Modulo 2 a Introducao a Analise Estatistica Estatistica descritiva

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Professor
 Jorge Luiz A. Ferreira
Confiabilidade Estrutural
Introdução à Análise Estatística – Estatística Descritiva
Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós-graduação em Integridade Estrutural
1
Análise Estatística dos Experimentos
 Conjunto de Observações e o Planejamento de Experimentos são essenciais para indicar a estrutura sob o qual as hipóteses de interesse podem ser verificadas. 
Planejamento Experimental e Análise dos Resultados Estão Intrinsecamente Associados !!!!!!!!!!!!
FENÔMENO EM ESTUDO 
Excitação
Resposta
Fatores Controláveis
Fatores Não Controláveis
Observáveis e Não-Observáveis
Controle dos Fatores 
(quais e como escolhê-los ?)
Cuidado !!!!!!!
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2
O que é Estatística
A estatística é um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
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Proposta e Definição do Problema e Elaboração de hipóteses (A)
Observação (B)
Verificação das Hipóteses (C)
Conclusões (D)
Amostragem e Planejamento Experimental
Análise Descritiva e Exploratória dos Dados
Inferência Estatística
Recorrendo ao Diagrama de Etapas de Desenvolvimento de Pesquisas:
Análise Estatística dos Experimentos
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4
Análise Estatística dos Experimentos
O campo da estatística lida com a coleta, a apresentação, a análise e o uso dos
dados para tomar decisões, resolver problemas e planejar produtos e processos.
Devido a muitos aspectos da prática pesquisas científicas envolver o trabalho com dados, obviamente algum conhecimento de estatística é importante para qualquer pesquisador. 
Além disso, técnicas estatísticas podem ajudar muito no planejamento de novos produtos e sistemas, melhorando os projetos existentes e planejando, desenvolvendo e melhorando os pesquisas futuras.
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5
Conceitos Importantes
Método: é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja.
Método experimental: consiste em manter, ou admitir hipoteticamente, constantes todas as causas (fatores) que controlam um determinado fenômeno, menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam.
Método estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas.
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Conceitos Importantes
 População: É o conjunto de todos os valores que descrevem o comportamento de um fenômeno.
 Amostra: é um subconjunto de elementos pertencentes a uma população. A informação recolhida para uma amostra é depois generalizada a toda a população. Nem sempre as amostras refletem a estrutura da população de onde foram retiradas ou são representativas dessas populações, podendo levar nesses casos a inferências erradas ou ao enviesamento dos resultados.
 Amostragem: Técnica de pesquisa na qual um sistema preestabelecido de amostras é considerado idôneo para representar o universo pesquisado, com margem de erro aceitável.
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O que é Estatísticas
Áreas da Estatística
 Estatística Descritiva
 Probabilidade
 Inferência
Tem o objetivo de descrever e sumariar um conjunto de dados.
Compreende a coleta, a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas.
As técnicas usadas costumam classificar-se como:
1.Gráficos descritivos: São usados vários tipos de gráficos para sumarizar os dados. Por exemplo: Histogramas.
2.Descrição Tabular: Na qual se usam tabelas para sumarizar os dados. Por exemplo tabelas de Freqüências.
3.Descrição Paramétrica: Na qual estimam-se os valores de certos parâmetros, os quais assume-se que completam a descrição do conjunto dos dados. Por exemplo: Média.
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O que é Estatísticas
Área da Estatística
 Estatística Descritiva
 Probabilidade
 Inferência
É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso.
Representação de uma série de eventos futuros cuja ocorrência é definida por alguns fenômenos físicos aleatórios. Este conceito poder ser dividido em: 
 fenômenos físicos que são previsíveis através de informação suficiente e 
 fenômenos que são essencialmente imprevisíveis. 
 Um exemplo para o primeiro tipo é uma roleta, e um exemplo para o segundo tipo é um decaimento radioativo.
Probabilidade de freqüência ou Probabilidade Aleatória 
