lista5 - teste hipoteses

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Universidade Estadual de Londrina – UEL
6EMA025 – Estatística e Probabilidades
Prof. Rodrigo R. Pescim
1º semestre de 2018
Lista 5 – Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses
1) Uma nova espécie de trigo desenvolvida em laboratórios será testada quanto a sua produtivi -
dade, em comparação com a espécie tradicional. Dados do governo revelam que a produtivi -
dade média de lavouras que se utilizam da espécie tradicional é de 25 t/há. A produtividade de
uma fazenda é uma variável aleatória normalmente distribuída. Quarenta propriedades foram
preparadas para a avaliação da nova espécie.
 
a) Qual seria o seu parecer sobre a nova espécie se, em seu experimento você observasse na
amostra uma média de 28 t/ha e variância 12 (t/ha)2. Considere o nível de significância
igual a 5%.
b) Qual o significado do erro do tipo I para o problema?
c) Qual a região de rejeição escolhida?
2) Em um centro agrícola, deseja-se testar o efeito de determinado fertilizante sobre a produção
de trigo. Para isso, escolheram-se 36 áreas de terra, cada uma com 10 m 2, de uma grande área
homogênea. Metade dessas áreas é tratada com o fertilizante, enquanto a outra metade não re-
cebe o fertilizante (tratamento controle). A produção média de trigo sem fertilizante foi de
1260 kg/ha com desvio padrão de 730 kg/ha, enquanto a produção média com fertilizante foi
de 1710 kg/ha com desvio padrão de 280 kg/ha. 
a) Podemos afirmar que houve um aumento significativo na produção de trigo devido a utili-
zação do fertilizante?
b) Qual o significado do erro do tipo I para o problema?
c) Qual a região crítica (de rejeição) escolhida?
3) Um artigo investigou médias do teor de proteína do grão cru de trigo (CP) e o número de que-
da de Hagberg (HFN) pesquisados no Reino Unido. A análise utilizou uma variedade de apli-
cação de fertilizante de nitrogênio (kg N/ha), temperatura (oC) e a quantidade mensal total de
chuva (mm). Os dados mostrados a seguir descrevem temperaturas para o trigo crescido na
Faculdade de Agricultura Harper Adams, entre 1982 e 1993. As temperaturas medidas em ju-
nho foram obtidas como se segue (considere que o desvio-padrão seja conhecido, σ = 0,5.
Dados: 15,2 14,2 14,0 12,2 14,4 12,5 14,3 14,2 13,5 11,8 15,2
a) Construa um intervalo de confiança de 99% para a temperatura média.
b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a temperatura média.
c) Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que a largura total do intervalo de con-
fiança para a temperatura média fosse 1,5 graus Celsius. Que tamanho da amostra deveria
ser usado?
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Lista 5 – Intervalos de Confiança e Teste de Hipóteses
4) Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos
a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias que são inoculadas
com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segun-
dos) anotados. Os seguintes valores foram observados: 9,1; 9,3; 7,2; 7,5; 13,3; 10,9; 7,2; 9,9;
8,0; 8,6. Admite-se que o tempo de reação tem uma média 8 segundos por estudos anteriores.
O pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo médio sofre alteração por influência da
substância. Nessas condições, responda as seguintes questões:
a) Formule as hipóteses envolvidas para o problema acima. 
b) Baseado nas hipóteses do item (a), você considera esse teste unicaudal (unilateral) ou bicaudal (bi-
lateral)?
c) Qual a região crítica escolhida?
d) Construa um teste de hipóteses para as hipóteses acima com nível de significância de 5%. Para a
amostra observada, qual decisão deve ser tomada? 
5) A precipitação pluviométrica de numa certa região tem desvio-padrão e média desconhecidos.
No último mês, foram obtidos os seguintes índices pluviométricos (em milímetros, mm) nos 9
pontos de medição:
12,2 13,2 11,2 13,6 10,8 12,1 11,4 12,2 10,3
a) Definir as hipóteses nula e alternativa adequadas para comparar os resultados com os registros his-
tóricos da região que é de 11 mm.
b) Qual a estatística de teste a ser usada para testar a hipótese em (a)?
c) Encontrar a região de rejeição para a estatística definida em (b), com nível de significância de 5%.
6) Na tabela são apresentados os tempos de sobrevida (em semanas) de pacientes com câncer nos
pulmões submetido a um novo tratamento. Também foram registradas as variáveis: estágio da
doença no início do tratamento (1 = moderado e 2 = terminal) e o sexo do paciente.
Estágio Sexo F M M F F M M M F M F M M F M F
1 Tempo 5,5 5,6 7,8 8,8 11,3 17,7 18,4 19 22,7 25,1 26,5 38,6 46,6 54,9 65,6 83,1
Estágio Sexo M M F M M F F F M F F M F F M F
2 Tempo 2,8 3,4 3,9 5,7 6,3 9,9 10,5 12,2 13,5 14 14,8 18,6 19,4 20,2 27,5 45,9
a) Teste a hipótese de que as médias entre os dois estágios são iguais ao nível de significância de 5%.
b) Teste a hipótese de que as médias entre os sexos são iguais, ao nível de significância de 10%.
