln2 2
      e
 (II) 
Somando as desigualdades (I) e (II), concluímos que 
6( 3 1) 9 9 5
4 7 0
4ln 2 2 2

        
 ). 
(b) Analisando-se o gráfico da figura 2.1, tem-se 
( ) 0f x 
 em 
2[0,log 3]
 
 
 
 
 
Figura 2.2 
 
De acordo com a definição 2.2 do caderno didático ( vide também EP1), tem-se que: 
 
0
1
4
( ) ( )

  A R f x dx
 , 2log 3
2
0
( ) ( ) A R f x dx
 e 
2
3
3
log 3
( ) ( )  A R f x dx
 (2) 
 
 
Agora , pela proposição 2.2 do caderno didático vale a seguinte propriedade da integral definida: 
 
2
2
log 33 0 3
4 4 0 log 3
( ) ( ) ( ) ( )
 
     f x dx f x dx f x dx f x dx
 (3) 
 
Substituindo agora (2) em (3), tem-se: 
 
3
1 2 3
4
( ) ( ) ( ) ( ( ))

     f x dx A R A R A R
 ou ainda 3
2 1 3
4
( ) ( ) ( ( ) ( ))

   f x dx A R A R A R
. 
 
Ou seja, a integral definida dada no item anterior representa uma diferença de áreas . Mais 
especificamente, é a área sob o gráfico de 
f
 e acima do eixo 
x
 (
2( )A R
) menos a soma das áreas 
das regiões sobre o gráfico de 
f
 e abaixo do eixo 
x
 (
1 3( ) ( )A R A R
). 
Como no item anterior vimos que esse valor é negativo, isto significa que a área da região 
2R
 é 
menor que a soma das áreas das regiões 
1R
 e 
3R
. 
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P
ág
in
a7
 
 
(c) A área total delimitada pelo gráfico da função 
f
, pelo eixo 
x
 e as retas 
4 x
 e 
3x
 é dada 
por: 
 
1 2 3( ) ( ) ( )TA A R A R A R  
 
 
O que, de acordo com (2), nos dá: 
 
2
2
log 30 3
4 0 log 3
( ) ( ) ( )

 
     
 
 
  TA f x dx f x dx f x dx
 , ou seja , 
 
2
2
log 30 3
4 0 log 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

     T
I II III
A f x dx f x dx f x dx
 (4) 
 
Cálculo de (I): No intervalo 
[ 4,0]
, tem-se 
( ) 2sen( )
6


x
f x
 , logo: 
 
 
00 0
44 4
12 12 12 4
( ) 2sen( ) cos( ) cos(0) cos( )
6 6 6
12 12 1 18
.( )
2
  
  
  
 
      
                  
 
       
 
 
x x
f x dx dx
 (5) 
 
Cálculo de (II): No intervalo 
2[0,log 3]
, tem-se 
1
2
2sen( ), 0 1
( ) 6
2 3.2 , 1 log 3



 
 
   
x
x
se x
f x
se x
 . 
 
Usando a proposição 2.2 do caderno didático e substituindo os valores correspondentes a cada intervalo da 
função, temos 
 
2 2 2
2
2
log 3 log 3 log 31 1
1
0 0 1 0 1
1 log 3
1
0 1
1 log 3
2
( ) ( ) ( ) 2sen( ) ( 2 3.2 )
6
12 3
cos( ) 2 .2
6 ln 2
12 12 3 3
cos( ) cos(0) 2log 3 .2 2.1
6 ln 2 ln




 



      
   
           
      
               
      
    
x
x
x
f x dx f x dx f x dx dx dx
x
x
2
1 1
2 2log 3
2
.2
2
12 3 12 3 2 3 12 6 3 3 2 3
. 2log 3 . 2 2log 3 . 2
2 ln 2 2 ln 2 ln 2 3 ln 2
12 6 3 1
2log 3 2
ln 2
   
 
     
  
             
   
 (6) 
 
 
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P
ág
in
a8
 
Cálculo de (III): No intervalo 
2[log 3,3]
, tem-se 
12 3.2   x
 , logo: 
 