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O que é Estatísticas
Área da Estatística
 Estatística Descritiva
 Probabilidade
 Inferência
É utilizada para analisar situações que envolvem o acaso.
Representa nossas incertezas sobre proposições quando não se tem conhecimento completo das circunstâncias causativas. Tais proposições podem ser sobre eventos passados ou futuros. 
Exemplos de probabilidade epistemológica:
 designar uma probabilidade à proposição de que uma lei da Física proposta seja verdadeira, e 
 determinar o quão "provável" é que um suspeito cometeu um crime, baseado nas provas apresentadas.
Probabilidade epistemológica ou Probabilidade Bayesiana,
Thomas Bayes (beɪz) (1702 – 1761) 
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O que é Estatísticas
Probabilidade Clássica versus Bayesiana
Probabilidade Clássica ou Física: É a probabilidade verdadeira ou física de um evento ocorrer.
Ex: prob. de ao se lançar uma moeda cair a face cara é de 50%
Probabilidade Bayesiana ou Pessoal: É uma propriedade da pessoa que determina a probabilidade, atribuindo o grau de crença em um dado evento
Ex: grau de crença de que a moeda vai cair com a face cara
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O que é Estatísticas
Áreas da Estatística
 Estatística Descritiva
 Probabilidade
 Inferência
Coleta, redução, análise e interpretação de dados amostrais, com o objetivo de propor conclusões sobre uma população na qual os dados (amostra) foram obtidos.
As conclusões devem sempre vir acompanhadas de medidas de precisão sobre sua veracidade !!!
Baseia-se na regularidade estatística das freqüências relativas e sustenta que a probabilidade de um dado acontecimento pode ser medida observando a freqüência relativa do mesmo acontecimento, em uma sucessão numerosa de experiências idênticas e independentes. 
Exemplo: Considera-se que ao lançar uma moeda 1000 vezes, observa-se
que a face cara ocorre 650 vezes. Ou seja, uma probabilidade estimada de 65%. Conclui-se daí que a moeda é irregular (ou viciada) !
Inferência Frequentista (ou Clássica)
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Etapas da Análise Experimental/Estatística
Modelagem do Fenômeno em Estudo
 (Caracterização da População)
Obtenção de Amostra(s)
Levantamento de Informações na Amostra
Conclusões sobre Características específicas do Fenômeno em Estudo
Técnicas de Amostragem
Análise Descritiva
Inferência Estatística
Formulação de Novas Hipóteses
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Etapas da Análise Experimental/Estatística
Amostragem
 Conjunto de Técnicas que permitem o estudo de um pequeno grupo de elementos (amostra) retirado de uma população que se pretende conhecer.
 Técnica de pesquisa na qual um sistema preestabelecido de amostras é considerado idôneo para representar o universo pesquisado, com margem de erro aceitável.
Caracterização de atributos mensuráveis que tipicamente variam entre indivíduos
Variável
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Etapas da Análise Experimental/Estatística
Amostragem - Variáveis
 Em Estatística, variável é atribuição de um valor a cada característica da unidade experimental de uma amostra ou população.
Tipos de Variáveis:
 Variável Qualitativa ou Atributo: Quando uma característica ou variável é não-numérica.
Está ligada a qualidade do indivíduo pesquisado
 Variável Quantitativa: Quando a variável é expressa numericamente.
 Está ligada a contagem ou mensuração
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Etapas da Análise Experimental/Estatística
Amostragem - Variáveis
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Medidas Resumo
Pertencem ao grupo de ferramentas estatísticas que permitem caracterizar um conjunto de dados sob ponto de vista da tendência central ou da dispersão dos dados estudados
Medidas de Tendência Central
 Médias
 Aritmética
 Harmônica
 Geométrica
 Quadrática
 Ponderada
 Aparada (Trimmed)
 Mediana
 Moda
 Quartis
Medidas de Dispersão
 Amplitude, Faixa, ou Range
 Variância
 Desvio Padrão
 Coeficiente de Variação
 Distância Interquartílica
Medidas de Assimetria e Curtose
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Medidas de Tendência Central
Medidas Resumo
Como o próprio nome já diz, medidas de tendência central são aquelas cujo valor tende a localizar-se no centro de uma série de dados. 
Freqüentemente, quando se analisa os valores de uma variável em uma amostra, constata-se que os dados não se distribuem uniformemente, havendo concentração em alguns pontos, notadamente próximos ao centro da distribuição. 
