Apoio aulas MATEMÁTICA sucessões

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Apoio às aulas MAT II 18-05-2016
2015/2016 1
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO 
DE LISBOA
LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA II
APOIO ÀS AULAS DE 
SUCESSÕES
2015/2016
Manuel Martins Carla Martinho Ana Jorge 1
18-05-2016 2
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C
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SÕ
ES
Define-se sucessão de números reais a toda a aplicação de IN em ℝ. 
Aos elementos do contradomínio chamam-se termos da sucessão.
Uma sucessão pode ser descrita pelos seus termos (descrição
impossível pela infinidade de termos) ou por um termo genérico �� a
que se dá o nome de termo geral da sucessão.
Exemplo:
Definições
1 2 1
1 1 1 1
1
2 1
n n nu u ,u ,...,u ,u ,...
n n n
+= → = = = = +
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Uma sucessão diz-se limitada quando:
∀� ∈ ℝ, ∃ � ∈ ℝ: �� < �
M designa-se como majorante dos termos da sucessão;
Se M é um termo da sucessão, designa-se máximo dos termos da
sucessão.
Exemplo:
A sucessão −1 � ×
���
�
é limitada pois
−1 � ×
� + 2
�
= 1 +
2
�
≤ 3, ∀ � ∈ ℕ
Sucessões Limitadas
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Monotonia
• Uma sucessão diz-se monótona crescente se
���� ��� � � ∀ �∈ ℕ 
• Uma sucessão diz-se monótona decrescente se
���� ��� � � ∀ �∈ ℕ 
• Uma sucessão diz-se estritamente crescente se
���� ��� � ∀ �∈ ℕ 
• Uma sucessão diz-se estritamente decrescente se
���� ��� ! � ∀ �∈ ℕ 
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FU
N
Ç
Õ
ES
 D
E 
M
A
IS
 D
E 
U
M
A
 V
A
R
IÁ
V
EL
 R
EA
L Monotonia
Exemplo 1: Verifique que é monótona a sucessão
Logo sucessão é estritamente decrescente
n
n
nu
12 +=
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
1
1
2 2
1
2 1 12 1 2 3
 
1 1
2 3 2 1 12 3 2 1
1 1
2 3 2 2 1 1
0
1 1
n n
n n
n n
nn n
u u
n n n
n n n nn n
u u
n n n n
n n n n n
u u
n n n n
+
+
+
+ ++ +
= = =
+ +
+ − + ++ +
− = − = =
+ +
+ − − − − −
= = < ⇒ <
+ +
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Monotonia
Exemplo 2- A sucessão
Não é monótona porque:
"# =
−#
#
= −#; "% =
#
&
; "' =
−#
(
"# < "% )*+ "% > "'
( )
2
1
n
nu
n
−
=
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Limites
Diz-se que a é limite da sucessão quando n tende para infinito, se
Exemplo: Mostre por definição que
ou seja, para todo o d existe uma ordem, maior ou igual a ���-
.-
a partir do
qual se verifica a condição, ou seja, todos os termos da sucessão estão
próximo de ½.
δδ <−⇒≥∈∃>∀=
+∞→
aupn:INp,seuLima nn
n
0
2
1
12
=
+n
n
Lim
n
( )
( )
δ
δ
δδ
δδδ
δδ
4
21
2
1
4
1
24
24
1
122
122
2
1
12
2
1
12
0
2
1
12
−
>⇔−>⇔>+⇔
⇔<
+
⇔<
+
+−
⇔<−
+
<−
+
⇒≥∈∃>∀⇒=
+
nnn
nn
nn
n
n
n
n
pn:INp,
n
n
Lim
n
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Limites
A sucessão designa-se como um infinitésimo ou quantidade
evanescente quando o limite da sucessão é 0
Exemplo: Mostre que
ou seja, para todo o / existe uma ordem a partir do qual todos os termos
da sucessão estão próximo de 0.
δδ <⇒≥∈∃>∀= nn
n
upn:INp,seuLim 00
0
1
=
n
Lim
n
1
0
1 1 1
, p IN : n p
n
n
n n
δ δ
δ δ
δ
∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ <
< ⇔ < ⇔ >
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Limites
A sucessão designa-se como um infinitamente grande quando
o limite da sucessão é ∞, ou seja,
δ
δ
1
0 >⇒≥∈∃>∀=∞ nn
n
upn:INp,seuLim
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Limites
Alguns limites conhecidos (ditos limites notáveis):
Exemplo: Calcule
k
U
n
U
e
U
k
Lim
n
n
=





+
+∞→
1 1
1
0
=




 −
→
n
U
U U
e
Lim
n
n
( )
1
1
0
=




 +
→
n
n
U U
Uln
Lim
n
n
n n
n
Lim
2
3
1






−
+
( ) 824
2
3
4
2
33
2
33
2
22
4
1
3
4
1
3
4
1
3
4
1
3
4
3
3
3
43
3
1
eee
nn
Lim
n
Lim
nn
n
Lim
n
n
Lim
n
n
Lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
==













