ApostilaEPG 3 Sistemas ordem 1 e 2

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UNIVERSIDADE PAULISTA 
CAMPUS ARARAQUARA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE CONTROLE E 
SERVOMECANISMOS 
 
 
 
 
 
Sistemas de 1ª e 2ª Ordem: Função de 
Transferência, Resposta e 
Identificação 
 
 
 
 
 
 
3. ANÁLISE DA RESPOSTA DE SISTEMAS 
 
 A resposta temporal de um sistema consiste de duas partes: a resposta 
transitória e a resposta em regime permanente (estacionária). 
 Resposta Transitória ® parte da resposta que vai do estado inicial até o 
estado final. 
 Resposta Estacionária ® maneira com a saída se comporta quando t tente a 
infinito. 
 
3.1 RESPOSTA TRANSITÓRIA 
 
3.1.1- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 Considere a seguinte equação diferencial de 1a ordem 
)t(dr)t(bc)t(ca =+
·
 a ¹ 0 
onde c(t) é a saída do sistema e r(t) é a entrada do sistema. 
 
 Definindo 
 a
b
T= (constante de tempo do sistema ) e d
b
K= (ganho do sistema) 
temos 
)t(Kr)t(c)t(Tc =+
·
 
 
 Assim a função de transferência é: 
 
1Ts
K)s(G
)s(R
)s(C
+
== 
 
 
K 1
sT
R(s) C(s)+
-
E(s)
 
 Considerando K=1, 
1Ts
1)s(G
+
= 
 
· Resposta ao Degrau Unitário 
 
T/1s
1
s
1
s
1
1sT
1)s(C
+
-=
+
= 
 
T/te1)t(c --= 
 
 
 
· Resposta a Rampa Unitária 
 
1Ts
T
s
T
s
1
1Ts
1
s
1)s(C
2
22 +
+-=
+
= 
T/tTeTt)t(c -+-= 
( )T/te1T)t(c)t(r)t(e --=-= 
Logo e T( )¥ = 
 
 
 
· Resposta ao Impulso 
 
Seja um impulso unitário . Aplicando a transformada de Laplace temos 
R(s) = 1; que substituído na equação de sistemas de primeira ordem fornece: 
 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos: 
 
 
 
A figura a seguir mostra a resposta ao impulso unitário. 
 
 
 
Exemplos de sistemas de 1a ordem: circuito RC, reservatório com válvula, 
sistema de temperatura, etc. 
 
3.1.2- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM COM TEMPO MORTO 
 
O modelo de um sistema de primeira ordem com tempo morto (ou atraso de 
transporte) pode ser representado pela seguinte função de transferência: 
 
)(
)(
)1(
)(
sU
sYe
s
K
sG sp =
+
= -q
t 
 
Note-se que é necessário determinar 3 parâmetros: o ganho estático, Kp, a 
constante de tempo t e o atraso por transporte, q. 
 
A resposta a entrada degrau desse sistema é dada pela figura abaixo. 
 
 
3.1.3- SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 Considere a seguinte equação diferencial de segunda ordem: 
)t(er)t(dc)t(cb)t(ca =++
···
 
 
Definindo 
K
a
e ; 
a
d ; 2
a
b 2
nn =w=xw= 
 
onde 
x é o fator de amortecimento 
w n é a freqüência natural 
K é o ganho do sistema 
 
 
 
Assim, temos: 
 
)t(Kr)t(c)t(c2)t(c 2nn =w+xw+
···
 
 
 Aplicando Laplace com C.I. nulas: 
 
2
nn
2 s2s
K
)s(R
)s(C
w+xw+
= 
 
 
K
R(s) C(s)+
-
E(s) 1
s(s+2 )xwn
 
 
 Considerando 2nK w= 2
nn
2
2
n
s2s)s(R
)s(C
w+xw+
w
= 
 
 
 Pólos do sistema: 
1s 0s2s 2nn
2
nn
2 -xw±xw-=Þ=w+xw+ 
 
Exemplos de sistemas de 2a ordem: circuito RLC, sistema massa-mola-atrito, 
servomecanismo de posição. 
 
 Temos três casos: 
 
a) 0 1< <x 
 Caso SUBAMORTECIDO. O sistema tem dois pólos complexos conjugados 
e apresenta oscilações 
 
b) x = 1 
 Caso CRITICAMENTE AMORTECIDO. Dois pólos reais e iguais. A partir 
deste valor de x o sistema passa a não ter mais oscilações. 
 
c) x > 1 
 Caso SOBREAMORTECIDO. Dois pólos reais e distintos. A medida que x 
aumenta, o comportamento do sistema se aproxima do comportamento de um 
sistema de 1a ordem. 
 