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7) Um fabricante de pneus deseja testar a vida do pneu em relação a um novo componente de
borracha. Para tal, 16 pneus foram submetidos a um teste na estrada. A média e o desvio-
padrão da amostra foram 60.139,7 km e 3.645,94 km. 
a) O engenheiro gostaria de demonstrar que a vida média do pneu novo excede 60.000 km com
um nível de significância de 10%. Formule e teste as hipóteses apropriadas e retire conclu-
sões.
b) Encontre um intervalo de 90% de confiança para a vida média do pneu.
8) Dois catalisadores podem ser usados em um processo químico em batelada. Doze bateladas
foram preparadas usando o catalisador 1, resultando em um rendimento médio de 86% com
desvio-padrão amostral igual a 3%. Quinze bateladas foram preparadas com o catalisador 2,
resultando em um rendimento médio de 89% com desvio-padrão igual a 2%. 
a) Há evidência que confirme a afirmação de que o catalisador 2 produz um rendimento
maior do que o catalisador 1 a um nível de significância de 5%?
b) Encontre um intervalo de 95% de confiança para cada um dos rendimentos médios.
9) Está sendo investigada a temperatura em que ocorre uma deflexão, devido à carga, em dois ti-
pos diferentes de tubo plástico. Duas amostras aleatórias de 15 tubos são testadas e as tempe-
raturas (em ºF) em que ocorre a deflexão foram observadas e reportadas abaixo:
Tipo 1 Tipo 2
206 193 192 177 176 198
188 207 210 197 185 188
205 185 194 206 200 189
187 189 178 201 197 203
194 213 205 180 192 192
Os dados confirmam a afirmação de que a temperatura em que ocorre a deflexão, devido à carga, no tubo
tipo 2 excede aquela do tipo 1? Para concluir algo, use 5% como nível de significância.
10) Dez cobaias adultas foram submetidas ao tratamento com certa ração durante uma semana.
Os animais foram perfeitamente identificados, tendo sido mantidos, para tanto, em gaiolas in-
dividuais. Os pesos, em gramas, no princípio e no final de semana, designados, respectiva-
mente, por xP e xF, são dados a seguir:
Cobaia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xP 635 704 662 560 603 745 698 575 633 669
xF 640 712 681 558 610 740 707 585 635 682
Teste, ao nível de 1% de significância, se o uso da ração contribui para o aumento de peso dos animais. 
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11) O gerente de uma empresa de táxis está tentando decidir se é melhor utilizar pneus radiais em vez dos
cinturados regulares para promover uma economia de combustível. Doze carros foram equipados com osradiais e dirigidos em um percurso de teste prescrito. Sem trocar os motoristas, os mesmos carros foram
equipados com os cinturados e dirigidos no mesmo percurso. O consumo de gasolina, em quilômetro por
litro, foi registrado como se segue:
Carro Pneu radial Pneu cinturado
1 4,2 4,1
2 4,7 4,9
3 6,6 6,2
4 7,0 6,9
5 6,7 6,8
6 4,5 4,4
7 5,7 5,7
8 6,0 5,8
9 7,4 6,9
10 4,9 4,7
11 6,1 6,0
12 5,2 4,9
Podemos concluir que os carros equipados com pneus radiais geram mais economia em combustível do
que os com pneus cinturados? Realize um teste de hipóteses ao nível de significância de 5%.
12) Suponha, em um experimento industrial, que um engenheiro está interessado em saber como a absor -
ção média de uma mistura em concreto varia entre dois agregados de concreto. As amostras foram expos -
tas à mistura por 48 horas. Decidiu-se que 6 amostras seriam testadas para cada agregado. Os dados estão
registrados na tabela abaixo:
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Tabela – Absorção de mistura dos agregados de concreto
Agregado 1 Agregado 2
551 639
457 615
450 511
731 573
499 648
632 601
Realize um teste de hipóteses ao nível de significância de 1% para verificar se existe diferença entre os
agregados 1 e 2 com relação a absorção média de uma mistura em concreto.
13) Dois materiais diferentes, digamos liga A e liga B, foram comparados em relação à resistência. A liga
B é mais cara, mas deveria ser adotada se conseguíssemos demonstrar que é mais forte (mais resistente)
que a liga A. Nesse sentido foi realizado um experimento que consistia em selecionar amostras de barras
de cada uma das ligas, e as resistências foram medidas em uma deflexão de 0,001 polegadas, à medida que
uma força fixa era aplicada em cada extremidade das barras. Foram utilizados 20 espécimes de cada liga.
Os dados são fornecidos abaixo.
Liga A Liga B
88 79 84 75 77 86
89 81 83 84 80 78
82 79 82 83 76 81
85 88 80 78 78 82
85 87 80 80 76 85
78 87 90 79 80 81
83 81 77 78
a) Calcule a resistência média para as amostras da liga A e liga B.
b) Construa o box-plot para cada uma das ligas. O que podemos afirmar sofre a diferença entre as
médias e a variabilidade para as duas amostras. 
c) As amostras são independentes? Justifique.
d) Qual é o teste de hipótese mais indicado para comparar as resistências médias das ligas A e B ?
Justifique.
d) Formule as hipóteses do teste escolhido no item (d).
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e) O que significa cometer o erro tipo I nesse estudo experimental?
f) Realize o teste de hipótese escolhido no item (d) e faça uma conclusão sobre qual liga deve ser
adotada.
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