Lei de Hooke Generalizada

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RReess.. MMaatt IIII –– RRuubbeennss SSyyddeennssttrriicckkeerr 
MATERIAIS ISOTRÓPICOS
PROPRIEDADES ELÁSTICAS
PARA
1
RReess.. MMaatt IIII –– RRuubbeennss SSyyddeennssttrriicckkeerr 
inicialA
F
=σ
Tensão normal:
Módulo de elasticidade:
iniciall
l
 
∆
=ε
Deformação axial:
θ
Ensaio uniaxial módulo de elasticidade (E) 
A final < Ainicial 
 Efeito de
 Poisson
Obs:
iniciall
finall
F = 0
F = P
inicialfinal lll −=∆
inicialA
finalA
alongamento 
da barra (medido)
2
configuração inicial configuração final
ε
σFazendo o ensaio para vários
estágios de força, traçamos o 
diagrama e definimos 
o módulo de elasticidade.
εσ −
)tan(θ=E
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Diagrama tensão-deformação
Módulo de elasticidade:
)10(
4 −ε
)/( 2cmKNσ
30
40
50
10
20
θ
20105 15 25
εσ E=
E
σ
ε =Dado obtenho σ
Dado obtenho ε
ou
ε
σ
θ
Exemplo (aço):
Dado o diagrama tensão-deformação para um
determinado aço, obter o módulo de elasticidade.
4
2
1025
/50
−×
=
cmKN
E
Lei de Hooke
)tan(θ=E
Solução:
4
2
1020
/40
−×
=
cmKN
E
4
2
105
/10
−×
=
cmKN
E
Então E pode ser calculado como:
ou
ou
2
4102
cm
KN
Eaço ×=
)tan(θ=ESabemos que:
etc.
Resposta:
3
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Exercício resolvido: 
Solução (5 passos):
geometria e 
carregamento:
material:
cm1
2
3102
cm
KN
E ×=
30KN
30KN
cm100
 90986,1 100 cmcmfinalfinal +=∆+= lll
2
22
 7854,0
4
(1cm) 
4
 
