2014-2-EP-04-IEM-Gabarito

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Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/04 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/04 — 09/08/2014
ATIVIDADE 2
Na Atividade 3 do EP-01 da semana passada, estudamos o Teorema de Varignon: os pontos
me´dios X, Y , W e Z dos lados AB, BC, CD e DA de um quadrila´tero ABCD formam
sempre um paralelogramo (possivelmente degenerado).
Um aluno tentou dar a seguinte demonstrac¸a˜o para o teorema: “No GeoGebra 4.x, eu
construo uma reta paralela ao lado ZW passando pelo ponto X. Percebo enta˜o que o seg-
mento XY esta´ contido nessa reta paralela. Do mesmo modo, eu construo uma reta paralela
ao lado XZ passando pelo ponto W . Observo enta˜o que o segmento YW esta´ contido nessa
reta paralela. Concluo enta˜o que XY e´ paralelo a ZW e que YW e´ paralelo a XZ. Dessa
maneira, o quadrila´tero XY ZW e´ um paralelogramo!”.
A
C
B
Y
X
D
Z
W
A
C
B
Y
X
D
Z
W
ATIVIDADE 3
Estude os tutoriais do GeoGebra 4.x de nu´meros 14 a 16 dispon´ıveis no seguinte enderec¸o
(escolha a opc¸a˜o “VI´DEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Nestes tutoriais, voceˆ aprendera´ a construir mediatrizes e bissetrizes com o GeoGebra 4.x.
Atenc¸a˜o: recomendamos que, ale´m de assistir aos tutoriais, voceˆ tente, conco-
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mitantemente, reproduzir as instruc¸o˜es apresentadas! Afinal, uma coisa e´ ver, outra
e´ fazer.
Implemente a construc¸a˜o descrita no tutorial 16 e, enta˜o, salve-a com o nome “tutorial-
16.ggb”. Anexe este arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-
02: Construc¸o˜es do Tutorial 16”. Prazo de entrega dessa atividade: 20/08/2014.
ATIVIDADE 4
(Uma fala´cia cla´ssica em geometria) A seguir temos cinco passos de uma demonstrac¸a˜o
errada para o seguinte teorema falso: “todo triaˆngulo e´ iso´sceles”.
(a) Usando somente la´pis e papel, tente descobrir qual passo esta´ errado. O ideal e´ que
voceˆ fac¸a os seus pro´prios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
A B
C
F
O
E D
.
(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra 4.x e, novamente, tente descobrir qual passo
esta´ errado. Importante: ao fazer a construc¸a˜o no GeoGebra 4.x, use retas
ao inve´s de segmentos, pois assim voceˆ podera´ marcar os pontos E e F do
Passo 2.
Passo 1. No triaˆngulo 4ABC, seja O o ponto de intersec¸a˜o da mediatriz ←→FO do lado AB
com a bissetriz
←→
CO do aˆngulo ∠ACB.
Passo 2. Construa os segmentos OE perpendicular ao lado AC e DO perpendicular ao
lado BC, respectivamente.
Passo 3. Os triaˆngulos retaˆngulos 4CEO e 4CDO sa˜o congruentes e, portanto, EO =
DO e EC = DC.
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Passo 4. Como AO = BO, o triaˆngulo retaˆngulo 4AEO e´ enta˜o congruente ao triaˆngulo
retaˆngulo 4BDO e, assim, AE = BD.
Passo 5. Consequentemente, AC = AE +EC = BD+DC = BC e o triaˆngulo 4ABC e´
iso´sceles.
Soluc¸a˜o. A figura apresentada na demonstrac¸a˜o esta´ errada: o ponto O que e´ a intersec¸a˜o
da mediatriz
←→
FO do lado AB com a bissetriz
←→
CO do aˆngulo ∠ACB nunca esta´ no interior
do triaˆngulo ∆ABC! Se voceˆ implementar esta construc¸a˜o no GeoGebra 4.x, percebera´ de
imediato este erro. A figura correta e´ a seguinte:
A B
C
F
O
E
D
As construc¸o˜es e argumentac¸o˜es dadas nos passos de 1 a 4 esta˜o todas corretas. O u´nico passo
errado e´ o de nu´mero 5! De fato: como o ponto O na˜o esta´ no interior do triaˆngulo ∆ABC,
segue-se que ou o ponto D na˜o esta´ entre os pontos B e C ou o ponto E na˜o esta´ entre os
pontos A e C. Sendo assim, segue-se que ou na˜o e´ verdade que BD + DC = BC ou na˜o e´
verdade que AC = AE +EC. No caso do triaˆngulo ∆ABC da figura acima, na˜o e´ verdade
que BD +DC = BC.