 22 2
2
33 3
1 1
log 3log 3 log 3
1 log 31 3
2
2 2
3
( ) ( 2 3.2 ) 2 .2
ln 2
3 3
2.3 .2 2log 3 .2
ln 2 ln 2
3 3 2 5
6 2log 3 . 6 2log 3
4ln 2 ln 2 3 4ln 2
 

 
        
    
          
    
        
 
x xf x dx dx x
 (7) 
 
Substituindo (5), (6), e (7) em (4) temos que: 
 
2 2
2
18 12 6 3 1 5
2log 3 2 6 2log 3
ln 2 4ln 2
30 6 3 1
4log 3 8
4ln 2
  
 
    
                
    
    
T
T
A
A
 
 
 
Solução da 3ª Questão 
 
(a) Seja 
( )
( )
4
 
x
t
a
f t
g x dt
 (1) 
 
Assim 
4 ( ) 2 2   x x ag x
 . (2) 
 
Derivando ambos os lados da igualdade, tem-se: 
 
(4 ) ' '( ) (2 2 ) '   x x ag x
 
 
Aplicando em (1), a 1ª forma do T.F.C. nos diz que 
( )
'( )
4

x
f x
g x
. Comparando com a expressão 
anterior, obtemos 
 
2 2
2
2 3
2
( ) ( )
4 .ln 4 2 ln 2 2 .ln(2 ) 2 ln 2
4 2
( )
ln 2(2 2.2 ) ( ) ln 2(2 2)
2
 

       
    
x x x x
x x
x x x
x
f x f x
f x
f x (3) 
 
Fazendo 
x a
 em (2), tem-se 
 
2 1
0
( ) 1
4 ( ) 2 2 4 2 2 2 2.2 2 2 1
4 3
a
a a a a a a a a a
t
a
f t
g a dt a a a   

                
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P
ág
in
a9
 
 
 
 
 
(b) 
2 2 2 2 2
2 0 2 2
sen sen 0 0 0
( ) ( ) ( )                
sen xx x x
t t t t t
x x
H x e dt e dt e dt e dt e dt F x G x
 (*) 
 
em que 
 
( ) ( )F x h sen x
 e 
( ) (2 )G x h x
 , sendo 
2
0
( )  
x
th x e dt
 
 
Denotemos 
2
( )  tf t e
. Pelo TFC, 
'( ) ( )h x f x
. 
 
Pela regra da cadeia: 
2
'( ) '( ).( ) ' ( ).cos .cos   sen xF x h sen x sen x f sen x x e x
 
24'( ) '(2 ).(2 ) ' (2 ).2 2    xG x h x x f x e
 
 
Por (*), tem-se 
 
2 2 2 24 0 4.0'( ) '( ) '( ) '( ) .cos 2 '(0) .cos0 2 1 2 1
'(0) 1
                 
 
sen x x senH x F x G x H x e x e H e e
H
 
 
 
Solução da 4ª Questão 
 
a) Observa-se que os pontos dados na observação do enunciado são pontos da curva exponencial 
2xy
. 
De fato, 
1
2
1 1
( 1, ) : 1 2
2 2
(2,4) : 2 2 4
x y
x y
 
Esses pontos também estão, respectivamente, na reta 
9 4 7 0x y
 e na parábola 
2 5 10  y x x
. De fato: 
 
2
1 1
( 1, ) : 9( 1) 4. 7 9 2 7 0
2 2
(2,4) : 2 5.2 10 4y
 
 
As retas 
4 23 0x y
 e 
9 4 7 0x y
 intersectam-se no ponto 
( 3,5)
. 
A parábola 
2 5 10  y x x
 intersecta a reta 
4 23 0x y
 no ponto 
(1,6)
 . 
A região é esboçada na figura 4.1 a seguir. 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
0
 
 
 
Figura 4.1 
 
b) Para representar a área da região 
R
 em termos de
x
 , precisamos dividi-la em três 
sub-regiões , como mostra a figura 4.2 a seguir, além de expressar 
y
 como função de 
x
 . 
Na reta 
9 4 7 0x y
, isolando 
y
 fica 
9 7
4 4
y x
. 
Na reta 
4 23 0x y
, isolando 
y
, fica 
23
4 4
x
y
 
 
 
 
 
Figura 4.2 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
1
 
2 31
1 1 2
2
3 1 1
( ) ( )( )
23 9 7 23
( ) [( ) ( )] [( ) 2 )] [( 5 10) 2 ]
4 4 4 4 4 4
x x
A R A RA R
x x x
A R dx dx x x dx
 
 
c) Neste caso, verificamos que também é necessário dividir a região, como mostra a figura 4.3 a seguir . 
 
 
 
Figura 4.3 
 
Na parábola 
2 5 10  y x x
 , completando quadradoobtemos 
2 2 25 25 25 5 155 10 2. 10 ( )
2 4 4 2 4
          y x x x x x
 
portanto tem-se 
5 15
2 4
x y 
. Como a parte da parábola que interessa é a que se localiza à 
esquerda da abscissa do vértice 
5
( )
2
x
 , devemos considerar a expressão 
5 15
2 4
x y
. 
As outras funções são simples de se isolar a variável x e estão mostradas na figura 4.3. 
 
Temos portanto: 
 
21 3
4 5 6
2
1/2 4 5
( )( ) ( )
4 7 5 15 4 7 5 15
( ) [(log ) ( )] [( ) ( )] [( ) (4 23)]
9 9 2 4 9 9 2 4
A RA R A R
y y
A R y dy y dy y y dy
 
 
d) Usando a expressão do item (b) , obtemos: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
2
 
2 31
1 1 2
2
3 1 1
( ) ( )( )
1 1
2 2 3 2
3 1
5 15 23
( ) ( ) [( ) 2 )] [( 5 10) 2 ]
2 2 4 4
5 15 23 2 5 2
10
4 2 8 4 ln 2 3 2 l
x x
A R A RA R
x x
x x
A R dx dx x x dx
x x x x x x
x
2
1
n 2
5 15 45 45 1 23 2 1 23 1 8 4 1 5 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( 10 20 ) ( 10 )
4 2 4 2 8 4 ln 2 8 4 2ln 2 3 ln 2 3 2 ln 2
49 7
3 ln 4
 
ou seja, 
49 7
( ) u.a.
3 ln 4
A R
 
 
 
 
 
Solução da 5ª Questão 
 
 
Uma reta passando pela origem com inclinação 
m
 tem equação dada por 
y mx
. Um ponto de interseção 
da reta 
y mx
 com a curva 
3 y x x
 tem a forma 
( , )P a ma
, como indicado na figura 5.1 a seguir. As 
regiões são também indicadas na figura. 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
No ponto de interseção 
( , )P a ma
, tem-se 
 
3 3 2 2( 1) 0 .( ( 1)) 0 0 1 1                ma a a a m a a a m a ou a m a m
 (*) 
Obs.: temos assim a restrição 
1m
 
Calculando a área da região 
R
inteira (união de 
1R
 e 
2R
), obtemos: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a1
3
 
11 2 4
3
0 0
1 1 1
( ) ( ) . .
2 4 2 4 4
 
       
 

x x
A R x x dx u a
 (1) 
 
Calculando a área da região 
1R
, temos 
3 3
1
0 0
(*)
4 2 2 2 2
10
( ) (( ) ) ( (1 ) )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
4 2 4 2 4 
       
    
      
 
 
a a
a
a m
A R x x mx dx x m x dx
x m x m m m
 (2) 
 
Assim, como se deseja que as áreas de 
1R
 e 
2R
sejam as mesmas, segue de (1) e (2) que: 
 
2
1 2
( ) (1 ) 1
( ) ( ) . .
2 4 8

   
A R m
A R A R u a
 
2 1 1 1(1 ) (1 ) 1
2 2 2
         m m m
. 
Pela restrição de que 
1m
, então 
1
1
2
 m