Qual a posição que melhor representa o centro destes dados ?
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Medidas de Tendência Central e de Dispersão
 Valor Esperado – Expectância - Momento
Se x(t) ou xk = Resultados de uma medição
Medidas Resumo
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Medidas de Tendência Central – Média Aritmética
A Média Aritmética é o Valor Que Define o “ponto de equilíbrio” dos Dados de uma Distribuição.
Medidas Resumo
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 Medidas de Tendência Central – Média Aritmética
Cálculo exato: (da população)
Estimativa: (da amostra)
Medidas Resumo
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Medidas de Tendência Central – Média Geométrica
Média geométrica é a média dos elementos amostrais em relação à multiplicação. Sua estimativa é realizada por meio da seguinte expressão:
Medidas Resumo
Exercício: Aplicar a função log na expressão acima e análisar resultado
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 Medidas de Tendência Central – Mediana
A mediana é um número que caracteriza as observações de uma determinada variável de tal forma que a sua posição, em um grupo de dados ordenados, separe a metade inferior da amostra, população ou distribuição de probabilidade, da metade superior.
Esta medida também é conhecida como média posicional !
1
5
8
11
9
3
7
1
3
5
7
8
9
11
4
1
3
5
7
8
9
11
4
Medidas Resumo
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 Medidas de Tendência Central – Mediana
Estimadores da Mediana
1
5
8
11
9
3
7
1
3
5
7
8
9
11
4
1
3
5
7
8
9
11
4
Medidas Resumo
Dados não Agrupados
Pos = 4
Pos = 4,5
Dados Agrupados
Onde:
lsi - Limite Inferior da Classe Mediana
c – Intervalo de Classe
N - Tamanho da Amostra
fMd - freqüência absoluta da classe mediana
Fant - freqüência acumulada anterior à classe mediana
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Medidas de Tendência Central – Média Aparada
Uma média aparada, trimmed, não é mais do que uma “mistura” entre os conceitos de média e mediana por forma a combinar as qualidades de ambas. Podendo ser entendida também como uma média que é calculada excluindo uma certa proporção de observações em cada extremo da amostra.
Medidas Resumo
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 Medidas de Tendência Central – Moda
A moda é o valor que detém o maior número de observações, ou seja, o valor ou valores mais freqüentes. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana. 
É especialmente útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não ser bem definidas.
1
5
8
11
9
3
7
4
Não Possui Moda
1
4
8
11
9
3
7
4
Possui Moda Igual a 4
Medidas Resumo
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 Medidas de Tendência Central – Moda
Medidas Resumo
Estimadores da Moda
Dados não Agrupados
Dados Agrupados
Onde:
lsi = limite inferior da classe modal onde se localiza a moda
c - intervalo de classe
fmo- freqüência da classe modal
fant- freqüência anterior à classe modal
fpost - freqüência posterior à classe modal
= ponto médio da classe de maior freqüência
Moda de King
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 Medidas de Tendência Central – Moda
Medidas Resumo
Estimadores da Moda
Dados não Agrupados
Dados Agrupados
Onde:
lsi = limite inferior da classe modal onde se localiza a moda
c - intervalo de classe
fmo- freqüência da classe modal
fant- freqüência anterior à classe modal
fpost - freqüência posterior à classe modal
= ponto médio da classe de maior freqüência
Moda de Czuber
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 Média, Mediana, Moda – Aplicação
A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais,
A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos,
20
20
28
20
30
50
25
24
Medidas Resumo
A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal
21
22
20
24
25
Média = 25,2
Mediana = 24
Moda = 20
24
Idade dos Pessoal da Turma
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 Média, Mediana, Moda – Aplicação
A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais,
A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos,
Medidas Resumo
A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal
Média = 23,3
Mediana = 24
Moda = 20
20
20
28
20
30
25
24
21
22
20
24
25
24
Idade dos Pessoal da Turma
50
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 Média, Mediana, Moda – Aplicação
A média permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais,
A mediana também permite explicar muito bem o comportamento de resultados experimentais de fenômenos com eventos extremos,
Medidas Resumo
A moda é apropriada para representar o comportamento de dados ao nível nominal
Média = 38,2 ???
Mediana = 35,5
Moda = 39
Numeração dos calçados do Pessoal da Turma
38
39
44
39
36
37
36
39
35
37
40
36
40
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 Medidas Separatrizes – Quartis
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.
Medidas Resumo
3o quartil = quartil superior = valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados
1o quartil = quartil inferior = é o valor aos 25% da amostra ordenada 
2o quartil = mediana = é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada
As separatrizes são valores que dividem a distribuição em um certo número de partes iguais, como o objetivo de proporcionar uma melhor idéia da dispersão do conjunto
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 Medidas Separatrizes – Quartis
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população.
7
15
40
36
41
39
7
15
36
39
40
41
Medidas Resumo
Q1/4 = 7
Q3/4 = 40
Q2/4 = 37,5
Mediana = 
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 Medidas Separatrizes – Decil e Percentil
O Decil é responsável por dividir o conjunto em dez partes iguais.
Já o Percentil (ou centil), é a Medida que dividirá o conjunto em cem partes iguais
Medidas Resumo
Mediana
Quartil
Decil
Percentil
Medidas Separatrizes
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 Medidas de Dispersão
Medidas Resumo
Variação ou dispersão é o grau com que os dados numéricos tendem a se espalhar em torno de um valor médio. Ou seja, medidas de dispersão são indicadores do grau de variabilidade demonstrada pelos indivíduos em torno das medidas de tendência central.
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 Medidas de Dispersão - Amplitude
Medidas Resumo
É a Diferença entre o maior valor e o menor valor observado na Amostra
Amplitude =30
Amplitude = Max. – Min. = 30
20
20
28
20
30
50
25
24
21
22
20
24
25
24
Max. 
Min. 
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a = 0  E[(x-a)2] é o Desvio Médio Quadrático
a = x  E[(x-a)2] é a Variância.
^
 Medidas de Dispersão – Usando o Conceito de Expectância
Medidas Resumo
 Momento central do ordem r
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 Medidas de Dispersão – Desvio Padrão
Cálculo exato:
(da população)
Estimativa:
(da amostra)
xi 	i-ésima indicação
	média Amostral (Base da Estimativa: "n" indicações)
n	número de medições repetitivas efetuadas
mx Média Populacional
Medidas Resumo
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 Medidas de Dispersão – Desvio Padrão
Medidas Resumo
Desvio Padrão: É um valor que quantifica a dispersão dos eventos de uma determinada população, ou seja, a média das diferenças entre o valor de cada evento e a média central. 
A vantagem que apresenta sobre a variância é de permitir uma interpretação direta da variação do conjunto de dados, pois o desvio padrão é expresso na mesma unidade que a variável 
Apesar de ser a medida de dispersão mais usada, tal medida não tem uma interpretação intuitivamente óbvia.
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 Medidas de Dispersão – Desvio Padrão
Medidas Resumo
Desiqualdade de Chebyshev: “Para qualquer conjunto de dados e qualquer constante h > 1, no mínimo 1 – (1/ h2) dos dados estarão situados dentro de um intervalo formado por h desvios padrões abaixo e acima da média.”
Percentual de dados no interior do intervalo: 80%
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 Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação
Medidas Resumo
O coeficiente de variação de Pearson, cv, é uma medida relativa de variabilidade. É independente da unidade de medida utilizada. 
Estimador:
Karl Pearson
1857 - †1936  
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 Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação
Medidas Resumo
Por ser uma medida relativizada, o coeficiente de variação tem, portanto, aplicações na pesquisa para comparar a precisão de diferentes experimentos, quando a unidade de medição é diferente.
Karl Pearson
1857 - †1936  
Baixa dispersão: cv  15%
Média
dispersão: cv 15-30%
Alta dispersão: cv  30%
Dicas para tomada de decisão:
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 Medidas de Dispersão – Coeficiente de Variação
Medidas Resumo
 