· Resposta ao Degrau Unitário 
 
a) Caso Subamortecido 
 
 
 
onde 2d 1 x-=w é a freqüência natural amortecida. 
 Se x=0 
 
 
O erro do sistema e(t) ao seguir a entrada degrau é então: 
 
 
 
b) Caso criticamente amortecido 
 
 
 
c) Caso sobreamortecido 
 
 
 
A figura abaixo mostra as curvas de resposta ao degrau unitário de um 
sistema de 2a ordem em função do fator de amortecimento x (Z) 
 
 
· Resposta a Rampa Unitária 
 
a) Caso Subamortecido 
 
 
 
onde 2d 1 x-=w é a freqüência natural amortecida. 
 Se x=0 
 
 
O erro do sistema e(t) ao seguir a entrada rampa é então: 
 
 
 
b) Caso criticamente amortecido 
 
 
 
c) Caso sobreamortecido 
 
 
 
A figura abaixo mostra as curvas de resposta a rampa unitária de um sistema 
de 2a ordem em função do fator de amortecimento x (Z) 
 
 
 
· Resposta ao Impulso 
· 
a) Caso Subamortecido 
 
 
 
b) Caso criticamente amortecido 
 
 
 
c) Caso sobreamortecido 
 
 
 
A figura abaixo mostra as curvas de resposta ao impulso unitário de um 
sistema de 2a ordem em função do fator de amortecimento x (Z) 
 
 
3.2 IDENTIFICAÇÃO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS 
 
Existem muitas razões para usar dados experimentais para obter um modelo 
do sistema dinâmico a ser controlado. Em primeiro lugar, a construção teórica do 
modelo através de equações é somente uma aproximação da realidade. Algumas 
vezes, como no caso de foguetes, o modelo teórico é extremamente bom. Por outro 
lado, alguns processos químicos, o modelo teórico é muito aproximado. Em todos os 
casos, antes do projeto final de controle é importante e prudente verificar o modelo 
teórico com dados experimentais. 
Em segundo lugar, em situações onde o modelo teórico é muito complicado 
ou o comportamento do processo é pouco compreendido, a única forma de projetar 
o controle são os dados experimentais. Por ultimo, algumas vezes os sistemas são 
submetidos a mudanças. Por exemplo, a velocidade de uma máquina de papel para 
diferentes composições da fibra, ou um sistema não-linear que se desloca para um 
novo ponto de operação. Nestas ocasiões é necessário reajustar o controlador, isso 
requer remodelar para acrescentar as mudanças inseridas no processo, e dados 
experimentais são freqüentemente são mais efetivos para acrescentar as 
informações necessárias no novo modelo. 
A dinâmica de muitos processos industriais pode ser satisfatoriamente 
aproximada por funções de primeira ou segunda ordem com tempo morto. Existem 
diversos métodos para realizar essa identificação de parâmetros. Geralmente esses 
métodos utilizam um sinal genérico de entrada. A seguir alguns exemplos de como 
obter esses parâmetros a partir da resposta a uma perturbação degrau. 
O processo de identificação pode ser feito de suas maneiras: 
 
(a) Identificação direta ou em malha aberta 
 
Neste tipo de identificação, o sinal de entrada u(t) mais utilizado, é um degrau de 
amplitude U. 
 
 
 
(b) Identificação Indireta ou em malha fechada 
 
Seja G(s) o sistema a ser identificado. Este tipo de identificação é feito em dois 
passos. Primeiramente realimentamos G(s) com um ganho Kc 
 
 
onde r(t) é o sinal de referência. 
Usando para referência um degrau de amplitude R, medimos y(t) e identificamos o 
sistema realimentado: 
 
 
 
A função de transferência desejada é obtida da equação acima: 
 
 
 
3.2.1- SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM (Malha Aberta) 
O modelo de um sistema de primeira ordem pode ser representado pela seguinte 
função de transferência: 
 
)(
)(
)1(
)(
sU
sYe
s
K
sG sp =
+
= -q
t 
 
Note-se que é necessário determinar 3 parâmetros: 
o ganho estático Kp 
a constante de tempo t 
e o atraso por transporte q (para sistemas com tempo morto) 
 
(a) Método de Ziegler-Nichols e de Hagglund 
 
Nestes métodosos parâmetros Kp,t e q são calculados conforme é ilustrado na 
figura abaixo, onde a reta traçada corresponde à tangente no ponto de máxima 
inclinação da curva de reação. Os parâmetros Kp e q são calculados da mesma 
forma nos dois métodos, somente a constante de tempo são obtidas de forma 
diferente. 
 
 
 
(b) Método de Smith 
 
Neste método, os parâmetros são obtidos conforme as equações e a figura 
apresentada a seguir: 
 
U
YKp
D
¥D
=
)(
 )(5,1 12 tt -=t tq -= 2t 
 
 
3.2.1- SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM (Malha Aberta) 
 
O modelo de um sistema de segunda ordem é: 
 
 
onde x é o amortecimento e w n é a freqüência natural. 
 
Os parâmetros Ks, x e wn podem ser obtidos através de y(∞), de U, do sobressinal 
Maximo, yp, que corresponde a amplitude do primeiro sobressinal, e de tp, que é o 
instante de tempo em que ocorre o sobressinal máximo: 
 
 
Observe que yp = y(tp).