RESUMO TRIGONOMETRIA

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MATEMÁTICA LINDA TRIGONOMETRIA 
 
PROFESSOR: ANDRÉ (PLANTA). A MATEMÁTICA É LINDA! 1 
 RESUMÃO - TRIGONOMETRIA 
 
 
- TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
TABELA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS 
 
 30º 45º 60º 
 
Sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
 
Cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
 
Tag 
 
3
3
 1 
3
 
 
LEI DOS COSSENOS (TRIÂNGULOS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS SENOS (TRIÂNGULOS) 
 
 
 
 
 
 
 ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER: 
 
 
 
 
 
 
 
 O RADIANO, UNIDADE DE MEDIDA DE ARCO E 
ÂNGULO 
 
 Um radiano (1rad) é um arco cujo comprimento é 
igual ao raio da circunferência que o contém. Um ângulo 
AôB mede 1 rad se, e somente se, determina numa 
circunferência de centro O um arco de 1rad. 
 
 ARCO 
 
 A cada ponto M da circunferência trigonométrica 
associamos medidas em graus ou radianos do arco AM. 
 
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
C = 2r E mede ainda 360º ou 2 rad 
 
ÂNGULO CENTRAL 
 
CONVERSÃO DE UNIDADES 
 
Figura Graus Radiano Grado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  rad é equivalente a 180º 
 
 
 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
 
Seja a circunferência, definimos um ponto A o qual 
daremos o nome de origem dos arcos. Fixamos um sentido 
positivo convencionando-o como anti-horário e um 
negativo como sendo o horário. Nestas condições a 
circunferência passa a ser chamada CIRCUNFERÊNCIA 
ORIENTADA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a2= b2 + c2 – 2bc cos  
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B 
 
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C 
 
r
C
c
B
b
A
a
2
sensensen

 
2
CSen ab
S 
 
2
BSen ac
S 
 
2
ASen bc
S 
 
 90º 
2

 rad 100 gr 
 
 180º 

 rad 200 gr 
 
 
 270º 
2
3
 rad 300 gr 
 
 360º 
2
 rad 400 gr 
 + 
 
 A 
 
 - 
 Estabelecemos um sistema de eixos 
cartesianos, onde o ponto A passa a ser a origem dos 
arcos. Estes eixos dividem a circunferência em quatro 
partes chamados IQ, IIQ, IIIQ e IVQ (quadrantes). 
 MATEMÁTICA LINDA TRIGONOMETRIA 
 
PROFESSOR: ANDRÉ (PLANTA). A MATEMÁTICA É LINDA! 2 
 
 
ARCOS CÔNGRUOS: São aqueles que têm a mesma 
extremidade e se diferenciam apenas pelo número de 
voltas inteiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar a menor determinação: 
 Ex.: 780  360 = 2 e resta 60 
2 voltas completas – Menor determinação 60° 
 
Exemplo: Um móvel, partindo da origem dos arcos, 
percorreu um arco de –3 480º. Quantas voltas completas 
ele efetuou e em que quadrante parou? 
 
 -3480 360 
 +3240 9 
 - 240 
 
 
 
 
 
 
 
 
- FUNÇÃO SENO: É a projeção ortogonal da extremidade 
do ângulo sobre o eixo vertical, o qual será chamado de 
eixo dos SENOS 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO 
 
Domínio: D=   A função seno é definida para todos os 
números Reais. 
Imagem: Im = [-1,+1]  Para todo x, teremos -1 sen 
x +1. 
Período: P = 2  pode-se demonstrar que o período da 
função f(x) = sen cx é dado por 
c
P
2

 
 
 CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CHAMADO SENÓIDE 
 
Teremos maior facilidade de compreender observando as 
posições dos senos da figura. 
 
X 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
y 0 
2
1
 
2
2
 
2
3
 1 0 1 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TÉCNICAS NA OBTENÇÃO DA IMAGEM, DOMÍNIO E 
PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO 
 
 Determinação da Imagem: dado f(x) = 2 senx + 1 
  y = 2 sen x + 1  Isolando sen x 
sen x
2
1

y
 
como sua imagem está entre [-1,+1] podemos 
1
2
1
1 


y
 então -1  y ou y  +3  
Im = { y/ -1<y<+3} ou Im= [-1,3] 
 
 Para a determinação do ponto de partida do 
gráfico, faz-se a média aritmética entre os limites da 
imagem e encontraremos o ponto 1. Conforme o sinal da 
função o gráfico inicia subindo (+) ou descendo (-) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como parou na posição 
240 este valor 
corresponde ao mesmo 
lugar do ângulo de 120º 
no sentido positivo, o 
qual localiza-se no II Q. 
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A 
R 
x 
+ 
 
 
Determinação do Período: Para sua determinação basta 
dividir o coeficiente ox por 2. Obtido o período divide-se 
este número por 4 (correspondente aos quadrantes) e 
distribui-se uniformemente sobre o eixo de x do gráfico . 
 
Ex1 sen x Ex2 3 sen 2x Ex3 4 + cos 3x 
 
1
2
P
 
2
2
P
 
3
2
P
 
Ex4 = cos 
2
x
 
2
1
2
P
 
4 P
 
 
 
- FUNÇÃO COSSENO 
 
 É a projeção ortogonal da extremidade do arco sobre o 
eixo horizontal, o qual será chamado de eixo dos cossenos. 
 
 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO 
 
Domínio: D =   A função cosseno é definida para todos 
os números Reais. 
Imagem: Im = [-1,+1]  Para todo x, teremos -1 cos 
 +1. 
Período: P = 2  pode-se demonstrar que o período da 
função f(x)=cos cx é dado por 
c
P
2

 
CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO CHAMADO COSSENÓIDE 
 
 Teremos maior facilidade de compreender 
observando as posições dos cossenos da figura anterior. 
 