∞
+=
=













−
+





−
+=













−
+=
=













−
+
−
−
=





−
+−
=





−
+
−+−
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Limites
Teorema da unicidade do limite
O limite de uma sucessão, quando existe, é único.
Demostração:
Fazendo a demonstração por redução ao absurdo, admita-se que sucessão �� tem
dois limites diferentes a e b
Seja |a – b| > / e seja e = //2 . Por definição, existe uma ordem p a partir da qual:
Então,
logo / < /, absurdo, permitindo concluir que a premissa inicial não é válida, ou
seja, a sucessão não pode ter dois limites diferentes.
Seja Un uma sucessão de termos de IR. Diz-se que uma sucessão vm é uma
subsucessão de elementos de un quando todos os elementos de vm são também
elementos de un. Uma sucessão pode ter diferentes subsucessões com limites
diferentes
( ) ( )εε <−∧<− buau nn
δ
δδ
εεδ =+<+<−+−≤−+−=−=
22
buuabuuaba nnnn
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Uma sucessão diz-se convergente se tem limite finito (nestas
condições, todos os limites das diversas subsucessões são iguais).
Uma sucessão diz-se divergente se não tem limite ou tem limite
infinito.
Teorema: Toda a sucessão monótona e limitada é convergente
Teorema: Toda a sucessão convergente é limitada.
Limites
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Álgebra de Limites
Sejam �� e 0� sucessões convergentes, então:
1)
2)
3)
4)
( ) ( ) ( )n
n
n
n
nn
n
vLimuLimvuLim +=+
( ) ( ) ( )n
n
n
n
nn
n
vLimuLimvuLim ×=×
( )
( )
 s e 0 e 0
n
n n
n n
n
n n
n
L im uu
L im , v l im v
v L im v
 
= ≠ ≠ 
 
( ) ( )( ) ( ) 
se 0 e e não são ambos nulos
n
n
n
Lim v
v
n n
n n
n n n
Lim u Lim u ,
u limu limv
=
>
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Cálculo de Limites
Exemplo: Calcule nnLim
n
−+1
1 1 indeterminação
n n n
Lim n n Lim n Lim n ,+ − = + − = ∞−∞
[ ] ( )( )( )
( )
( ) ( ) 0
1
1
1
1
1
 
1
11
1
=
∞
=
++
=
++
−+
=
=
++
++−+
=−+
nn
Lim
nn
nn
Lim
nn
nnnn
LimnnLim
nn
nn
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Teorema das sucessões enquadradas
Seja ��, 0� e 1� sucessões tais que:
i. Lim v6 = lim w6 = a
ii. Existe uma ordem p a partir da qual, 0� ≤ �� ≤ 1�
Então, �� diz-se sucessão enquadrada e lim �� = :.
Exemplo: Calcule
( )
3
12753
n
n...
Lim
n
−++++
Para enquadrar a expressão é necessário contar o número de parcelas
no numerador. Como as parcelas andam de 2 em dois, a contagem faz-
se do seguinte modo:
( ) ( ) 1121
2
42
1
2
312
12753 −=+−=+
−
=+
−−
=−++++ nn
nn
n...
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Teorema das sucessões enquadradas
Exemplo (continuação):
agora é possível enquadrar entre o menor e o maior valor vezes o número 
de parcelas, calculando depois o limite de cadauma
Pelo Teorema das Sucessões enquadradas o limite é igual a 
( ) ( ) ( ) ( )
333
1211275331
n
nn
n
n...
n
n −×−
≤
−++++
≤
×−
( )
( )( )
0
1
0
1
132121
0
1
0
1
3331
32
32
3
3
33
132
3
2
3
3333
33
==
+−
=
+−
=
−−
==
−
=
−
=
−
=
×−
nnn
nnn
nn
n
n
n
nn
n
nnn
Lim
n
nn
Lim
n
nn
Lim
LimLim
n
n
Lim
n
n
Lim
( )
0
12753
3
=
−++++
n
n...
Lim
n
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 1 Se ���� − �� → : então 
��
�
→ :.
Exemplo 1 : Calcule
n
...
Lim n
n
1
3
1
2
11 ++++
( ) ( )
( )
1 1 1 11 1 1
1 2 3 12 3
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
1 1 1
2 31
1 1
11
1 1
1
0 0
n n nn n
n n n n n n
n
n n n
n n n
u u ......
u u ... ...
...
Lim u u Lim Lim
n
+ +
+ + +
+ +
→ = + + + + += + + + +
− = + + + + − + + + =
+ + + +
− = = ⇒ =
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Exemplo 2 – Calcule
Como , então
( )[ ]!nln
n
Lim
n 23 +
( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( )
=