cm
D
A ===
ππ
 1972,38
 7854,0
30
22 cm
KN
cm
KN
A
F
===σ
 100986,19
/2000
/1972,38 3
2
2
−×===
cmKN
cmKN
E
σ
ε
 90986,1100100986,19 3 cmcm =××==∆ −ll ε
1)
2)
3)
4)
5)
seção
transversal:
Calcular o comprimento final da barra.
cmfinal 90986,011 =l
4
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Representação de (tensão normal) σ
Convenção de sinais: tração⇒> 0σ
compressão⇒< 0σ
ld
σ
σ
A
F
=σ
s e ç ã o 
t r a n s v
e r s a l
cubo infinitesinal
ld
F
F
l
z
y
x
z
σ
dx
dz
dy
z
σ
5
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Efeito de Poisson
z
y
z
σ
x
z
σ
dx
dz
dy
dy` < dy
dx` < dx
dz` > dz Na direção de o cubo se alonga (tração).
Nas direções transversais a o cubo encurta Efeito de Poisson
z
σ
z
σ
dx`
dz`
dy`
z
σ
zσ
configuração inicial
 (indeformada)
configuração final
 (deformada)
6
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Efeito de Poisson(cont.)
z
y
z
σ
x
z
σ
dx
dz
dy
z
σ
configuração inicial
 (indeformada)
configuração final
 (deformada)
zσ
dz
dz
z
∆
=ε
dx
dx
x
∆
=ε
dy
dy
y
∆
=ε; ;
onde: dzdzdz −=∆ ' dydydy −=∆ ' dxdxdx −=∆ '; ;
As deformações e podem ser medidas avaliando-se
as alterações da geometria do corpo:
zσA tensão causa não apenas como também e .zε xε yε
xε , yz εε
7
z
σ
dx`
dz`
dy`
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z
σ
z
σ
dx`
dz`
dy`
configuração indeformada
 (cubo)
configuração deformada
 (paralelepípedo)
E
z
z
σ
ε =Determinação das deformações:
zyx ενεε −==
Coeficiente de Poisson
Módulo de elasticidade
z
y
z
σ
x
z
σ
dx
dz
dy
8
Coeficiente de Poisson (cont.)
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Exercícios resolvidos 
a) Determinar a geometria deformada do cubo
tensões propriedades elásticas:
2
3108
cm
KN
E ×=
3,0=ν
0 =xσ
2/20 cmKNz −=σ
0 =yσ
Solução:
23
2
/108
/ 20
cmKN
cmKN
E
z
z ×
−
==
σ
ε
)105,2(3,0 3−×−×−=−== zyx ενεε
31075,0 −×== yx εε
z
y
2/20 cmKN
x
10 mm
2/20 cmKN
10 mm
10 mm
3105,2 −×−=zε
ll ε=∆
mmzyx 10=== lll
mmxxx 105,7 
3−×==∆ ll ε
mmyyy 105,7 
3−×==∆ ll ε
mmzzz 1025 
3−×−==∆ ll ε
mmyy
final
y 0075,10=∆+= lll
mmxxfinalx 0075,10=∆+= lll
mmzzfinalz 975,9=∆+= lll
geometria deformada
9
9,975 mm
10,075 mm
10,075 mm
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Exercícios resolvidos 
b) Determinar a geometria deformada
2/10 cmKNx +=σ
2/20- cmKNz =σ
2/50 cmKN-y =σ
componentes de tensão propriedades elásticas
2
3108
cm
KN
E ×=
3,0=ν
Solução:
3
33
1075,0 −×+== yx εε
Efeito 1:
10+=xσ 0=yσ 0=zσ
E
x
x
σ
ε =
1
xzy ενεε −==
; ;
3
1
1025,1 −×+=xε
3
11
10375,0 −×−== zy εε
Efeito 2:
50−=yσ0=xσ 0=zσ
E
y
y
σ
ε =
2
yzx ενεε −==
; ;
3
2
1025,6 −×−=yε
3
22
10875,1 −×+== zx εε
Efeito 3:
0=xσ 0=yσ 20−=zσ
E
z
z
σ
ε =
3
zyx ενεε −==
; ;
3
3
105,2 −×−=zε
Efeito final:
321 zzzz
εεεε ++=
321 xxxx
εεεε ++=
321 yyyy
εεεε ++=
310875,3 −×+=xε
310875,5 −×−=yε
3100,1 −×−=zε
z
y
2/20 cmKN
x
2/50 cmKN
10 mm
10 mm
10 mm
2
/10 cmKN
9,99 mm
9,94125 mm
10,03875 mm
fazendo as contas
10
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Exercícios resolvidos
Solução:
xε , yz εε
z
y
zσ
dz
yσ
xσ
dy
dx
x
Efeito 1: apenas
E
x
x
σ
ε =
1
111
 xzy ενεε −==
Efeito 2: apenas
222
 yzx ενεε −==
Efeito 3: apenas
233
 zyx ενεε −==
Efeito final:
321 zzzz
εεεε ===
321 xxxx
εεεε ===
321 yyyy
εεεε ===
xσ yσ zσ
E
z
yx
σ
νεε −==
33
E
x
zy
σ
νεε −==
11 E
y
zx
σ
νεε −==
22
E
y
y
σ
ε =
2 E
z
z
σ
ε =
3
( )zyxx
E
σνσνσε 
1
−−=
( )
zyxy
E
σνσσνε 
1
−+−=
( )
zyxz
E
σσνσνε +−−= 
1
- propriedades elásticas: E ,ν
coef. Poisson
mod. elasticiadade
- componentes de tensão: zyx σσσ ,,Dados:
11
c) Determinar e .
 
