Atividades Cálculo IV

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CÁLCULO IV
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	CEL1408_A1_202002379481_V1
	
	
	
	
		Aluno: 
	Matr.: 
	Disc.: CÁLCULO IV 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
	
	
	
	8
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(-e + e -1) (pi2/8)
	
	
	zero
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
	
	
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
	
	
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
		1.
		Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	35
	
	
	40
	
	
	49
	
	
	48
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz
	
	
	
	-7/4
	
	
	27/4
	
	
	4/27
	
	
	-27/4
	
	
	7/4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
	
	
	
	23/35
	
	
	1/3
	
	
	45
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	216/35
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou seja, eu onde  u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e  0<= y <= x
	
	
	
	 (e−1)2(e−1)2
	
	
	e - 1
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	e
	
	
	1/2
	
Explicação:
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de  y temos  ∫10xex2dx∫01xex2dx
chame u = x2  e du = 2x dx
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
	
	
	
	3π53π5
	
	
	2 ππ
	
	
	​2π32π3​
	
	
	8π8π
	
	
	​7π37π3​
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
	
	
	
	9 u.v
	
	
	4 u.v
	
	
	5 u.v
	
	
	1 u.v
	
	
	10 u.v
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
	
	
	
	56
	
	
	36
	
	
	30
	
	
	22
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz.
	
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	1.5
	
	
	2
	
	
	2.5
		1.
		Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	
	
	105
	
	
	120
	
	
	115
	
	
	125
	
	
	110
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
	
	
	
	Volume 2 u.v
	
	
	Volume 3 u.v
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	Volume 1/3 u.v
	
	
	Volume 4 u.v
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
	
	
	
	2/3
	
	
	3
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	1/3
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
	
	
	
	-27/4
	
	
	27/4
	
	
	-7/4
	
	
	4/27
	
	
	7/4
	
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
	
	
	
	(2, pi/2; 1)
	
	
	(2, pi/2; 2)
	
	
	(1, pi/2; -2)
	
	
	(1, pi/2; 2)
	
	
	(1, 3pi/2; 2)
		1.
		Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z  e  ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] .
	
	
	
	√55
	
	
	4√343
	
	
	2√323
	
	
	3√232
	
	
	√33
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
	
	
	
	7
	
	
	3/5
	
	
	7/3
	
	
	4/7
	
	
	2/5
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy
	
	
	
	11
	
	
	10
	
	
	5/4
	
	
	5
	
	
	2/5
		1.
		Calcule a integral dupla:
∫42∫24∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx
	
	
	
	70/13
	
	
	70/9
	
	
	70/11
	
	
	70/15
	
	
	70/3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
	
	
	
	17(u.v.)
	
	
	8(u.v.)
	
	
	21(u.v.)
	
	
	15(u.v.)
	
	
	2(u.v.)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→   para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
 ponto apenas uma vez.
	
	
	
	150π150π
	
	
	70π70π
	
	
	180π180π
	
	
	90π90π
	
	
	160π160π
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4
com o plano x = y.
	
	
	
	10
	
	
	0
	
	
	√88
	
	
	√66
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos
R= [0,1]x[0,3].
	
	
	
	1/2(e-1)
	
	
	-1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	
	(e-1)(e6e6-1)
	
	
	1/2(e6e6-1)
	
	
	1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	- cos 64
	
	
	cos 64
	
	
	(cos 64 + 1):3
	
	
	(- cos 64 +1):3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		    
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS  onde C é uma semicircunferência
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo.  
	
	
	
	25
	
	
	18
	
	
	10
	
	
	36
	
	
	45
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx.
Considerar F(x, y, z) = 1.
	
	
	
	1/6
	
	
	1/2
	
	
	5/6
	
	
	2/3
	
	
	7/6
		1.
		Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine  a equação do plano tangente a S em j (0,1).
	
	
	
	z = 2
	
	
	5x + 4 = 0
	
	
	2x + z - 2 = 0
	
	
	3z + x = 1
	
	
	3x + 5z = 1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	9/2 u.v
	
	
	18 u.v
	
	
	10 u.v
	
	
	16/3 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td="">
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
	
	
	
	1/2
	
	
	3/5
	
	
	3
	
	
	5/4
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1).
	
	
	
	O vetor normal será (0,0,0)
	
	
	O vetor normal será (-2,3,-1)
	
	
	O vetor normal será (-2,0,-1)
	
	
	O vetor normal será (0,0,-1)
	
	
	O vetor normal será (2,0,1)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar:
	
	
	
	2πr
	
	
	πr²
	
	
	2πr²
	
	
	πr
	
	
	π²r
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
	
	
	
	0
	
	
	`pi+senx
	
	
	`2pi
	
	
	`cos(2pi)-sen(pi)
	
	
	`pi
		1.
		Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	pi/96
	
	
	7 pi /96
	
	
	7/96
	
	
	7pi
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
	
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
	
	
	
	2π22π2
	
	
	2π2π
	
	
	π2π2
	
	
	3π23π2
	
	
	2π32π3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
	
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 2)
	
	
	(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; -1)
	
	
	(sqrt(3);pi/4 ; 1)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
	
	
	
	e - 1/e
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	-1/e
	
	
	3 e - 1/e
	
	
	(3/4) ( e - 1/e)
		1.
		Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
	
	
	
	12
	
	
	14
	
	
	20
	
	
	10
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
	
	
	
	22ph
	
	
	8p a2h
	
	
	8 p ah
	
	
	2p a2h
	
	
	p a2h
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	2-2z
	
	
	1-z
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2.
	
	
	
	M = ππ u.m
	
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m
	
	
	M = [ ππ]/4 u.m
	
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4  u.m
	
	
	M = 3 ππ u.m.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
	
	
	
	-1/2
	
	
	9
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	24
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro
( x - 1)2 + y2 = 1.  Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy.
 
	
	
	
	√22 u.m.
	
	
	2π u.m.
	
	
	k u.m.
	
	
	k√3k3 u.m.
	
	
	k√2k2ππu.m.
		1.
		Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
	
	
	
	4pi
	
	
	8pi
	
	
	9pi
	
	
	16pi
	
	
	64pi
	
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas  y = 2x2  e  y = 1 + x 2.
	
	
	
	32/25
	
	
	1/3
	
	
	32/15
	
	
	36
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx
	
	
	
	54
	
	
	18
	
	
	24
	
	
	10
	
	
	32
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima,
	
	
	
	5/2
	
	
	3/2
	
	
	5
	
	
	16
	
	
	20
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
	
	
	
	pi
	
	
	2 pi
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	pi/4
	
	
	pi / 5
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2,zz + y2)
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
	
	
	
	12
	
	
	22
	
	
	8√585
	
	
	16
	
	
	10
		1.
		Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS
	
	
	
	6 ππ
	
	
	5/2 ππ
	
	
	ππ
	
	
	2ππ
	
	
	3 ππ/2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
	
	
	
	2p a3
	
	
	5p a3
	
	
	3/5 p a3
	
	
	4p a3
	
	
	3 a3p
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
	
	
	
	2π2π
	
	
	3π3π
	
	
	25π25π
	
	
	43π43π
	
	
	23π