1340902 Lista 01 Retas e Planos

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PUC MINAS- ÁLGEBRA LINEAR – LISTA DE EXERCÍCIOS : RETAS E 
PLANOS . PROF. OSVALDO 
1. Determine se as retas r1 e r2 são paralelas, concorrentes, reversas ou 
coincidentes. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de 
interseção. 
 :1r







tz
ty
tx
4
3
21
 :2r







sz
sy
sx
34
22
53
 
2. Determine a equaçao do plano determinado pelas retas paralelas: 
 :1r







tz
ty
tx
2
21
 :2r







sz
sy
sx
3
32
62
 
3. 
a)Determine a equação da reta que passa por P(4, -7, 4) e é perpendicular ao 
plano x – 3y + z + 4 = 0. 
b) Deternine o ponto de interseção da reta e do plano acima. 
c) Determine as coordenadas do ponto simétrico de P(4, -7, 4) em relação ao 
plano x – 3y + z + 4 = 0. 
4. Determine as equações paramétricas e na forma simétrica das retas 
abaixo. 
a) Reta que passa pela origem e pelo ponto (1,2,3). 
b) Reta que passa pelos pontos (-1,0,5) e (4,-3,3) 
R: a) x = t , y = 2t , z = 3t b) x = -1 + 5t , y = -3t , z = 5 – 2t 
5. Determine se as retas L1 e L2 são paralelas, reversas ou concorrentes. 
Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção das mesmas. 
a) L1: x = -6t , y = 1 + 9t , z = -3t 
 L2: x = 1 + 2s , y = 4 – 3s , z = s 
b) L1: x = 1 +t , y = 2 - t , z = 3t 
 L2: x = 2 - s , y = 1 + 2s , z = 4 + s 
23
1
1
2: 
3
1
4
5
2
4:)
2
1
zyxL
zyxLc



 
Resp :a) paralelas b) reversas c) reversas 
 
6. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (6,3,2) e é 
perpendicular ao vetor (-2,1,5). Resp : -2x + y + 5z -1 = 0 
7. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (0,1,1), (1,0,1) e 
(1,1,0). 
Resp: x + y + z -2 = 0 
8. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (4,-2,3) e é 
paralelo ao plano 3x – 4z = 12. Resp: 3x – 4y – 20 = 0 
9. Determine as coordenadas do ponto simétrico de P(4,-7,4) em relação 
ao plano 
 ∏: x – 3y + z +4 = 0 Resp: (-2,11,-2) 
10. Determine a equação reduzida do plano que contém os pontos A(2,-1,6) 
e B(1,-2,4) e é perpendicular ao plano ∏: x – 2y - 2z + 9 = 0 Resp: 2x 
+4y -3z +18 = 0 
11. Determine a projeção ortogonal do ponto A(2, -1, 3) sobre a reta 
x = 3t 
y = -7 + 5t 
z = 2 + 2t 
Resp:( 3, -2, 4) 
12. Determine o ponto simétrico de P(1 ,2, 1) em relação à reta 
x = -2t 
y = t 
z = -t 
Resp:(-1/3 , -7/3, -2/3) 
13. Determine o ponto simétrico de P(4, -7, 4) em relação ao plano x – 3y + 
z + 4= 0 . 
14. Determine a equação do plano que passa pelo ponto (4,-2,3) e é 
paralelo ao plano 3x – 7y = 12; 
15. 
a)Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 
(5,1,0) e que é perpendicular ao plano 2x – y + z =1 . 
b)Em que pontos essa reta intercepta os planos coordenados? 
16. Determine a equação do plano que passa pelos pontos (3, -1, 2) , (8, 
2, 4) e (-1, -2, -3) 
17. Determine a equação do plano determinado pelo ponto P(3,-1,2) e pela 
reta 







tz
ty
tx
r
23
2: 
18. Seja r uma reta que passa pelo ponto Q(5,2,1) e é perpendicular ao 
plano 𝜋: x – y + 2z + 1 = 0 . 
a) Determine uma equação paramétrica da reta r; 
b) Determine o ponto de interseção da reta r com o plano 𝜋; 
c) Calcule a distância do ponto Q ao plano 𝜋. 
19. Determine a equação reduzida do plano que contém as retas 
𝑟ଵ : ቄ
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑧 = −3𝑥 − 2 𝑒 𝑟ଶ ∶ ൝
𝑥 = −1 + 2𝑡
𝑦 = 4𝑡
𝑧 = 3 − 6𝑡
 . 
20. As equações paramétricas de uma reta r são dadas por 
 𝑟 ∶ ൝
𝑥 = 0
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 𝑡
 . 
 