 
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Observações
 1) Tensões e deformações normais
São perpendiculares às
faces em que atuam:
2) Valores adimissíveis 
zyx εεε , e deformações normais
São tais que as arestas do cubo
permanecem ortogonais e retas
arestas ortogonais
e retas
0≥ν
1−>ε
0≥E
12
zyx σσσ e , tensões normais
yσ
xσ
zσ
Tensão de tração causa alongamento
Em um ensaio uniaxial, se houver alongamento na direção da tensão
aplicada, então haverá um encurtamento nas direções transversais.
O volume não pode sumir !
cubo
paralelepípedo
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Observações (cont)
 3) As equações:
(*)
( )pzyx −=== σσσ 4) Considere o caso de pressão hidrostática
podem ser escritas como:
- Se então 0=ν Ep−=ε 
0=ε- Se então 5,0=ν
0>ε- Se então 5,0>ν
É de se esperar uma redução do volume
o volume diminui
o volume não altera
(material incompressível)
o volume aumenta não pode
5,00 ≤≤ν




















−−
−−
−−
=










z
y
x
z
y
x
E
σ
σ
σ
νν
νν
νν
ε
ε
ε
 
1
1
1
1
13
( )zyxx
E
σνσνσε1
−−= ( )zyxy
E
σνσσνε 
1
−+−= ( )zyxz
E
σσνσνε +−−= 
1
p
p
p
; e
( ))21 νεεεε −====
E
p
zyxMas, de acordo com a equação (*), temos que:
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Tensões de cisalhamento
z
y
x
dx
dy
dz yz
τ
,
zyτ
zyτ
,
yzτ
y
xz
τ
x
dx
dy
dz
,
zxτ
,
xzτ
zxτ
z
∑ =→= yxxyzM ττ 0
yxyxxF ττ =→=∑ , 0 
z
yxτ
y
x
dx
dy
dz
,
xyτ
,
yxτxyτ
xyxyyF ττ =→=∑ , 0 
∑ =→= zxxzyM ττ 0
zxzxxF ττ =→=∑ , 0 
xzxzzF ττ =→=∑ , 0 
∑ =→= zyyzxM ττ 0
zyzyyF ττ =→=∑ , 0 
yzyzzF ττ =→=∑ , 0 
z
yxτ
y
xz
τ
,
yzτ
x
dx
dy
dz
yzτ
,
xyτ
,
yxτ
,
zxτ
,
zyτ
,
xzτ
xyτ
zyτ
zxτ
componentes de cisalhamento
14
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xy
τ
z
y
xz
τ
yz
τ
xyτ
xzτ
yzτ
x
dx
dy
dz
Tensões de cisalhamento 
(componentes independentes)
São apenas 3 componentes
independentes: yzxzxy τττ e , 
15
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Deformações de cisalhamento
São deformações angulares, 
também denominadas distorções.
z
y
x
dx
dy
dz
xyτ
.
o90
o90
xyτxyτxyτ
.
xy
o γ+90
xyτ
xyτ
xy
o γ−90
Exemplo:
deformações causadas por : xyτ
deformação de
cisalhamento 
2/
xy
γ
2/
xy
γ
xy
γ−90
xy
τ
xy
τ
xyτ
xyτ
dy
dx
perspectiva vista superior
16
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Deformação de cisalhamento (cont.)
perspectiva
xzτ
xzτ
xz
o γ−90
xz
o γ+90
2/xzγ yzγ−90
2/xzγ
xzτ
xzτ
xzτ
xzτ
dx
dz
z
y
x
dx
dy
dz xz
τ
xzτ .
.
vista lateral
z
y
yzτ
x
dx
dy
dz yzτ
yzτ
yzτ
.
.
o90
o90
vista lateral
dy
dz
2/yzγyz
γ−90
2/yzγ
yzτ
yzτ
yzτ
yzτ
yz
o γ−90
yz
o γ+90
yzτ
yzτ
perspectiva
De forma semelhante:
17
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Módulo de Cisalhamento (G)
G
xy
xy
τ
γ = 
G
yz
yz
τ
γ = 
G
xz
xz
τ
γ =
)2(1
E
 
ν+
=G
módulo de
cisalhamento
Observações:
1) As componentes de cisalhamentos são desacopladas entre si,
 ou seja: causa apenas 
yzγ
xyγ
xzγ
yzτ
xyτ
xzτ causa apenas
 causa apenas
; ;




















