IV - Torção

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Estácio de Sá - Res Mat II – Rubens Mitri 1 
 
IV – Torção 
IV.1 – Introdução 
Carregamento e diagrama de esforços 
Momentos torçores podem ser concentrados ou distribuídos ao longo do eixo da barra, 
conforme a Figura VI.1. 
 
Figura IV.1 – Momentos torçores aplicados 
 
Diagramas de momento torçor podem ser constantes ou não conforme exista ou não 
carregamento distribuído, como ilustra a Figura VI.2a. O momento torçor em uma seção 
transversal é positivo quando a representação vetorial dos momentos estiver voltada para fora 
da seção, conforme a Figura VI.2b. Assim, a na Figura IV.2a temos a indicação do sinal 
positivo. 
 
 
a - Diagrama de momento torçor para t(x) constante 
 
b – Convenção para torçor positivo 
Figura IV.2 – Diagrama de momento torçor 
 
Equações de equilíbrio 
 
A Figura VI.3a ressalta um segmento de comprimento dx, de uma barra submetida a 
momentos de torção concentrados nas extremidades e distribuídos ao longo do comprimento. 
O segmento destacado representa a seção transversal mostrada em perspectiva na Figura 
IV.3b. Para que a seção esteja em equilíbrio, é preciso que a soma dos momentos em torno do 
eixo x de ser nula, sou seja: 
 0xM 0)(  TdxdTT t(x) 
  dxdTt(x)  (IV.1) 
z
x
a\
Ma
Mb
t(x)
b
dx
dx
y
t(x)
T+dT
T
 
aa –– bbaarrrraa ssuubbmmeettiiddaa aa mmoommeennttooss ttoorrççoorreess 
T + dT
dx
G
G
x
G
t(x)
T
 
b – momentos aplicados em uma seção
Figura IV.3 – Momentos e esforços torçores aplicados 
 
 
 
 Estácio de Sá - Res Mat II – Rubens Mitri 2 
 
A equação (IV.1) informa que a taxa de variação do momento torçor ao longo de x é 
determinada pelo momento distribuído t(x). 
IV.1 – Barras de seção transversal circular 
Hipóteses básicas 
Considere uma barra de seção circular submetida a momentos torçores aplicados nas 
extremidades, como representa a Figura IV.4. A figura procura mostrar que as seções 
transversais giram em torno do eixo da barra, havendo rotação relativa entre as seções. As 
linhas da periferia, inicialmente paralelas ao eixo, sofrem deformações como indicado, mas o 
eixo permanece reto e as seções transversais permanecem planas e normais ao eixo. A barra 
também não sofre deformações normais (alongamento ou encurtamento) na direção do eixo 
ou do raio, permanecendo com mesmo comprimento e mesmo diâmetro. 
 
Figura IV.4 Barra sob momento torçor: configuração deformada 
A Figura IV.5 procura mostrar que todos os pontos de cada uma das faces de uma seção 
transversal sofre uma mesma rotação )(x em torno do eixo da barra, havendo uma 
defasagem de d entre a duas faces da seção, mas sem que haja deslocamentos relativos 
entre pontos de uma mesma face. Assim, os pontos inicialmente alinhados na direção do raio 
permanecem alinhados na direção do raio após a deformação. 
 
(a) 
 
(b) 
 
 (c) 
Figura IV.5 - Deformações em uma barra circular sob torção 
 Estácio de Sá - Res Mat II – Rubens Mitri 3 
 
Distribuição de deformações 
A Figura V.5c mostra que a rotação relativa d acarreta a deformação angular  
(deformação de cisalhamento) nos elementos da seção transversal. Conforme a figura, 
podemos escrever dxdr / )tan(   . Se o ângulo  for pequeno, então podemos adotar 
)tan(  , ou seja: 
dx
dr   (IV.2) 
Distribuição de tensões 
Tensões de cisalhamento podem ser obtidas a partir da deformação  e do módulo de 
cisalhamento G, conforme a equação (II.5). Então: 
 
dx
drGG   (IV.3) 
Note que a deformação e a tensão de cisalhamento dadas pelas equações (IV.2) e (IV.3) 
variam linearmente na direção do raio, sendo nulas no eixo da barra e máximas junto à 
periferia da seção. 
Cálculo de tensões e deformações de cisalhamento 
A tensão de cisalhamento  , que gera a deformação  , tem direção sempre perpendicular ao 
raio, com representa a Figura IV.6a. Consequentemente a força dF que resulta de  atuando 
em uma área elementar dA também é perpendicular ao raio, como representa a Figura IV.6b. 
A figura indica também que o módulo dessa resultante é dado por dAdF  . A resultante dF 
produz um momento em torno do eixo da barra dado por dArdFrdM x  . Então, 
utilizando a equação (II.19), escrevemos: 
 dAdFrdM r
dx
dGx 2  
(IV.5)
 