 
 
Medidas Resumo
Lampada
(1)
(2)
Média
1004
9962
Desvio Padrão
103
449
C.V.
10.3%
4.5%
Aplicação: Comparação de dispersão de resultado de experimentos realizados com unidades de medição diferentes 
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 Medidas de Dispersão – Distância Interquartílica
Medidas Resumo
É a diferença entre o 3º e o 1º quartis, Q3 - Q1. Ou seja, no intervalo interquartílico concentra-se metade das observações mais centrais.
50%
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 Medidas de Assimetria e Curtose
Medidas Resumo
As medidas de assimetria e curtose complementam as medidas de posição e de dispersão no sentido de proporcionar uma descrição e compreensão mais completa das distribuições de freqüências.
Ampliando o conceito de Momento Estatístico:
São medidas de caráter mais geral e dão origem às demais medidas descritivas, como as de tendência central, dispersão, assimetria e curtose. Conforme a potência considerada tem-se a ordem ou o grau do
momento calculado.
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 Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos
Medidas Resumo
Momentos Simples ou Centrados na Origem, Mr
N = tamanho da amostra,
x = observação amostral, 
c = centro da classe da distribuição de freqüências de x
f = freqüência relativa
Nclas = número de Classes da distribuição de freqüências de x
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 Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos
Medidas Resumo
Momentos ou Centrados na Média, Mr
c = centro da classe da distribuição de freqüências de x
Nclas = número de Classes da distribuição de freqüências de x
r é um número inteiro positivo que define a ordem do momento
m2 = Variância
N = tamanho da amostra,
xi = i-ésima observação amostral, 
f = freqüência relativa
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 Medidas de Assimetria e Curtose - Momentos
Medidas Resumo
Momentos Abstratos, ar
s = Desvio Padrão
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 Medida de Assimetria – Coeficiente de Assimetria
Medidas Resumo
O coeficiente de assimetria quantifica o grau de desvio, afastamento da simetria ou grau de deformação de uma distribuição de freqüências.
Estimadores:
Coeficiente de Assimetria de Pearson
Se As < 0 a curva será assimétrica negativa
Se As > 0 a curva será assimétrica positiva
Se As = 0 a curva será simétrica
Coeficiente Momento de Assimetria
Se |3| < 0,2 a curva será simétrica
Se 0,2 < |3| < 1,0 a curva será assimétrica fraca
Se |3| > 1,0 a curva será assimetria forte.
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 Medida de Assimetria – Coeficiente de Assimetria
Medidas Resumo
Assimetria positiva	 Quase simetria	 Assimetria negativa
 Coef.ass. >0	 Coef.ass. ~ 0	 Coef.ass. <0
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50
 Medidas de Curtose ou de Achatamento
Medidas Resumo
Mostram até que ponto uma distribuição é a mais aguda ou a mais achatada do que uma curva normal, de altura média.
Classificação:
Mesocúrtica: É considerada a curva padrão.
Leptocúrtica: É uma curva mais alta do que a normal. Apresenta o topo relativamente alto, significando que os valores se acham mais agrupados em torno da moda.
Curva Platicúrtica: É uma curva mais baixa do que a normal. Apresenta o topo achatado, significando que várias classes apresentam freqüências quase iguais.
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Programa de Pós-graduação em Integridade Estrutural
51
Medidas Resumo
Mostram até que ponto uma distribuição é a mais aguda ou a mais achatada do que uma curva normal, de altura média.
Estimadores:
Coeficiente de Curtose
- K > 0.263  distribuição Platicúrtica;
- K = 0.263  distribuição Mesocúrtica;
- K < 0.263  distribuição Leptocúrtica;
Coeficiente Momento de Curtose
- a4 < 3  distribuição Platicúrtica;
- a4 = 3  distribuição Mesocúrtica;
- a4 > 3  distribuição Leptocúrtica;
 Medidas de Curtose ou de Achatamento
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52
Medidas Resumo
 Medidas de Assimetria e de Achatamento
Atenção 
Numa amostra é quase impossível observar simetria e curtose puras. Por isso os coeficientes de assimetria e de curtose assumem valores quase sempre diferentes de zero, 0,263 e 3. 
Para termos uma ideia se a assimetria ou curtose é relevante devemos comparar o valor dos coeficientes com o erro associado. 
Se o coeficiente não exceder 2 ou 3 vezes o erro, o seu valor não será muito relevante, especialmente quando queremos extrapolar para a população.	 	
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Exemplo - Para ilustrar o uso do gráfico de caixa, consideremos os dados apresentados na tabela abaixo, que representam leituras de durezas obtidas por tipos diferentes de tratamento térmico realizados durante a fabricação de uma determinada peça.
Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot
Visualização dos Dados
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Exemplo – Estatísticas descritivas
Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot
O que conseguimos Extrair do Gráfico e das Medidas Resumo ?
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Exemplo – Nova Representação Gráfica
Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot
O que conseguimos Extrair do Gráfico ?
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Exemplo – Nova Representação Gráfica
Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot
3o Quartil
1o Quartil