+
+
=+−+=−
+=++=⇒+=
+
!23
!53
ln!23ln!53ln
!53ln!213ln!23ln
1
n
n
LimnnLimuuLim
nnunu
nn
nn
n
nn
( )
( )
( )( )( )( )
( )
( )( )( )( ) +∞=+++=
=





+
++++
=





+
+
=
334353ln 
!23
!23334353
ln
!23
!53
ln
nnnLim
n
nnnn
Lim
n
n
Lim
n
nn
( )[ ]
+∞=
+
n
!nln
Lim
n
23
( )[ ] ( )[ ] 0
1
23
1
23
=
∞+
=
+
=
+
n
!nln
Lim
!nln
n
Lim
nn
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 2:
Se �� → : então
�<��=�,,,� ��
�
→ :.
Exemplo : Calcule
n
...
Lim n
n
1
3
1
2
11 ++++
( )
1 1
1 2 2
1 1 1
2 3
1 então 
1
0 logo
1
0
n n
n
n n
n
n
u ,u ,...,u
Lim u Lim ,
n
...
Lim
n
= = =
= =
+ + + +
=
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 3:
Se ∀ � ∈ ℕ, �� > 0 ? 
��@<
��
→ : ?�AãC ��
� → :
n
n
n
n
Lim
3
3
Exemplo : Calcule
( )
( ) ( )
3
11
33
3
3
13
3
1
3
3
31
3
3
3
1
1
1
3
1
3
3
1
3
=




 +
×
=
+
==
+
=⇒=
+
+
+
++
+
n
n
Lim
n
n
LimLim
u
u
Lim
n
u
n
u
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 4:
Se ∀ D ∈ ℕ, "D > E F "D → * FDGãH "# × "% × ⋯ × "D
D → *
Exemplo : Calcule n
n n
n
...Lim
14
3
3
2
2
1
+
××××
( ) 1...1
1
1
1
1
,...,,
13
2
2
1
13
2
22
1
1
=×××⇒=



+
−=
+
=⇒
⇒===
+
+
n
n
n
nnn
n
n
n
n
n
Lim
n
Lim
n
n
LimuLim
uuu
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Teorema 5:
Se ∀ � ∈ ℕ, 0� → ∞ ? é LM?NL?�A? ? 
��@<���
O�@<�O�
→ : ?�AãC 
��
O�
→ :
Exemplo : Calcule
Aplicando novamente o teorema
Então o limite
n
n
n
Lim
2
2
2n → ∞ e é crescente
( )
( )
( ) nnnnnnnnn
nn
n
n
n
n
nnn
n
Lim
nnn
Lim
nn
Lim
vv
uu
Lim
vv;nunu
2
12
122
12
22
1
221
22
1
22
1
1
1
1
2
1
2
+
=
−
−++
=
−
−+
=
−
−
=⇒=+=⇒=
+
+
+
+
++
( )
( )
0
2
2
122
2
22
1232
223212
1
1
1
1
11
==
−
=
−
+−+
=
−
−
=⇒=+=⇒+=
+
+
+
+
++
nn
n
n
nnn
nn
nn
n
n
n
n
nnn
LimLim
nn
Lim
vv
uu
Lim
vv;nunu
2
2 1
0 e 0
2 2n nn n
n n
Lim Lim
+
= =
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Critério Geral de Convergência de Sucessões
Teorema de Bolzano Cauchy:
É condição necessária e suficiente para que uma sucessão seja
convergente, ou seja, �� tenha limite finito, que
δδ <−⇒>∈∀∈∃>∀ + nkn uupn:INk,INp,0
Demonstração: Condição necessária (⇒)
Se un tem limite finito, seja L esse limite; por definição,
Então
2
0
δ
δ <−⇒>∈∃>∀ Lupn:INp, n
δ
δδ
=+<−+−≤−+−=− +++
22
nknnknnkn uLLuuLLuuu
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Teoremas de Apoio ao Cálculo de Limites
Demonstração: Condição suficiente (⇐)
Por hipótese,
Ou seja,
Desta forma,
2
δ
ε <<−⇒>∈∃ + nkn uupn:INp
nknnknn Luuul =+≤≤−= ++ εε
;...Lul;Lul;Lul nnnnnnnnn 222111 ++++++ ≤≤≤≤≤≤
A sucessão ln, ln+1, ln+2, … é monótona e limitada, ou seja, é
convergente;
A sucessão Ln, Ln+1, Ln+2, … também é monótona e limitada, ou seja, é
convergente;
Como
Então Ln e ln têm o mesmo limite L e, pelo teorema das sucessões
enquadradas, este é também o limite da sucessão un
c.q.d
( ) δεεεε <+=−−+=+ ++ knknnn uulL