658073025-Trigonometria

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Matemática 
Trigonometria 
Teoria 
 
Trigonometria no triângulo retângulo 
Consideramos um triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶. 
 
 
 
Podemos definir algumas relações que envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas: o seno, o 
cosseno e a tangente. Definimos essas linhas (ou razões) trigonométricas da seguinte forma: 
 
• 𝑆𝑒𝑛𝑜 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
• Cosseno =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
 
• Tangente =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
seno
cosseno
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Ângulos notáveis 
Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem em diversos exercícios, uma vez que eles estão associados a polígonos 
regulares muito estudados, como o triângulo, quadrado e hexágono. Assim, devemos memorizar os valores 
das razões trigonométricas referentes a esses ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos cossenos 
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, 
menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Ou seja: 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² − 2𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠Â 
𝑏2 = 𝑎² + 𝑐² − 2𝑎 ∙ 𝑐 ∙ cos �̂� 
𝑐2 = 𝑎² + 𝑏² − 2𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos �̂� 
 
 
 
 
 
 
 
 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 
 
𝒔𝒆𝒏 
 
 
1
2
 
 
 
√2
2
 
 
√3
2
 
 
𝒄𝒐𝒔 
 
√3
2
 
 
√2
2
 
 
 
1
2
 
 
𝒕𝒈 
 
√3
3
 
 
 
1 
 
√3 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Lei dos senos 
Seja um triângulo qualquer, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, 
respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é uma 
constante igual a 2r, em que r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛Â
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛�̂�
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛�̂�
= 2𝑟 
 
 
 
Círculo Trigonométrico 
Considere uma circunferência de raio = 1 e centro (0,0). Essa circunferência é chamada de círculo 
trigonométrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Linhas trigonométricas no ciclo 
Á partir do ciclo trigonométrico, definem-se as principais linhas trigonométricas: seno, cosseno e tangente, da 
seguinte maneira: 
 
Percebemos que o sinal do seno, cosseno e tangente de um ângulo mudam de acordo com o quadrante em 
que o ângulo se encontra. 
 
1º Quadrante 2º Quadrante 3º Quadrante 4º Quadrante 
Seno + + - - 
Cosseno + - - + 
Tangente + - + - 
 
 
 
Relações Trigonométricas 
Analisando o círculo, podemos deduzir algumas relações. Dentre elas, se destaca a relação fundamental: 
𝑠𝑒𝑛2(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) = 1 
 
 
Operações com arcos 
Soma e subtração do arco seno 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ∙ cos(𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑏) ∙ cos (𝑎) 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ∙ cos(𝑏) − 𝑠𝑒𝑛(𝑏) ∙ cos (𝑎) 
 
Para ajudar a gravar: “Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a, cosseno b, seno b, cosseno a” 
 
 
 
Soma e subtração do arco cosseno 
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) ∙ cos(𝑏) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑏) 
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) ∙ cos(𝑏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑏) 
 
Para ajudar a gravar: “Coça a, coça b troca sem saber” ou “Coça-coça, senta-senta” 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Soma e subtração do arco tangente 
 
𝑡𝑔(𝑎 + 𝑏) = 
𝑡𝑔(𝑎) + 𝑡𝑔(𝑏)
1 − 𝑡𝑔(𝑎) ∙ 𝑡𝑔(𝑏)
 
𝑡𝑔(𝑎 − 𝑏) = 
𝑡𝑔(𝑎) − 𝑡𝑔(𝑏)
1 + 𝑡𝑔(𝑎) ∙ 𝑡𝑔(𝑏)
 
 
Para ajudar a gravar: “Tem gente que ama, tem gente que ama e beija” 
 
 
 
Arcos duplos 
• cos(2𝑎) = 1 − 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛²(𝑎) 
• 𝑠𝑒𝑛(2𝑎) = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑎) ∙ cos (𝑎) 
• 𝑡𝑔(2𝑎) = 
2∙𝑡𝑔(𝑎)
1−𝑡𝑔²(𝑎)
 
 
 
Função seno 
A função seno é definida como 𝑓: ℝ → ℝ, tal que 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙. Ou seja, associa cada numero real 𝑥 ao seu 
seno. 
 
A função seno é crescente no primeiro e quarto quadrantes e descrescente no segundo e terceiro quadrantes. 
Com relação à simetria, a função seno é uma função ímpar, ou seja: 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Função cosseno 
A função cosseno é definida como 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙. Ou seja, associa cada número real 𝑥 ao seu 
coseno. 
 
A função cosseno é decrescente no primeiro e segundo quadrantes e crescente no terceiro e quarto 
quadrantes. Com relação à simetria, a função seno é uma função par, ou seja: 𝑐𝑜𝑠 (−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 
 
 
 
Funções Trigonométricas Compostas 
Podemos inserir constantes que somam, subtraem, multiplicam ou dividem elementos da lei de formação de 
uma função trigonométrica. Essas operações podem alterar o período e a imagem da função. Sendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 
𝑑 as constantes reais, podemos escrever 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑐𝑥 + 𝑑) 
ou 
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥 + 𝑑) 
 
• Constantes multiplicativas provocam movimento de mola no gráfico, esticando-o ou comprimindo. 
• Constantes de soma provocam movimento de translação no gráfico, “arrastando” todos seus pontos. 
• Se as constantes são externas ao seno ou cosseno, esse movimento é vertical. 
• Se as constante são internas ao seno ou cosseno, esse movimento é horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Calcule o valor de 𝑥 e 𝑦 nas figuras abaixo, utilizando seus conhecimentos sobre razões trigonométricas 
de ângulos notáveis: 
a) b) 
 
 
2. Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60 graus, 
conforme a figura abaixo: 
 
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é: 
a) 5(5 + √15) 
b) 5(5 + √5) 
c) 5(5 + √13) 
d) 5(5 + √11) 
e) 5(5 + √7) 
 
 
3. O ângulo de 179° se encontra em qual quadrante? 
a) primeiro 
b) segundo 
c) terceiro 
d) quarto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
4. A tangente do arco de 135° 
a) 
𝟏
𝟒
 
b) 
−1
2
 
c) -1 
d) 
√2
2
 
 
 
5. Determine a lei de formação da função senoide 𝑓: [0; 4𝜋] → ℝ que pode ter gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
1. (Enem, 2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado 
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-
se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se número de graus 
que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a 
a) uma volta completa. 
b) uma volta e meia. 
c) duas voltas copletas. 
d) duas voltas e meia. 
e) cinco coltas completas. 
 