 
                     
 a – direção de  b – direção de dF 
Figura IV.6 - Momentos produzidos por tensões de cisalhamento 
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A integral desses momentos elementares ao longo da seção transversal deve ser igual ao 
momento torçor atuante na seção. Assim, escrevemos: 
   AA x dArdxdGdMT 2 (IV.6) 
A integral contida na equação (IV.6) representa o momento polar de inércia da seção 
transversal em relação do eixo da barra, que aqui será denotado como PJ . Assim, a 
equação (IV.6) pode ser escrita como PJ
dx
dGT   ou ainda : 
 
PJG
T
dx
d
 
  (IV.7) 
 
A equação (IV.7) permite como calcular a taxa de variação do ângulo de torção causada 
por um momento T, assim como a rotação relativa entre diferentes seções transversais da 
barra. Substituindo a equação (IV.7) em (IV.3) obtemos: 
3 
 
PJ
Tr  (IV.8) 
 
A equação (IV.8) fornece a distribuição de tensões ao longo da seção transversal circular 
em função do momento torçor atuante, sendo válida também para barra com seção 
transversal em anel de círculo, com raio constante ou não, como representa a Figura IV.7. 
Notamos que a distribuição é linear, com tensões nulas no eixo da barra e tensões máximas 
na sua periferia, onde alcançam o valor: 
 
 max 
PJ
TR (IV.9) 
 
 
a) barra cilíndrica 
 
b) cilíndrica vazada
 
c) barra cônica
Figura IV.7 - Tensões devido a torção em seções circulares vazadas ou não 
 
Deformações de cisalhamento podem ser calculadas a partir das equações (IV.8) e da Lei de 
Hooke para cisalhamento, resultando em: 
 
 PJ
Tr
GG 
  
 (IV.10)
 
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Rotação das seções transversais 
As seções transversais de uma barra submetida a torção sofrem rotações  , em torno do eixo 
x, como mostra a Figura IV.5. A equação (IV.7) permite escrever: 
 
 dxJG
Td
P 
  (IV.11) 
 
A expressão (IV.11) permite calcular a rotação relativa sofrida entre duas seções transversais. 
Se a extremidade inicial da barra ( 0x ) tiver sofrido uma rotação o , então a rotação de uma 
seção qualquer, situado a uma distância x do nó inicial, será dada por: 
 
   x Poxo dxJGTdx 00 )(  (IV.12) 
 
Na equação (IV.12), a rotação  é positiva quando sua representação vetorial tiver a direção 
de x, e a convenção de sinal para o momento torçor T é aquela estabelecida pela Figura IV.2b. 
Note que se o momento torçor, a geometria da seção transversal e o m’odulo de cisalhamento 
forem constante, então a equação (IV.12) toma a forma simplificada: 
 
 xJG
T
Po
x )(   (IV.13) 
 
Exemplo IV.1: Uma barra com uma extremidade engastada é submetida a dois momentos 
concentrados, conforme a Figura IV.8a. A seção transversalé circular de raio 
igual a 10cm, conforme a Figura IV.8b, e o módulo de cisalhamento do 
material e o momento polar de inércia são dados na Figura IV.8c. Determiar 
a rotação na extremidade direita e no meio da barra. 
 
 
a - condições de apoio e momentos aplicados 
 
b - seção transversal 
28 /10 mKNG  
461082.9 mJ P  
221082.9 KNmPJG  
 
c – Propriedades do material e seção 
Figura IV.8 Barra subetida a momentos torçores concentrados 
 
Solução: 
Na Figura IV.9a representamos a barra, os momentos aplicados e a reação de apoio na 
extremidade e, na Figura IV.9b representamos o diagrama de momentos torçores. 
 
a - esquema estrutural e reação de apoio b – diagrama de momento torçor 
Figura IV.9 – Barra sob torção – reação de apoio e diagrama de esforço 
 
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A extremidade A está engastada, de forma que a rotação ali é nula, e a rotação em B e C 
podem ser calculadas utilizando-se a equação (IV.12) como: 
 
 rad.dx
PJG
Tdx
PJG
T
A 61115506
6
0 21082,9
100 
 
0 
6
0 
 B 

     
 01155610 6111550
12
6
 21082,9
1006111550 
12
6
 
 
C 

  ..dx.dx
PJG
T
B 
 
Note que poderíamos ter usado a equação (IV.13), pois a seção tranversal e o momento torçor 
são constantes em cada trecho da barra. 
 