Máximo da Amostra, mas não mais do que Q1 + k∙(Q3-Q1)
Mínimo da Amostra, mas não menos do que Q1 - k∙(Q3-Q1)
Valor Típico de k = 1,5
2o Quartil - Mediana
Outliers ou Dados Discrepantes ou Dados espúrios
Condição de Assimetria
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Descritiva
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Exemplo – Nova Representação Gráfica
Estatística Descritiva
Tipos de Gráficos – Gráfico de Caixa – Boxplot
Assimetria positiva
Assimetria negativa
Simetria
Boxplot (Diagrama de Caixa) ou Box-whiskers (Diagrama de Bigode) – São gráficos que apresentam os valores centrais dos dados e alguma informação a respeito da amplitude deles. 
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58
Plan1
	20		36
	20		37
	20		38
	20		36
	21		39
	22		35
	24		36
	24		37
	24		40
	25		39
	25		44
	28		39
	30		40
	50		39	25.2		38.2
				24	mediana	38.5
				20		39
	
	
	
	
			7.7774681606
Plan2
	
Plan3
	
Plan1
	
	A	B	C		A	B	C						Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão		Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão
				A	220.20						81		1	81	11	99		1	81	11	99
				A	235.00						81		2	81	12	99		2	81	12	99
				A	238.30						83		3	83	13	100		3	83	13	100
				A	253.80						86		4	86	14	101		4	86	14	101
				A	254.90						88		5	88	15	104		5	88	15	104
				A	259.00						91		6	91	16	105		6	91	16	105
				A	266.70						94		7	94	17	107		7	94	17	107
				B	214.90						97		8	97	18	107		8	97	18	107
				B	225.60						97		9	97	19	107		9	97	19	107
				B	226.70						98		10	98	20	111		10	98	20	111
				B	227.80						99
				B	241.80						99
				B	244.60						100
				B	246.20						101
				C	203.30						104			96.80
				C	204.90						105			9.169
				C	216.70						107
				C	219.50						107		h	1.5
				C	222.80						107		Percentual	55.6%
				C	224.50						111		Lim Inf.	83.05
				C	270.00								Lim. Sup.	110.55
	
												'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
								Dureza Brinell, HB [Mpa]
								(1)	(2)	(3)
								220.2	214.9	203.3
								235.0	225.6	204.9
								238.3	226.7	216.7
								253.8	227.8	219.5
								254.9	241.8	222.8
								259.0	244.6	224.5
								266.7	246.2	270.0
	
	
	
	
							Média	246.8	232.5	223.1
							Mediana	253.8	227.8	219.5
							Moda	0	0	0
							Q1	236.65	226.15	210.8
							Q3	256.95	243.2	223.65
							Desvio Padrão	16.2198291342	11.7876246648	22.281756364
							Curtose	-0.5942711109	-1.4350269058	4.2623192693
							Assimetria	-0.585652784	-0.1378570543	1.8785984743
Plan2
	
