aula 11 - exercicio

Prévia do material em texto

Máximos e Mínimos 
 
1. Classifique os pontos críticos de f(x, y) = x2 + y2 + x2 y + 4. 
 
Rpta. 
Ptos. Críticos fxx D Tipo Valor 
(0,0) 2 4 mínimo 4 
( 2 ,-1) 0 -8 sela 
( 2− ,-1) 0 -8 sela 
 
 
2. Classifique os pontos críticos de f(x, y) = x4 + y4 -2(x-y)2. 
 
Rpta. 
Ptos. Críticos fxx D Tipo Valor 
(0,0) <0 0 nada pode ser dito 
( 2 , 2− ) >0 >0 mín. -8 
( 2− , 2 ) >0 >0 min. -8 
 
 
3. Classifique os pontos críticos de 
 
Rpta. 
Ptos. Críticos fxx D Tipo Valor 
 
 
 
 
 
 
 
4. Determine os pontos extremos de f(x,y,z)=x2+y2+z2 tais que 3x-2y+z-4=0 
 
Rpta. )
7
2
,
7
4
,
7
6( − 
 
 
5. Determine os pontos extremos de zyxzyxf =),,( tais que 1
312
22
2
=++
zy
x 
Rpta. 
 
 
 
6. De todos os paralepípedos retangulares cuja soma de arestas é constante e igual a a4 
( 0>a ), qual é o que tem volume máximo? 
 
Rpta.
27
)
3
,
3
,
3
(
3aaaaV = 
 
 
 
Integrais Duplas 
 
1, Calcular ∫ ∫
+
3ln
0
2ln
0
dydxe yx 
Rpta. 2 
 
 
2. Calcule ∫∫ −
R
dAyx )2( 2 na região triangular R compreendida pelas retas y=-x+1, y=x+1 e y=3. 
Rpta. -68/3 
 
3. 
Rpta. 189/10 
 
 
4. Usando integração dupla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x2+y2=4 e os 
planos y+z=4 e z=0. 
Rpta. 16 Pi 
 
5. Usando integração dupla calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x2+y2=9 e os 
planos z=0 e z=3-x. 
Rpta. 27 Pi 
 
6. Usando integração dupla calcular o volume do sólido comum aos cilindros x2+y2=25 e 
planos x2+z2=25 
Rpta. 2000/3 
 
7. Use uma integral dupla para calcular a área da região R compreendida pela parábola 
y=x2/2 e a reta y=2x 
Rpta. 16/3 
 
8. Calcule a área da região limitada pelas curvas y=x2 e y=4x-x2. 
Rpta. 8/3 
 
 
9. Usando integração dupla e coordenas polares calcular a área do círculo x2+y2=R2. 
 
Rpta 2Rpi 
Integrais Triplas 
 
1. 
 
Rpta. -8 
 
 
2. Calcule o volume do sólido compreendido entre os paraboloides z=5x2+5y2 e z=6-7x2-y2 
Rpta. 
 
 
 
3. Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z+x2=9e inferiormente por z+y=4, 
tal que y=0 e y=4. 
Rpta. 
 
 
4. 
 
 
Rpta. 
 
 
 
5. 
 
Rpta. Pi a2b 
 
 
6. 
 
 
 
 
Rpta. 
 
 
7. 
 
Rpta. 16 Pi 
 
 
8. 
 
 
Rpta. )1(
3
4
−epi 
 
9. 
 
 
 
 
 
Rpta. 64 Pi/9 
 
Solução 
 
 
10. 
 
 
Rpta. Pi/3