Exercícios: Para as barras abaixo com seção tranversal circular, determine: 
- a tensão de cisalhamento máxima; 
- a rotação nos pontos onde os momentos externos são aplicados; 
 
 
 
 
Lista de exercícios 
Livro Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
Pearson 
 
Exemplos : 5.1 a 5.4 - pg 130 a 132 
 5.7 a 5.10 – pg 144 a 145 
 5.11 e 5.12 – pg 151 e 152 
 
 
Problemas: 5.1 a 5.31 – pg 134 a 137 
 5.45, 5.47, 5.48 – pg 146 
 5.50 a 5.52, - pg 147 
 5.58 a 5.72 – pg 148 a 150
 5.73 a 5.87 - pg 153 a 155 
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IV.2 – Barras maciças de seção não circular 
 
O modo de deformação de uma barra de seção não circular é bem diferente do observado em 
barras cilíndricas, como procura mostrar a Figura IV.10, que representa uma barra prismática, 
de seção quadrada submetida a um momento torçor T. A Figura IV.10b mostra que na 
configuração deformada os lados da seção transversal deixam de ser retos, formando 
ondulações na superfície externa da barra. A mudança da geometria observada agora é muito 
maior do que aquela que se observa numa barra de seção circular, tal como a barra cilíndrica 
da Figura IV.4. A de seção quadrada não oferece uma simetria perfeita em relação ao seu 
eixo, como ocorre para a barra cilíndrica, e pouco devemos antecipar da distribuição de 
tensões e deformações, podendo-se apenas presumir que as tensões são nulas no eixo da peça. 
 
 a – configuração indeformada b – configuração deformada 
Figura IV.10 - Barra prismática torcida 
A Figura IV.11 procura examinar mais cuidadosamente a distribuição de deformações e 
tensões ao longo da seção da barra. A Figura IV.11a mostra que a seção transversal deixa de 
ser plana, o que implica em uma distribuição complexa de deformações e tensões. As Figuras 
IV.11b e IV.11c procuram analisar as tensões de cisalhamento nos pontos situados no meio 
do lado e no vértice da seção quadrada. As faces externas da barra estão livres de tensão. 
Assim, como nos vértices da seção temos duas faces externas (livres de tensão) e, devido à 
reciprocidade das tensões de cisalhamentos (Figura II.2), podemos afirmar que todas as 
tensões de cisalhamento são nulas ali, como indicado. Por outro lado, nos pontos situados no 
meio do lado, temos apenas uma face externa, permitindo que ocorra uma componente de 
tensão de cisalhante, que assume o valor máximo neste ponto, como indicam as figura. 
 
 (a) (b) (c) 
Figura IV.11 - Tensões e deformações em barra de seção quadrada 
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A determinação analítica da intensidade a distribução de tensões em barras de seção não 
circular é demasiadamente complexa para os propósitos deste curso. Contudo, podemos 
avaliar o comportamento da barra de forma aproximada fornecida por fórmulas empíricas, 
obtidas a partir de teorias mais sofisticadas e/ou ensaios experimentais. Por exemplo, para 
seções retangulares, a tensão cisalhante máxima e a rotação da seção em torno do eixo da 
barra, de seção transversal constante e submetia a um torçor constante, podem ser obtidas a 
partir das equações1 (IV.14), onde b e h são os lados da seção, T é o momento torçor 
aplicado, G é o módulo de cisalhamento L é o comprimento da barra e  e são os 
coeficientes dados na Tabela IV.1. A Figura IV.12 auxilia a utilização da Tabela IV.1, 
indicando os pontos de tensão máxima e representado linhas de isotensão. 
 
2max bh
T
  (a) ; 3 
 
bhG
LT
  (b) 
 (IV.14) 
Tabela IV.1 – Coeficientes  e para seções retangulares [ref.2] 
 
 
 
 (a) barra sujeita a torção (b) distribuição de tensões na seção transversal 
Figura IV.12 - Distribuição de tensões em barra com seção retangular sujeitas a torção 
 
Fórmulas empíricas para determinar tensões e deformações de barras não circulares oferecen 
resultados bem diferentes dos que poderíamos intuir a partir do estudo de barras cilíndricas 
ou cônicas. Essas formulações estão disponíveis em literatura especializada, tais como livros 
de estruturas metálicas. Na Figura IV.13 apresentamos algumas dessas expressões para seção 
quadrada, retangular (equilátero) e elíptica2. Os pontos sobre o contorno das seções 
transversais indicam onde ocorrem as tensões máximas. 
 