ATIVIDADE 5
(Uma fala´cia cla´ssica em geometria) Abaixo temos os seis passos de uma demonstrac¸a˜o
errada para o seguinte teorema falso: “todo aˆngulo e´ reto”.
(a) Usando somente la´pis e papel, tente descobrir qual passo esta´ errado. O ideal e´ que
voceˆ fac¸a os seus pro´prios desenhos no papel mas, se quiser, use esta figura aqui:
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BA
D C
E
R
Q
P
O
(b) Implemente os passos abaixo no GeoGebra 4.x e, novamente, tente descobrir qual passo
esta´ errado.
Passo 1. Dado um aˆngulo α, seja ABCD um quadrado e seja E um ponto com m(BE) =
m(BC) e m(∠EBA) = α. Sejam tambe´m R o ponto me´dio de DE, P o ponto
me´dio de DC, Q o ponto me´dio de AB e O a intersec¸a˜o da reta
←→
PQ com a me-
diatriz do segmento DE. (veja a figura a seguir).
Passo 2. Os triaˆngulos ∆AQO e ∆BQO sa˜o congruentes, desde que
←→
OQ e´ a mediatriz do
segmento AB. Segue-se enta˜o que m(AO) = m(BO).
Passo 3. Os triaˆngulos ∆DRO e ∆ERO sa˜o congruentes desde que
←→
RO e´ a mediatriz do
segmento DE. Segue-se enta˜o que m(DO) = m(EO).
Passo 4. Agora, m(DA) = m(BE), pois ABCD e´ um quadrado e E e´ um ponto escolhido
de tal maneira que m(BE) = m(BC).
Passo 5. Desta maneira, os triaˆngulos ∆OAD e ∆OBE sa˜o congruentes porque seus lados
possuem o mesmo tamanho.
Passo 6. Segue-se, portanto, que m(α) = m(∠EBA) = m(∠EBO) − m(∠ABO) =
m(∠OAD)−m(∠OAB) = m(∠BAD) = 90◦.
Soluc¸a˜o. Para comec¸ar, a figura esta´ errada, pois, nela, m(BE) < m(BC). Independente
disto, se voceˆ fizer a construc¸a˜o no GeoGebra 4.x, descobrira´ que os passos 1, 2, 3, 4 e 5
esta˜o todos corretos. Apenas o u´ltimo passo esta´ errado: a figura errada nos mostra que
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∠EBO e´ um aˆngulo interno do triaˆngulo ∆OBE mas, na verdade, ele e´ um aˆngulo externo
do triaˆngulo (examine a sua construc¸a˜o no GeoGebra 4.x e verifique este fato)! Sendo assim,
na˜o e´ verdade que m(∠EBO) = m(∠OAD) e, portanto, na˜o e´ verdade que m(∠EBO) −
m(∠ABO) = m(∠OAD)−m(∠OAB).
ATIVIDADE 6
Seja ∆ABCP um quadrado qualquer. Sobre o lado AB construa o triaˆngulo equila´te-
ro ∆ABQ “para dentro” do quadrado e, sobre o lado BC, construa o triaˆngulo equila´te-
ro ∆CBR “para fora” do quadrado.
A B
P C
Q
R
Implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 4.x. Os nomes dos pontos devem aparecer! Salve
sua construc¸a˜o com o nome “invariante-geome´trico.ggb” e, enta˜o, anexe o arquivo em uma
mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-05: Invariante Geome´trico”. Movi-
mente os pontos livres e tente descobrir algum invariante geome´trico para os pontos P , Q
e R. Registre e deˆ uma demonstrac¸a˜o para esse invariante na mesma mensagem em que
voceˆ anexou o arquivo. Prazo de entrega dessa atividade: 20/08/2014.
Soluc¸a˜o. Como os triaˆngulos ∆APQ e ∆BCQ sa˜o iso´sceles e m(∠QAP ) = m(∠CBQ) =
m(∠BAP ) − m(∠BAQ) = 90◦ − 60◦ = 30◦, segue-se que m(∠APQ) = m(∠PQA) =
m(∠QCB) = m(∠BQC) = 75◦. Logo, m(∠QPC) = m(∠PCQ) = 90◦ − 75◦ = 15◦.