Plan3
	
Plan1
	
	A	B	C		A	B	C						Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão		Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão
				A	220.20						81		1	81	11	99		1	81	11	99
				A	235.00						81		2	81	12	99		2	81	12	99
				A	238.30						83		3	83	13	100		3	83	13	100
				A	253.80						86		4	86	14	101		4	86	14	101
				A	254.90						88		5	88	15	104		5	88	15	104
				A	259.00						91		6	91	16	105		6	91	16	105
				A	266.70						94		7	94	17	107		7	94	17	107
				B	214.90						97		8	97	18	107		8	97	18	107
				B	225.60						97		9	97	19	107		9	97	19	107
				B	226.70						98		10	98	20	111		10	98	20	111
				B	227.80						99
				B	241.80						99
				B	244.60						100
				B	246.20						101
				C	203.30						104			96.80
				C	204.90						105			9.169
				C	216.70						107
				C	219.50						107		h	1.5
				C	222.80						107		Percentual	55.6%
				C	224.50						111		Lim Inf.	83.05
				C	270.00								Lim. Sup.	110.55
	
												'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
								Dureza Brinell, HB [Mpa]
								(1)	(2)	(3)
								220.2	214.9	203.3
								235.0	225.6	204.9
								238.3	226.7	216.7
								253.8	227.8	219.5
								254.9	241.8	222.8
								259.0	244.6	224.5
								266.7	246.2	270.0
	
	
	
	
							Média	246.8	232.5	223.1
							Mediana	253.8	227.8	219.5
							Moda	0	0	0
							Q1	236.65	226.15	210.8
							Q3	256.95	243.2	223.65
							Desvio Padrão	16.2198291342	11.7876246648	22.281756364
							Curtose	-0.5942711109	-1.4350269058	4.2623192693
							Assimetria	-0.585652784	-0.1378570543	1.8785984743
Plan2
	
Plan3
	
Plan1
	
	A	B	C		A	B	C						Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão		Espécime	Dimensão	Espécime	Dimensão
				A	220.20						81		1	81	11	99		1	81	11	99
				A	235.00						81		2	81	12	99		2	81	12	99
				A	238.30						83		3	83	13	100		3	83	13	100
				A	253.80						86		4	86	14	101		4	86	14	101
				A	254.90						88		5	88	15	104		5	88	15	104
				A	259.00						91		6	91	16	105		6	91	16	105
				A	266.70						94		7	94	17	107		7	94	17	107
				B	214.90						97		8	97	18	107		8	97	18	107
				B	225.60						97		9	97	19	107		9	97	19	107
				B	226.70						98		10	98	20	111		10	98	20	111
				B	227.80						99
				B	241.80						99
				B	244.60						100
				B	246.20						101
				C	203.30						104			96.80
				C	204.90						105			9.169
				C	216.70						107
				C	219.50						107		h	1.5
				C	222.80						107		Percentual	55.6%
				C	224.50						111		Lim Inf.	83.05
				C	270.00								Lim. Sup.	110.55
	
												'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''
								Dureza Brinell, HB [Mpa]
								(1)	(2)	(3)
								220.2	214.9	203.3
								235.0	225.6	204.9
								238.3	226.7	216.7
								253.8	227.8	219.5
								254.9	241.8	222.8
								259.0	244.6	224.5
								266.7	246.2	270.0
	
	
	
	
							Média	246.8	232.5	223.1
							Mediana	253.8	227.8	219.5
							Moda	0	0	0
							Q1	236.65	226.15	210.8
							Q3	256.95	243.2	223.65
							Desvio Padrão	16.2198291342	11.7876246648	22.281756364
							Curtose	-0.5942711109	-1.4350269058	4.2623192693
							Assimetria	-0.585652784	-0.1378570543	1.8785984743
Plan2
	
Plan3
	
Plan1
	A	B	C		A	B	C
				A	220.20
				A	235.00
				A	238.30
				A	253.80
				A	254.90
				A	259.00
				A	266.70
				B	214.90
				B	225.60
				B	226.70
				B	227.80
				B	241.80
				B	244.60
				B	246.20
				C	203.30
				C	204.90
				C	216.70
				C	219.50
				C	222.80
				C	224.50
				C	270.00
	
	
								Dureza Brinell, HB [Mpa]
								(1)	(2)	(3)
								220.2	214.9	203.3
								235.0	225.6	204.9
								238.3	226.7	216.7
								253.8	227.8	219.5
								254.9	241.8	222.8
								259.0	244.6	224.5
								266.7	246.2	270.0
Plan2
	
Plan3