=










yz
xz
xy
yz
xz
xy
G
G
G
τ
τ
τ
γ
γ
γ
/1
/1
/1
00
00
00
ou:
onde:
2) Os efeitos normais e de cisalhamento são desacoplados entre si,
 ou seja: 
tenções causam apenas deformações σ ε
γτ tensões causam apenas deformações 
18
medido em radiano
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19
Estado de múltiplo de tensão 










=
z
y
x
σ
σ
σ
σ}{










=
yz
xz
xy
τ
τ
τ
τ}{


























=
yz
xz
xy
z
y
x
D
τ
τ
τ
σ
σ
σ
τ
σ
σ
}{
}{
}{ 3




















=






=
yz
xz
xy
z
y
x
D
γ
γ
γ
ε
ε
ε
γ
ε
ε
}{
}{
}{ 3










=
z
y
x
ε
ε
ε
ε}{










=
yz
xz
xy
γ
γ
γ
γ}{
Agrupamento de tensões e deformações
Tensões e deformações normais
Tensões e deformações de cisalhamento
Agrupamento geral
;
;
z
x
σ
y
σ
z
σ
xy
τ y
xz
τ
yz
τ
xyτ
xzτ
yzτ
x
dx
dy
dz
RReess.. MMaatt IIII –– RRuubbeennss SSyyddeennssttrriicckkeerr 
Lei de Hooke Generalizada
}]{[}{ εσ D=
}{ε










−+
=
ννν
ννν
ννν
νν
-1
-1
-1
)21( )1(
][
E
D










=
G
G
G
G
00
00
00
][




















−−
−−
−−
=










z
y
x
z
y
x
E
σ
σ
σ
νν
νν
νν
ε
ε
ε
 
1
1
1
1 ⇒
com:




























=














yz
xz
xy
yz
xz
xy
G
G
G
τ
τ
τ
γ
γ
γ
 
00
00
00
/1
/1
/1 ⇒ }]{[}{ γτ G=
com:
}{σ
}{γ }{τ
Lei de Hooke Generalizada
com:






}{
}{
τ
σ






}{
}{
γ
ε
}]{[}{ 33 DD E εσ =






=
][]0[
]0[][
][
G
D
E
matriz de elasticidade
20
)2(1
E
 
ν+
=Gonde:
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Exemplo resolvido
Dadas as deformações e propriedades elásticas observadas em um sólido,
determinar os tensões atuantes.
27 /10 mKNE = 30,0=ν0020,0=xε 0010,0=yε 0030,0=zε
0025,0=xyγ 0020,0=xzγ0015,0=yzγ
Solução:




















=




















=
0015,0
0020,0
0025,0
0030,0
0010,0
0020,0
}{ 3
yz
xz
xy
z
y
x
D
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε














=














−
−
−
−+
=
346,1577,0577,0
577,0346,1577,0
577,0577,0346,1
10
3,013,03,0
3,03,013,0
3,03,03,01
)3,0*21)(3,01(
10
][ 7
7
D














=
840,300
0840,30
00840,3
10][ 6G
6
7
1084,3
)3,01(2
10
×=
+
=G
2
6
7
/ 
0,5760
0,7680
0,9600
0,57690
0,42310
0,50000
0015,0
0020,0
0025,0
0030,0
0010,0
0020,0
84,300
084,30
0084,3
10
000
000
0 0 0
 
000
000
0 0 0
 
346,1577,0577,0
577,0346,1577,0
577,0577,0346,1
10
mKN
yz
xz
xy
z
y
x






























=


















































































































=






























τ
τ
τ
σ
σ
σ
21
 
/ 0,5760
/ 0,7680
/ 0,9600
/ 0,57690
/ 0,42310
/ 0,50000
2
2
2
2
2
2
mKN
mKN
mKN
mKN
mKN
mKN
yz
xz
xy
z
y
x
=
=
=
=
=
=
τ
τ
τ
σ
σ
σ
Dados: