Lista de exercícios 2.1 com resolução - EDO Alexsandro

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-A´RIDO
Centro de Cieˆncias Exatas e Naturais - Ensino de Graduac¸a˜o
Equac¸o˜es Diferenciais – Lista 2.1 - Equac¸o˜es de ordem n - Preliminares
Prof. Alexsandro Bele´m – email address: alexsandro.belem@ufersa.edu.br
1. Defina Problema de Valores de Contorno.
2. Verifique que y =
1
4
sin 4x e´ a u´nica soluc¸a˜o de
y′′ + 16y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1.
3. verifique que a func¸a˜o y = cx2 + x+ 3 e´ soluc¸a˜o para o problema de Cauchy
x2y′′ − 2xy′ + 2y = 6; y(0) = 3, y′(0) = 1
no intervalo (−∞,∞) para qualquer escolha do paraˆmetro c. Por que esse problema
de Cauchy na˜o tem uma u´nica soluc¸a˜o?
4. Prove que duas func¸oes sa˜o linearmente independentes em um dado intervalo, se e
somente se, nenhuma delas e´ mu´ltipla da outra nesse intervalo.
5. Defina Wronskiano.
6. (a) Mostre graficamente que f1(x) = x
2 e f2(x) = x|x| sa˜o linearmente independentes
em (−∞,∞).
(b) Mostre que W (f1(x), f2(x)) = 0 para todo x ∈ R.
7. (a) Verifique que y = c1 cosλx + c2 sinλx e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o
diferencial y′′ + λ2y = 0.
(b) Determine valores de λ para os quais o problema de de valor contorno
y′′ + λ2y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 0,
possui soluc¸o˜es na˜o triviais.
(c) Idem para o problema
y′′ + λ2y = 0, y(0) = 0, y(5) = 0.
8. Nos itens a seguir, mostre, calculando o Wronskiano, que as func¸o˜es dadas sa˜o L.I. no
instervalo indicado.
(a) x1/2, x2; (0,∞) (d) 1 + x, x3; (−∞,∞).
(b) sin x, cos x; (0, pi) (e) tan x, cot x; (0, pi/2).
(c) ex, e−x, e4x; (−∞,∞) (f) x, x ln x, x2; (0,∞).
9. Mostre q que as func¸o˜es f1(x) = x e f2(x) = |x| sa˜o linearmente independentes no
intervalo (−∞,∞). O que acontece, no sentido de dependeˆncia linear, nos intervalos
(0,∞) ou (−∞, 0)? Conclua que o intervalo faz toda diferenc¸a para a dependeˆncia
linear.
10. Resolva alguns exerc´ıcios das sec¸a˜o 4.1 do Livro do Zill, subsec¸o˜es 4.1.1 e 4.1.2.
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
EQUAÇÕES DIFERENCIÁVEIS ORDINÁRIAS – EDO 
LISTA 2.1 – RESOLUÇÃO 
MATHEUS MEDEIROS GRANGEIRO 
 
1- Consiste em resolver uma equação diferencial de ordem dois ou maior na qual a 
variável dependente y ou suas derivadas são especificadas em pontos 
diferentes. Exemplo: 𝒂𝟐(𝒙)
ⅆ𝟐𝒚
ⅆ𝒙𝟐
+ 𝒂𝟏(𝒙)
ⅆ𝒚
ⅆ𝒙
+ 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒈(𝒙) sujeita a: 𝒚(𝒂) =
𝒚𝟎, 𝒚(𝒃) = 𝒚𝟏. 
 
2- Se 𝒂𝒏(𝒙) = 𝟎 para algum x no intervalo, então a solução para um PVI linear 
pode não ser única ou nem mesmo existir, de acordo com o Teorema da 
Existência de uma Única Solução. 
 
3- Como 𝒚′ = 𝟐𝒄𝒙 + 𝟏 e 𝑦′′ = 2𝑐, segue que: 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝟐𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒙𝟐(𝟐𝒄) −
𝟐𝒙(𝟐𝒄𝒙 + 𝟏) + 𝟐(𝒄𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑) → 𝟐𝒄𝒙𝟐 − 𝟒𝒄𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝒄𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟔 
→ 𝟔 = 𝟔 
 
4- Se duas funções são linearmente dependentes, então uma é simplesmente uma 
constante múltipla da outra. E, por definição, dizemos que um conjunto de 
funções 𝒇𝟏(𝒙), 𝒇𝟐(𝒙), … , 𝒇𝒏(𝒙) é linearmente independente em um intervalo I 
se ele não é linearmente dependente no intervalo. Logo, conclui-se que duas 
funções são linearmente independentes quando nenhuma delas é múltipla da 
outra em um intervalo. 
 