X 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
y 1 
2
3
 
2
2
 
2
1
 0 -1 0 1 
 
 
Interpretação gráfica da função do tipo: o parâmetro c 
nos fornece o período da função. 
 
 
 
 
- FUNÇÃO TANGENTE 
 
Seja uma circunferência, tracemos uma tangente na 
origem. Determina-se o ângulo desejado, prolonga-se o 
lado do ângulo até cortar a reta tangente. Chama-se 
tangente do ângulo x a medida algébrica do segmento de 
origem na origem do circulo trigonométrico (A) e na 
extremidade do prolongamento do ângulo (R). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
senx
tgx
cos

 Período: P =  rad 
 Imagem:  
 D={ x  | x  
2

+k, k } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESBOÇO GRÁFICO 
A reta tangente não é definida em 
2
3
ou 
2

 
por isso dizermos que a tangente NÃO é uma 
função CONTINUA 
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S 
p 
0 
 
 
 
Exemplo: Qual o domínio y = tg ( x – 60º )  
x – 60  90 + K.180  x  150 + K.180 ou 
x  


k
6
5
 D = { x   x – 60  90 + K.180} 
Exemplo: Qual o período y = tg







2
2

x
 
1ª parte 2ª parte 
 
4
2
2
0
2
2






x
x
x
 
4
3
2
3
2
2
2







x
x
x
 
 
 
- FUNÇÃO COTANGENTE 
 
Denomina-se cotangente de x a medida algébrica 
do segmento BD. 
O segmento BD tem origem no eixo OY e extremidade na 
intersecçãoda reta OP, sendo O o ponto central e P a 
extremidade do arco x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio : D = { x / x  k } 
Imagem : Im =  
Período :  rad 
 Se x percorrer qualquer um dos quadrantes, 
então ctg é decrescente. 
 
 
- FUNÇÃO SECANTE 
 
Seja P um ponto da extremidade do ângulo no 
circulo. Consideramos a reta S tangente ao circulo em P e 
S a sua intersecção com o eixo dos cossenos. 
 
Domínio : D = { x    x  


k
2
} 
Imagem : Im =  - ]-1,+1[ 
Período : P = 2 rad 
 
GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- FUNÇÃO COSSECANTE 
 
 Idêntico a secante só que a leitura será deita no eixo 
OY 
 
 Domínio : D = { x  x  k} 
 Imagem : Im =   ]-1 , +1[ 
 Período : P = 2 rad 
 
 
 
 
GRÁFICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SINAIS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
S 
P 
O 
P 
D B 
O 
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COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE 
(FUNÇÕES INVERSAS) 
 
 
 
ARCOS COMPLEMENTARES 
 
 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULAS DERIVADAS 
 
xtagx 22 1sec 
 
 
xgx 22 cot1csc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINAIS DAS FUNÇÕES EM SEUS RESPECTIVOS 
QUADRANTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOS 
 
 
 
 
 
 
 ARCOS DUPLOS 
 
 
 
 
 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
sen2 x = 1 – cos2 x 
cos 2x = 1 – sen2 x 
 SE TA CO 
 12 13 14 
 MATEMÁTICA LINDA TRIGONOMETRIA 
 
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 UM PROCESSO PRÁTICO DE REDUZIR AO 
PRIMEIRO QUADRANTE AS FUNÇÕES DO TIPO: 
 
Função (180-x); função (180+x); função (0-x); função (0+x); 
função (90+x); função (270-x); função (270+x) 
 
PROCEDIMENTOS: 
I. Atribui-se ao ângulo x o valor 10º, por exemplo, 
efetua-se a operação algébrica a fim de determinar o 
quadrante em que se encontra o arco. 
II. Da a função o sinal do quadrante encontrado. 
(Utilize a técnica do SETACO ). 
III. Se o eixo de referência for OX coloca-se a 
mesma função e se for o OY então coloca-se a co-
função. 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
É toda a equação que apresenta uma função 
trigonométrica com um arco desconhecido. 
Técnicas de resoluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver uma equação consistirá em determinar os 
possíveis ângulos que torne a sentença verdadeira. 
 
 Ex1. Senx = 
2
1
 Ex2. 2Cos x = -
3
 
 Senx=Sen30º Cos x = 
2
3

 
 Ou Cos x = Cos 150º 
 
 Senx=Sen150º Cos x = Cos 210º 
 
 {x/x=30º+360ºk} {xx=150º+360ºk} 
 
 {xx=150º+360ºk} 
 
 Ex3. Tag 2x = 
3
 
 tag 2x = tax 
3

 
 2x = 
3

 x = 
6

 {x/x=


k
6
} 
 
EQUAÇÕES CLÁSSICAS: 
 
Ex4. 
1sencos3  xx
 Chamando-se 





vx
ux
cos
sen
 
temos então 
 
1
13
22







uv
uv v=0 e u =1 
v = 
2
1
 e 
2
3
u
 
 
Quando Cos x = 0 e Sen x = 1 logo 
{x/x=


k2
2

} e Cos x = 
2
3
 e 
Sen x = 
2
1

 {xx=


k2
6

} 
 
Ex5. Sen2 x + 4 Cos x = -4 Transformando toda a 
equação para cos (lembrar Sen2 x = 1 – cos2 x) teremos: 
1 – Cos2x + 4Cosx= -4  -Cos2x +4Cosx + 5 =0 
 
  Resolvendo a eq. do 2º grau obteremos 
x1= 5 Excluímos este resultado por absurdo é maior que 1 
e x2 = -1 logo 
 cos x = cos   x =  {x/x=+2k} 
 
 
 
1º Caso 2º caso 3º caso