METODO DOS DESLOCAMENTOS

Prévia do material em texto

Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
1 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS (MÉTODO DA RIGIDEZ) 
 
1. Considerações Iniciais 
 
Método de análise estrutural bastante aplicado no caso de estruturas grandes e 
complexas. Estas estruturas exigem a solução de um grande número de equações, sendo 
necessária para a sua solução a utilização de computadores. Pode-se fazer uso do 
método dos deslocamentos também para a solução de estruturas isostáticas. 
Comparativamente, a formulação matemática do método dos deslocamentos é 
muito semelhante à do método das forças, decorrendo daí, quando da análise de 
problemas, qual dos dois se torna mais proveitoso. 
Em linhas gerais, podem-se resumir os métodos das forças e dos deslocamentos 
para aplicação a estruturas hiperestáticas como: 
 Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços para, a 
partir deles, obter as deformações, impondo como incógnitas os esforços em 
vínculos. 
 Método dos deslocamentos: A solução se dá pela determinação das deformações 
sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter 
os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Estruturas hiperestáticas são 
resolvidas impondo como incógnitas os deslocamentos em nós rígidos. 
O esquema de solução por ambos os métodos recai sobre um sistema de equações 
lineares (de ordem n, a depender do número de vínculos que precisem ser extraídos ou 
deslocamentos a serem impedidos), sendo para isto mais recomendado a sua solução de 
forma computacional. 
Para o entendimento da sistemática do método dos deslocamentos é necessário o 
conhecimento de indeterminação cinemática e rigidez, apresentado a seguir. 
 
1.1 Indeterminação Cinemática e Rigidez 
 
Denota-se por indeterminação cinemática o número de restrições (vínculos) 
necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura, ou seja, representa o 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
2 
 
número de graus de liberdade da estrutura independentes. Grau de liberdade representa 
as possibilidades de movimento de um dado nó da estrutura. 
Para exemplificar esta situação, observe as figuras 1 e 2. Na figura 1 é 
apresentada as possibilidades de translação e rotação dos nós de uma viga. 
 
 
Figura 1: Exemplo de deslocabilidade de uma viga. 
 
A figura 2 apresenta, em idéia, o esquema de solução pelo método dos 
deslocamentos, denotando todas as deslocabilidades dos nós da estrutura aporticada 
mostrada. 
 
 
Figura 2: Exemplo de deslocabilidade de um pórtico. 
 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
3 
Tendo em vista que o método exige a determinação de deslocabilidades, esta podem 
ser definidas de duas formas: 
 Deslocabilidade interna: é igual ao número de rotações de nós que precisamos 
conhecer para poder resolvê-la, isto é, número de nós internos rígidos que ela possui 
(para estruturas planas e não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, 
evidentemente os nós rotulados). 
 Deslocabilidade externa: é igual ao número de apoios do 1º gênero que a estrutura 
precisa receber para que todos os seus nós fiquem sem deslocamentos lineares. 
É usual chamar às estruturas que possuem deslocabilidades externas de estruturas 
deslocáveis, e aquelas que não as possuem (mesmo tendo deslocabilidades internas) de 
estruturas indeslocáveis. 
Semelhante ao método das forças, a solução pelo método dos deslocamentos se dá 
com a consideração de deslocamentos ou rotações unitárias, cujas ações resultantes serão 
forças ou momentos, valores estes conhecidos como rigidezes ou coeficientes de influência 
de rigidez. É necessário o conhecimento da rigidez de cada membro da estrutura, chamadas 
de rigidez de membro. 
Os valores das rigidezes de barras de pórtico estão apresentadas na tabela 1, 2 e 3 e 
na figura 3: 
 
Figura 3: Rigidezes de barras para diversas condições de contorno. 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
4 
 
2. Descrição do método 
 
Pode-se descrever o método dos deslocamentos através dos passos mostrados a seguir: 
 Determina-se o grau de indeterminação cinemática e, em seguida, são 
introduzidas forças de restrição (em número igual ao grau de indeterminação 
cinemática) que impedem os deslocamentos dos nós (as forças são do mesmo 
tipo, sentido e direção dos deslocamentos impedidos). 
 Calculam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos extremos 
das barras convergentes nos nós (um a um). Tais forças devem impedir os 
deslocamentos para qualquer tipo de ação externa quer sejam cargas, variações 
de temperatura, esforços prévios, etc.). Estas ações podem ser consideradas 
separadamente ou em conjunto. 
 Considera-se, a depender da indeterminação cinemática, o número de estados 
correspondentes as seguintes situações: sistema principal (E0), onde os esforços 
são determinados com as restrições impedidas; sistemas Ei, obtidos com a 
consideração do sistema principal quando se impõe a condição de deslocamento 
ou rotação unitário para um dos deslocamentos impedidos. 
 Os deslocamentos necessários para eliminar as forças de restrição são 
determinados aplicando a sobreposição dos efeitos para os diversos 
deslocamentos impostos e igualando às forças de restrição. 
 Os esforços na estrutura original são obtidos adicionando aos esforços na 
estrutura restringida os esforços originados pelos deslocamentos determinados 
nos itens anteriores. 
Para a determinação dos esforços com a sobreposição dos efeitos, é necessária a 
solução de um sistema de equações lineares apresentado na equação 1, para o caso de dois 
deslocamentos impedidos e exemplificado na figura 4. 





22221212
12121111
Fdkdkf
Fdkdkf
 (1) 
 A equação 1 pode ser reescrita como a equação 2: 


























2
1
2
1
2
1
2221
1211
f
f
F
F
d
d
kk
kk
 (2) 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
5 
onde k é a matriz de rigidez (coeficientes kij), d é vetor dos deslocamentos nodais a serem 
determinados, F é o vetor das forças externas aplicados diretamente sobre os deslocamentos 
di, e f é o vetor das forças reativas nas restrições que foram introduzidas. 
Uma vez determinado o vetor d, pode-se determinar os esforços e demais 
deslocamentos na estrutura original podem ser determinados pela combinação linear, dado 
na equação 3: 

i
ii EdEE 0 (3) 
 
Figura 4: Determinação dos coeficientes de rigidez kij. 
 
2.1 Exemplos: 
1) Considere a viga contínua mostrada na Figura 6.11. O valor da rigidez à flexão da 
viga é EI = 1,2 x 104 kNm2. O valor da carga uniformemente distribuída é q = 12 
kN/m. 
 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
6 
 
 
2) Considere o pórtico mostrado na Figura 6.20. As duas barras têm o mesmo material 
com módulo de elasticidade E e têm a mesma seção transversal, cuja relação entre 
área A e momento de inércia I é dada por A/I = 2 m-2. O objetivo do exemplo é a 
determinação do diagrama de momentos fletores. 
 
 
 
3) Determine o diagrama de esforços internos do pórtico mostrado na figura abaixo, 
onde I = 0.03 m4 e E = 2.107 kN/m2, de acordo com o sistema principal mostrado. 
 
 
 
 
 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
7 
 
Tabela 1: Ações de engastamento perfeito em barra biengastada. 
 
Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF 
 
8 
 
Tabela 2: Ações de engastamento perfeito em barra engastada – articulada.