 
2. (Enem, 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por 
motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções. Um prédio, quando 
construído, dispunha-se verticalemnte e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um 
ângulo 𝛼, e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o colo tem largura medindo 1,80 metro, 
conforme mostra a figura. 
 
O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a 
apresentada. 
Ângulo 𝜶 (grau) Seno 
0,0 0,0 
1,0 0,017 
1,5 0,026 
1,8 0,031 
2,0 0,034 
3,0 0,052 
 
Uma estimativa para o ângulo de inclinação 𝛼, quando dado em grau, é tal que 
a) 0 ≤ 𝛼b) 0,03 𝜋 
c) 0,06 𝜋 
d) 0,12 𝜋 
e) 0,18 𝜋 
 
 
4. (Enem, 2018) Sobre um sistema cartesiano conseidera-se uma malha formada por circunferências de 
raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, 
separadas por ângulos de 𝜋/6 rad, conforme a figura. 
 
Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, 
não podendo passar pela origem (0;0). Considere o valor de 𝜋 com aproximação de, pelo menos, uma 
casa decimal. Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto 
A, um objeto deve percorrer uma distância igual a 
a) 
2∙𝜋∙1
3
+ 8 
b) 
2∙𝜋∙2
3
+ 6 
c) 
2∙𝜋∙3
3
+ 4 
d) 
2∙𝜋∙4
3
+ 2 
e) 
2∙𝜋∙5
3
+ 2 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
 
5. (Enem, 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de lago formando um ângulo 𝑥 com a sua 
superfície, conforme indica a figura.Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade 
luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por 𝐼(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) sendo 
𝑘 uma constante, e supondo-se que 𝑥 está entre 0° e 90°. 
 
Quando 𝑥 = 30°, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo ? 
a) 33% 
b) 50% 
c) 57% 
d) 70% 
e) 86% 
 
6. (Enem, 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, 
comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma 
quebra de quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, 
postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura. 
 
Um arquiteto projeta um pergolando com vãos de 30 cm de distência entre suas vigas, de modo que, 
no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção 
das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino gere 
a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia. 
 
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser 
construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de 
a) 9 
b) 15 
c) 26 
d) 52 
e) 60 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
7. (Enem, 2018) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel 
transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O 
raio da base do cilindro mede 6/𝜋 cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, 
como na figura. 
 
O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é 
a) 36√3 
b) 24√3 
c) 4√3 
d) 36 
e) 72 
 
 
8. (Enem, 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa 
de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, 
no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes 
é de 10 cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano 
cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as 
hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse 
de 120o. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do 
grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está 
representada pelo ponto A conforme a figura. 
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. 
Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em 
qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser 
utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados. 
 
Tipo de material Intervalo de valores do raio (cm) 
I 0= 0,03 
Portanto, de acordo com as informações da tabela, podemos afirmar que 𝛼 ∈ [1,5; 1,8[ 
 
3. D 
Desde que PRQ é inscrito, podemos concluir que o menor arco PQ corresponde a 2𝜋/5 rad. Portanto, a 
resposta é igual a 
2𝜋
5
∙ 0,3 = 0,12𝜋 𝑘𝑚 
 
4. A 
O menor caminho, por inspeção, corresponde ao comprimento de 8 segmentos de reta de medida igual a 
1, somado ao comprimento do arco definido pelo ângulo central de 
4𝜋
6
∙ 1 =
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 e raio 1, ou seja, 
2𝜋
3
+ 8. 
 
5. B 
O seno de 30° é igual a 
1
2
, portanto: 
𝐼(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛(30°) =
𝑘
2
= 0,5𝑘 
Logo, a intensidade luminosa se reduz a 50%. 
 
6. C 
Considere a vista frontal do pergolado. 
 
Seja h a altura das vigas do pergolado. 
No momento em que os raios de luz fazem 30° com a vertical, tem-se o desejado. Assim, aproximado 
√3 por 1,7, vem 
𝑡𝑔30° =
15
ℎ
⇒
√3
3
=
15
ℎ
⇒ ℎ = 15√3 ⇒ ℎ ≅ 26 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática 
7. B 
Seja ℎ a altura do cilindro. Na figura é possível perceber que foram dadas seis voltas em torno do cilindro. 
Logo, o cateto adjacente ao ângulo de 30° mede 
6 ∙ 2𝜋 ∙
6
𝜋
= 72𝑐𝑚 
Portanto, temos 
𝑡𝑔30° =
ℎ
72
⇔ ℎ = 24√3𝑐𝑚 
 
8. D 
O compasso forma, com superfície do papel, um triângulo isóscele de lados 10,10 e R (raio), e ângulos 
120, 30 e 30 graus. Sabendo-se disto, pode-se calcular o raio R: 
𝑅
𝑠𝑒𝑛120°
= 
10
𝑠𝑒𝑛30°
⇒ 𝑅 ∙
1
2
= 10 ∙
√3
2
⇒ 𝑅 = 10√3 = 17 𝑐𝑚 ⇒ 15