 
3max
 81,4
a
T 
4 
 1,7
aG
LT 
3max
 02
a
T 
4 
 64
aG
LT 
 
33max
 2
ba
T
  
3 3
)22 (
baG
LTba

 
Figura IV.13 - Fórmulas para seções não circulares sob torção 
                                                            
1 A fonte de onde retiramos a equação (IV.14) é a mesma que fornece os coeficientes βα e e que está indicada na legenda da Tabela IV.1 (ref. [2]). Essa equação 
está de acordo com o do livro texto (ref. [1]), que apresenta resultados para seções não circulares que reproduzidos na Figura (IV.13). 
2 Figuras e expressões retiradas do livro texto (ref.[1]). Aqui apresentamos a taxa de rotação dxd / em vez da rotação relativa entre seções )( . Os pontos 
sobre o contorno das seções indicam onde ocorrem as tensões máximas. 
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II.4.3 – Tubos de paredes finas 
Considere um tubo de paredes finas tal como o representado na Figura IV.14a. Como o tubo 
tem peredes finas, o raio interno e externo são semelhantes, não há grande variação de tensão 
ao longo da espessura. Nestas circunstâncias podemos adotar como simplificação que a 
tensão de cisalhamento é constante ao longo da espessura, como representa a Figura IV.14b. 
Note que med é tensão no meio da espessura. 
 
 A Figura IV.14a mostra também um pequeno segmento, com comprimento S, de uma seçãotransversal. Esse segmento é mostrado em detalhe na Figura IV.14c, que procura mostrar que 
a espessura do segmento não é constante, assumindo o valor At junto à aresta A, e Bt junto à 
aresta B. A figura indica ainda que ao longo da espessura At a tensão de cisalhamento assume 
o valor A e, ao longo da espessura Bt a tensão é B . Devido à reciprocidade das tensões de 
cisalhamento, as tensões A e B também atuam nas faces ortogonais à seção transversal, 
como indicado. O segmento isolado na Figura IV.14c está em equilíbrio, e a soma das forças 
que atuam na direção do eixo do tubo deve ser nula, de forma que podemos escrever: 
 
 dx dx BBAA tt    BBAA tt   (IV.15) 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura IV.14 – Tubo de parede fina 
 
A equação (IV.15) informa que o produto da tensão pela espessura é constante. Esta grandeza é representada 
pela letra q e denominada fluxo de cisalhamento, ou seja: 
 
 tq  (IV.16) 
 
onde  é a tensão de cisalhamento em um ponto quanquer da seção, e t é a espessura do tubo 
neste ponto. Se  for dada em 2/ cmKN e t em cm, então q será dado em KN/cm. 
 
Vamos agora avaliar o momento resistido pela tensão de cisalhamento atuando ao longo de 
um segmento ds da seção transversal, conforme a Figura IV.15a, onde mR indica o raio 
médio do segmento ds e dF representa a a força resultante que atua no segmento. O momento 
causado por dF é dado por: 
 
 t dsmRdAmRdFmRdM   (IV.17) 
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(a) 
 
(b) 
Figura IV.15 
 
O momento causado pelas tensões de cialhamento ao longo do tubo deve ser igual ao 
momento torçor aplicado, ou seja: 
 
   dsmRtt dsmRdMT  (IV.18) 
Podemos notar que o produto dsmR contido na integral da equação (IV.18) é o dobro da 
área do triângulo que, na Figura IV.15a, está destacado em cinza escuro, de forma que a 
integral é o dobro da área mA compreendida pela linha tracejada da Figura IV.15b. Assim 
escrevemos: 
 
 mAtT 2   
mAt 2
T  (IV.19) 
O fluxo de cisalhamento pode ser calculado como: 
 
 
mA
q t 2
T   (IV.20) 
 
Lista de exercícios 
Livro:Resistência dos Materiais 
R.C. Hibbeler, 7ª edição 
 
Exemplos : 5.13 a 5.17 
 
 
Problemas: 5.88 a 5.109 
 
Referências 
[1] Livro texto: Resistência dos Materiais, R.C. Hibbeler, 7ª edição, Pearson 
[2] Apostila TORÇÃO PURA em: 
http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=torcao%2C%20sec%C3%A7%C3%A3o
%20quadrada&source=web&cd=1&ved=0CCQQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.uf
f.br%2Fpetmec%2Fdownloads%2Fresmat%2FD%2520-
%2520Torcao%2520Pura.pdf&ei=ZiA9UPTcGMTj0QHdxIHYCg&usg=AFQjCNHPbb
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