Consequentemente, m(∠CQP ) = 150◦. Por outro lado, como triaˆngulo ∆RBQ e´ iso´sceles e
m(∠RBQ) = 90◦, segue-se que m(∠BQR) = 45◦. Portanto, m(∠RQC) = 75◦ − 45◦ = 30◦.
Uma vez que m(∠CQP ) + m(∠RQC) = 180◦, conclu´ımos que os pontos P , Q e R sa˜o
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colineares.
A B
P C
Q
R
ATIVIDADE 7
(O teorema de Pappus) Sejam r e s duas retas. Construa os pontos A, B e C sobre
a reta r e construa os pontos D, E e F sobre a reta s. Sejam P o ponto de intersec¸a˜o das
retas
←→
AE e
←→
DB, Q o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
AF e
←→
DC e R o ponto de intersec¸a˜o das
retas
←→
BF e
←→
EC: P =
←→
AE∩←→DB, Q =←→AF∩←→DC e R =←→BF∩←→EC. Implemente esta construc¸a˜o
no GeoGebra 4.x. Os nomes dos pontos e das reta r e sdevem aparecer! Use cores diferentes
para realc¸ar as retas que definem os pontos P , Q e R. Movimente os pontos semilivres e
tente descobrir algum invariante geome´trico. Ao movimentar os pontos, certifique-se
que os elementos de sua construc¸a˜o (por exemplo, pontos de intersec¸a˜o) na˜o
desaparecem! Dica: use sempre retas ao inve´s de segmentos. Caso na˜o tenha
descoberto nenhum invariante, procure por “Teorema de Pappus” no Google.
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Soluc¸a˜o.
(b) Os pontos livres sa˜o aqueles que foram usados para definir as retas r e s. Os pontos
semilivres sa˜o A, B, C, D, E e F . Os pontos fixos sa˜o P , Q e R.
(c) O invariante geome´trico encontrado e´ o de que os pontos P , Q e R sa˜o sempre colineares,
independentemente das escolhas das retas r e s, dos pontos A, B e C sobre a reta r e
dos pontos D, E e F sobre a reta s.
A
B
C
r
D
E
F
s
P Q R
ATIVIDADE 8
(O teorema de Pascal para o c´ırculo) Seja C um c´ırculo. Construa os pontos A, B,
C, D, E e F sobre o c´ırculo C. Sejam P o ponto de intersec¸a˜o das retas ←→AE e ←→DB,
Q o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
AF e
←→
DC e R o ponto de intersec¸a˜o das retas
←→
BF
e
←→
EC: P =
←→
AE ∩ ←→DB, Q = ←→AF ∩ ←→DC e R = ←→BF ∩ ←→EC. Implemente esta construc¸a˜o
no GeoGebra 4.x. Os nomes dos pontos devem aparecer! Use cores diferentes para realc¸ar
as retas que definem os pontos P , Q e R. Salve sua construc¸a˜o com o nome “teorema-
de-pascal.ggb” e, enta˜o, anexe o arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de
nome “AE-07: Teorema de Pascal”. Movimente os pontos semilivres e tente descobrir algum
invariante geome´trico. Ao movimentar os pontos, certifique-se que os elementos
de sua construc¸a˜o (por exemplo, pontos de intersec¸a˜o) na˜o desaparecem! Dica:
use sempre retas ao inve´s de segmentos. Registre esse invariante na mesma mensagem
em que voceˆ anexou o arquivo (caso na˜o tenha descoberto nenhum, procure por “Teorema
de Pascal” no Google). Opcional: fornec¸a uma demonstrac¸a˜o para o seu invariante. Prazo
de entrega dessa atividade: 20/08/2014.
Soluc¸a˜o.
(b) Os pontos livres sa˜o aqueles que foram usados para definir o c´ırculo C. Os pontos
Fundac¸a˜o CECIERJ HJB Conso´rcio CEDERJ
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semilivres sa˜o A, B, C, D, E e F . Os pontos fixos sa˜o P , Q e R.
(c) O invariante geome´trico encontrado e´ o de que os pontos P , Q e R sa˜o sempre colineares,
independentemente das escolhas do c´ırculo e dos pontos A, B, C, D, E e F sobre ele.
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
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