5- É um teorema que proporciona condição suficiente para a independência linear 
de n funções em um intervalo. Supomos que cada função seja diferenciável pelo 
menos 𝒏 − 𝟏 vezes, se o determinante denotado por 
𝑾[𝒇𝟏(𝒙), 𝒇𝟐(𝒙), … , 𝒇𝒏(𝒙)] for diferente de zero em pelo menos um ponto do 
intervalo I, então as funções serão linearmente independentes no intervalo. 
 
6- a) Pela análise dos gráficos, podemos ver que nenhuma função é uma 
constante múltipla da outra em −∞ < 𝒙 < ∞. Por isso, 𝒇𝟏 𝒆 𝒇𝟐 são 
linearmente independentes em (−∞, ∞). 
 
b) Simplificando, 𝒇𝟏 = 𝒙𝟐 e 𝒇𝟐 = 𝒙², então 𝑾(𝒇𝟏, 𝒇𝟐) = |𝒙² 𝒙²
𝟐𝒙 𝟐𝒙
| = 𝟐𝒙𝟑 −
𝟐𝒙𝟑 = 𝟎 para 𝒙 ≥ 𝟎. Já para 𝒙 < 𝟎, temos 𝒇𝟐 = −𝒙𝟐 e 𝑾(𝒇𝟏, 𝒇𝟐) =
|𝒙² −𝒙²
𝟐𝒙 −𝟐𝒙
| = −𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟎. Portanto, conclui-se que 𝑾(𝒇𝟏, 𝒇𝟐) = 𝟎 para 
todo número real. 
 
7- Substituindo as condições dadas na questão em 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝀𝒙 + 𝒄𝟐 𝒔𝒆𝒏𝝀𝒙, 
temos que 𝒚(𝟎) = 𝒄𝟏 = 𝟎, 𝒚(𝝅) = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝀𝝅 + 𝒄𝟐 𝒔𝒆𝒏𝝀𝝅 = 𝟎. Então, 𝒄𝟏 =
𝟎 𝒆 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏𝝀𝝅 = 𝟎. A equação terá solução não trivial quando 𝒄𝟐 ≠ 𝟎. Então 
podemos concluir que 𝝀 ≠ 𝟎. 
 
8- a) 𝑾 (𝒙
𝟏
𝟐, 𝒙𝟐) = |
𝒙
𝟏
𝟐 𝒙²
𝟏
𝟐
𝒙−𝟏/𝟐 𝟐𝒙
| =
𝟑
𝟐
𝒙𝟑/𝟐 ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒙 < ∞. 
 
b) 𝑾(𝟏 + 𝒙, 𝒙𝟑) = |𝟏 + 𝒙 𝒙³
𝟏 𝟑𝒙²
|. Multiplicando e colocando 𝒙² em evidência, 
temos que 𝑾(𝟏 + 𝒙, 𝒙𝟑) = 𝒙𝟐(𝟑 + 𝟐𝒙) ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 < ∞. 
 
c) 𝑾(𝒔𝒆𝒏𝒙, 𝒄𝒐𝒔𝒄𝒙) = |
𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒄𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
| = −𝟐𝒄𝒐𝒕𝒙 ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒙 < 𝝅. 
 
d) 𝑾(𝒕𝒈𝒙, 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙) = |
𝒕𝒈𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙
𝒔𝒆𝒄²𝒙 −𝒄𝒐𝒔𝒄²𝒙
| = −𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒄𝒙 ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟐
. 
 
e) 𝑾(𝒆𝒙, 𝒆−𝒙, 𝒆𝟒𝒙) = |
𝒆𝒙 𝒆−𝒙 𝒆𝟒𝒙
𝒆𝒙 −𝒆−𝒙 𝟒𝒆𝟒𝒙
𝒆𝒙 𝒆𝒙 𝟏𝟔𝒆𝟒𝒙
| = −𝟑𝟎𝒆𝟒𝒙 ≠ 𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 < ∞. 
 
f) 𝑾(𝒙, 𝒙 𝒍𝒏𝒙, 𝒙𝟐 𝒍𝒏𝒙) = |
𝒙 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒙𝟐𝒍𝒏𝒙
𝟏 𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 𝒙 + 𝟐𝒙 𝒍𝒏𝒙
𝟎
𝟏
𝒙
𝟑 + 𝟐 𝒍𝒏𝒙
| = 𝒙(𝟐 + 𝒍𝒏𝒙) ≠
𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟎 < 𝒙 < ∞.