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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância Cálculo II – AD1 (2014/2) – Gabarito Solução da 1ª Questão Considere a figura 1.1 abaixo , representando o mesmo gráfico dado no enunciado Figura 1.1 A figura 1.2 a seguir ilustra a hipótese de que os eixos verticais dividem a área de cada pulso na metade Figura 1.2 Usando a notação das figuras acima, tem-se 1 3 5( ) ( ) ( ) área R área R área R A e 2 4( ) ( ) área R área R B (*) a) Cálculo de (0)G : Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a2 Por definição (*)0 2 1 2 0 (0) ( ) ( ) ( ) 2 G g t dt g t dt área R A B , ou seja , (0) 2 G B Cálculo de (1)G : Por definição: (*)1 2 1 2 1 ( ) (1) ( ) ( ) 2 2 área R A G g t dt g t dt B , isto é , (1) G B . Cálculo de (2)G : Por definição: 2 2 (2) ( ) 0 G g t dt , pois, como visto no caderno didático, os extremos de integração são os mesmos, ambos iguais a 2 e g está definida em 2t . isto é , (2) 0G . Cálculo de (3)G : Por definição: (*)3 2 2 ( ) (3) ( ) 2 2 área R B G g t dt , isto é , (3) 2 B G . Cálculo de (4)G : Por definição: (*)4 2 2 (4) ( ) ( ) G g t dt área R B , isto é , (4) G B . Cálculo de (5)G : Por definição: (*)5 4 5 3 2 2 4 ( ) (5) ( ) ( ) ( ) (4) 0 2 2 área R A G g t dt g t dt g t dt G B B B , isto é , (5) 0G . Cálculo de (6)G : Por definição: (*)6 4 6 3 2 2 4 (6) ( ) ( ) ( ) (4) ( ) 2 G g t dt g t dt g t dt G área R B A B B B , isto é , (6) G B . Cálculo de (7)G : Por definição: (*)7 6 7 4 2 2 6 ( ) (7) ( ) ( ) ( ) (6) 2 2 2 área R B B G g t dt g t dt g t dt G B , isto é , (7) 2 B G . Cálculo de (8)G : Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a3 Por definição: (*)8 6 8 4 2 2 6 (8) ( ) ( ) ( ) (6) ( ) 0 G g t dt g t dt g t dt G área R B B , isto é , (8) 0G . Cálculo de (9)G : Por definição: (*)9 8 9 5 2 2 8 ( ) (9) ( ) ( ) ( ) (8) 0 2 2 área R A G g t dt g t dt g t dt G B , isto é , (9) G B . Cálculo de (10)G : Por definição: (*)10 8 10 5 2 2 8 (10) ( ) ( ) ( ) (8) ( ) 0 2 G g t dt g t dt g t dt G área R A B , isto é , (10) 2G B . Comparando os valores, tem-se: (0) 2 (1) (3) (2) (5) (8) 0 (7) (6) (9) (10) 2 2 2 B B G B G B G G G G G G G B G B (b) Pela primeira forma do T.F.C., segue que '( ) ( )G x g x , para todo [0,10]x . De acordo com o gráfico, tem-se ( ) 0g x nos intervalos (0,2) , (4,6) e (8,10) e ( ) 0g x , nos intervalos (2,4) e (6,8) . A tabela abaixo apresenta o comportamento do sinal de '( ) ( )G x g x e portanto dá a informação sobre crescimento e decrescimento de ( )G x Intervalos 0 2x 2 4x 4 6x 6 8x 8 10x '( ) ( )G x g x ( )G x Assim, a função ( )G x é crescente em (0,2) , (4,6) e (8,10) e é decrescente em (2,4) e (6,8) . (c) Pelo item anterior e o teste da derivada primeira, temos que 2x e 6x são pontos de máximo locais e 4x e 8x são pontos de mínimo locais. Por outro lado, segue que de (b) segue que G é contínua no intervalo fechado [0,10] e, pela comparação dos valores obtidos em (**), segue que 0x é o ponto de mínimo absoluto e 10x é ponto de máximo absoluto. (d) Para estudarmos os pontos de inflexão e as mudanças de concavidade no gráfico de ( )G x , devemos estudar o sinal de ''( )G x . Como '( ) ( )G x g x e g é derivável no intervalo (0,10) , segue que ''( ) '( )G x g x . Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a4 Lembre-se que '( )g x representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto ( , ( ))P x g x que, neste caso, é positiva nos intervalos em que g é crescente (vide figura 1.3), e negativa nos intervalos em que g é decrescente (vide figura 1.4). Assim, a tabela seguinte nos dá o comportamento do sinal de ''( )G x . Intervalos 0 1x 1 3x 3 5x 5 7x 7 9x 9 10 x ''( ) '( )g x f x Concavidade do gráfico de g A tabela acima nos diz que existe mudança de concavidade em 1x , 3x , 5x , 7x e 9x e existe reta tangente nos pontos (1, (1))G , (3, (3))G , (5, (5))G , (7, (7))G e (9, (9))G ,logo os pontos mencionados são pontos de inflexão e portanto as abscissas dos pontos de inflexão ocorrem em 1x , 3x , 5x , 7x e 9x . Figura 1.3 Figura 1.4 (e) A tabela acima nos disse que o gráfico de G tem concavidade para cima em (0,1) (3,5) (7,9) e para baixo em (1,3) (5,7) (9,10) . (f) Juntando os dados dos itens anteriores, podemos dar um esboço aproximado do gráfico da função G . O esboço do gráfico é dado na figura 1.5 a seguir: Figura 1.5 Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a5 Solução da 2ª Questão O gráfico da função f é o mostrado na figura 2.1 a seguir: Figura 2.1 A interseção da curva exponencial com o eixo x é obtida resolvendo-se a equação 1 1 22 3.2 0 3.2 2 2 3 log 3 x x x x (a) Como a função f tem expressões diferentes nos intervalos consecutivos [ 4,1] e [1,3] , devemos usar a proposição 2.2 do caderno didático para obter: 3 1 3 4 4 1 ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx (1) Usando as expressões da função f em cada um dos intervalos e substituindo em (1), temos: . . . 1 33 1 3 1 1 4 14 4 1 1 3 1 1 6 3 ( ) 2sen( ) ( 2 3.2 ) 2. cos( ) 2 .2 6 6 ln 2 12 12 4 3 3 cos( ) cos( ) 2.3 .2 2.1 .2 6 6 ln 2 ln 2 12 3 12 . 2 T F C x xx xf x dx dx dx x 1 3 3 6( 3 1) 9 . 6 2 4 2 4ln 2 ln 2 4ln 2 (Obs.: você poderia usar uma calculadora para concluir que o valor acima é negativo. Entretanto, buscando motivá-lo a fazer estimativas numéricas, notemos o seguinte: 3 1 3 1 2 6.( 3 1) 12 1 1 4 4 Multiplicando as desigualdades (o que é possível, já que os membros são positivos) , obtém-se que 6.( 3 1) 12 6.( 3 1) 6.( 3 1) 3 3 4 7 4 (I) Cálculo II AD01 – Gabarito2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a6 Agora, também se sabe que 3e . Logo 3 2 e e assim 1 1 9 9 ln ln2 ln 2 2 2 ln2 4ln2 2 e (II) Somando as desigualdades (I) e (II), concluímos que 6( 3 1) 9 9 5 4 7 0 4ln 2 2 2 ). (b) Analisando-se o gráfico da figura 2.1, tem-se ( ) 0f x em 2[0,log 3] Figura 2.2 De acordo com a definição 2.2 do caderno didático ( vide também EP1), tem-se que: 0 1 4 ( ) ( ) A R f x dx , 2log 3 2 0 ( ) ( ) A R f x dx e 2 3 3 log 3 ( ) ( ) A R f x dx (2) Agora , pela proposição 2.2 do caderno didático vale a seguinte propriedade da integral definida: 2 2 log 33 0 3 4 4 0 log 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx f x dx (3) Substituindo agora (2) em (3), tem-se: 3 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ( )) f x dx A R A R A R ou ainda 3 2 1 3 4 ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x dx A R A R A R . Ou seja, a integral definida dada no item anterior representa uma diferença de áreas . Mais especificamente, é a área sob o gráfico de f e acima do eixo x ( 2( )A R ) menos a soma das áreas das regiões sobre o gráfico de f e abaixo do eixo x ( 1 3( ) ( )A R A R ). Como no item anterior vimos que esse valor é negativo, isto significa que a área da região 2R é menor que a soma das áreas das regiões 1R e 3R . Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a7 (c) A área total delimitada pelo gráfico da função f , pelo eixo x e as retas 4 x e 3x é dada por: 1 2 3( ) ( ) ( )TA A R A R A R O que, de acordo com (2), nos dá: 2 2 log 30 3 4 0 log 3 ( ) ( ) ( ) TA f x dx f x dx f x dx , ou seja , 2 2 log 30 3 4 0 log 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T I II III A f x dx f x dx f x dx (4) Cálculo de (I): No intervalo [ 4,0] , tem-se ( ) 2sen( ) 6 x f x , logo: 00 0 44 4 12 12 12 4 ( ) 2sen( ) cos( ) cos(0) cos( ) 6 6 6 12 12 1 18 .( ) 2 x x f x dx dx (5) Cálculo de (II): No intervalo 2[0,log 3] , tem-se 1 2 2sen( ), 0 1 ( ) 6 2 3.2 , 1 log 3 x x se x f x se x . Usando a proposição 2.2 do caderno didático e substituindo os valores correspondentes a cada intervalo da função, temos 2 2 2 2 2 log 3 log 3 log 31 1 1 0 0 1 0 1 1 log 3 1 0 1 1 log 3 2 ( ) ( ) ( ) 2sen( ) ( 2 3.2 ) 6 12 3 cos( ) 2 .2 6 ln 2 12 12 3 3 cos( ) cos(0) 2log 3 .2 2.1 6 ln 2 ln x x x f x dx f x dx f x dx dx dx x x 2 1 1 2 2log 3 2 .2 2 12 3 12 3 2 3 12 6 3 3 2 3 . 2log 3 . 2 2log 3 . 2 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 3 ln 2 12 6 3 1 2log 3 2 ln 2 (6) Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a8 Cálculo de (III): No intervalo 2[log 3,3] , tem-se 12 3.2 x , logo: 22 2 2 33 3 1 1 log 3log 3 log 3 1 log 31 3 2 2 2 3 ( ) ( 2 3.2 ) 2 .2 ln 2 3 3 2.3 .2 2log 3 .2 ln 2 ln 2 3 3 2 5 6 2log 3 . 6 2log 3 4ln 2 ln 2 3 4ln 2 x xf x dx dx x (7) Substituindo (5), (6), e (7) em (4) temos que: 2 2 2 18 12 6 3 1 5 2log 3 2 6 2log 3 ln 2 4ln 2 30 6 3 1 4log 3 8 4ln 2 T T A A Solução da 3ª Questão (a) Seja ( ) ( ) 4 x t a f t g x dt (1) Assim 4 ( ) 2 2 x x ag x . (2) Derivando ambos os lados da igualdade, tem-se: (4 ) ' '( ) (2 2 ) ' x x ag x Aplicando em (1), a 1ª forma do T.F.C. nos diz que ( ) '( ) 4 x f x g x . Comparando com a expressão anterior, obtemos 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 4 .ln 4 2 ln 2 2 .ln(2 ) 2 ln 2 4 2 ( ) ln 2(2 2.2 ) ( ) ln 2(2 2) 2 x x x x x x x x x x f x f x f x f x (3) Fazendo x a em (2), tem-se 2 1 0 ( ) 1 4 ( ) 2 2 4 2 2 2 2.2 2 2 1 4 3 a a a a a a a a a a t a f t g a dt a a a Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a9 (b) 2 2 2 2 2 2 0 2 2 sen sen 0 0 0 ( ) ( ) ( ) sen xx x x t t t t t x x H x e dt e dt e dt e dt e dt F x G x (*) em que ( ) ( )F x h sen x e ( ) (2 )G x h x , sendo 2 0 ( ) x th x e dt Denotemos 2 ( ) tf t e . Pelo TFC, '( ) ( )h x f x . Pela regra da cadeia: 2 '( ) '( ).( ) ' ( ).cos .cos sen xF x h sen x sen x f sen x x e x 24'( ) '(2 ).(2 ) ' (2 ).2 2 xG x h x x f x e Por (*), tem-se 2 2 2 24 0 4.0'( ) '( ) '( ) '( ) .cos 2 '(0) .cos0 2 1 2 1 '(0) 1 sen x x senH x F x G x H x e x e H e e H Solução da 4ª Questão a) Observa-se que os pontos dados na observação do enunciado são pontos da curva exponencial 2xy . De fato, 1 2 1 1 ( 1, ) : 1 2 2 2 (2,4) : 2 2 4 x y x y Esses pontos também estão, respectivamente, na reta 9 4 7 0x y e na parábola 2 5 10 y x x . De fato: 2 1 1 ( 1, ) : 9( 1) 4. 7 9 2 7 0 2 2 (2,4) : 2 5.2 10 4y As retas 4 23 0x y e 9 4 7 0x y intersectam-se no ponto ( 3,5) . A parábola 2 5 10 y x x intersecta a reta 4 23 0x y no ponto (1,6) . A região é esboçada na figura 4.1 a seguir. Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a1 0 Figura 4.1 b) Para representar a área da região R em termos de x , precisamos dividi-la em três sub-regiões , como mostra a figura 4.2 a seguir, além de expressar y como função de x . Na reta 9 4 7 0x y , isolando y fica 9 7 4 4 y x . Na reta 4 23 0x y , isolando y , fica 23 4 4 x y Figura 4.2 Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a1 1 2 31 1 1 2 2 3 1 1 ( ) ( )( ) 23 9 7 23 ( ) [( ) ( )] [( ) 2 )] [( 5 10) 2 ] 4 4 4 4 4 4 x x A R A RA R x x x A R dx dx x x dx c) Neste caso, verificamos que também é necessário dividir a região, como mostra a figura 4.3 a seguir . Figura 4.3 Na parábola 2 5 10 y x x , completando quadradoobtemos 2 2 25 25 25 5 155 10 2. 10 ( ) 2 4 4 2 4 y x x x x x portanto tem-se 5 15 2 4 x y . Como a parte da parábola que interessa é a que se localiza à esquerda da abscissa do vértice 5 ( ) 2 x , devemos considerar a expressão 5 15 2 4 x y . As outras funções são simples de se isolar a variável x e estão mostradas na figura 4.3. Temos portanto: 21 3 4 5 6 2 1/2 4 5 ( )( ) ( ) 4 7 5 15 4 7 5 15 ( ) [(log ) ( )] [( ) ( )] [( ) (4 23)] 9 9 2 4 9 9 2 4 A RA R A R y y A R y dy y dy y y dy d) Usando a expressão do item (b) , obtemos: Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a1 2 2 31 1 1 2 2 3 1 1 ( ) ( )( ) 1 1 2 2 3 2 3 1 5 15 23 ( ) ( ) [( ) 2 )] [( 5 10) 2 ] 2 2 4 4 5 15 23 2 5 2 10 4 2 8 4 ln 2 3 2 l x x A R A RA R x x x x A R dx dx x x dx x x x x x x x 2 1 n 2 5 15 45 45 1 23 2 1 23 1 8 4 1 5 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 10 20 ) ( 10 ) 4 2 4 2 8 4 ln 2 8 4 2ln 2 3 ln 2 3 2 ln 2 49 7 3 ln 4 ou seja, 49 7 ( ) u.a. 3 ln 4 A R Solução da 5ª Questão Uma reta passando pela origem com inclinação m tem equação dada por y mx . Um ponto de interseção da reta y mx com a curva 3 y x x tem a forma ( , )P a ma , como indicado na figura 5.1 a seguir. As regiões são também indicadas na figura. Figura 5.1 No ponto de interseção ( , )P a ma , tem-se 3 3 2 2( 1) 0 .( ( 1)) 0 0 1 1 ma a a a m a a a m a ou a m a m (*) Obs.: temos assim a restrição 1m Calculando a área da região R inteira (união de 1R e 2R ), obtemos: Cálculo II AD01 – Gabarito 2014/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a1 3 11 2 4 3 0 0 1 1 1 ( ) ( ) . . 2 4 2 4 4 x x A R x x dx u a (1) Calculando a área da região 1R , temos 3 3 1 0 0 (*) 4 2 2 2 2 10 ( ) (( ) ) ( (1 ) ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 4 2 4 2 4 a a a a m A R x x mx dx x m x dx x m x m m m (2) Assim, como se deseja que as áreas de 1R e 2R sejam as mesmas, segue de (1) e (2) que: 2 1 2 ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) . . 2 4 8 A R m A R A R u a 2 1 1 1(1 ) (1 ) 1 2 2 2 m m m . Pela restrição de que 1m , então 1 1 2 m
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