a)Mostre que r está no plano 6x + 4y – 4z = 0 
b) Mostre que r é paralela ao plano 5x – 3y + 3z = 1 
c) Verifique se r é concorrente com o plano x + y + z = 4. Caso seja, determine 
o ponto de interseção. 
21. Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas 
das retas nos seguintes casos: 
 a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v =(3,1,4); 
 b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; 
 c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e 
pelo vetor diretor v =(2,–2,3); 
 d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos 
pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); 
 e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
2
1z
3
4y
5
2x:r 

 ; 
 f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2); 
 g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0); 
 h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ; 
 i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ. 
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , 







m41z
m2y
m31x
 , 
4
1z
1
2y
3
1x  , 





9y4z
7y3x
 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , 







m53z
m1y
m2x
 , 
5
2zy3x

 , 





13x5z
3xy
; 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , 







m33z
m22y
m21x
 , 
3
3x
2
2y
2
1x 

 , 






y
2
3z
1yx
 ; 
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 







2z
m5y
m31x
 , 2z ; 5y
3
1x  ; 
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , 







m2z
m31y
m52x
 , 
2
z
3
1y
5
2x 

 , 








2
2z3y
2
4z5x
 ; 
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , 







m9z
7y
m6x
 , 7 y; 9z6x  ; 
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 







4z
m3y
m8x
 , 4z ; 
3
y
8
x  ; 
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 





1z
2y
 ; 
 i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 





0y
8x
. 
 
22. Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do 
triângulo de vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta 
suporte do lado AB do triângulo. 
Sugestão : as coord do baricento são as médias aritméticas das 
coordenadas dos pontos. RESP: 
1
1z
3
3y
2
2x

 . 
23. A reta 
3
z
5
4
4
2x:r  , forma um ângulo de 300 com a reta 
determinada pelos pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n. 
RESP: n=7 ou 1 
24. Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 
21 rr  , com 









m2z
m21y
m3x
:r e 
2
1z
4
3y
2
1x:r 21 . 
RESP: 





2xz
1xy
 
25. Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a 
cada uma das retas: 
 a) 
2
8z
10
44y2x:r e 3z
4
y2
2
3x:s

 , e que passa pelo 
ponto P(2,3,5); 
 b) 
3
z
2-
y-24 x:r e 3z3
4
y2
2
2x:s



 , e que passa pelo ponto 
P(2,–3,1); 
 c) 





18x10z
3x2y
:r e 








2
27y6z
2
1y2x
:s , e que passa pelo ponto P(3,3,4). 
 RESP: a)t: 







m125z
m53y
m2x
 







m61z
m73y
m42x
:t)b c) 







m34z
m133y
m43x
:t 
26. São dadas as retas 





1z2y
1zx
:r e 




5zy
3zx
:s e o ponto A(3,–2,1). 
Calcule as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, 
respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do 
segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 
27. Determine o ponto O', simétrico da origem O dos eixos coordenados, 
em relação a reta 
2
4z1y
1
2x:r



 . 
RESP: 




3
2,
3
5,
3
1'O 
28. Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a 
reta 
4
2z1y
2
1x:s  . 
 RESP: 




21
101,
21
20,
21
2'A 
29. Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 
4,5) e que é perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). 
RESP: 







m5z
m24y
1x
:r 
30. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é 
perpendicular à reta 
1
2z
2
y
3
1x:s

 . 
RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33) 
31. Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que 
seja concorrente com a reta 





2z2y
1z3x
:r e seja ortogonal ao vetor 
 1,0,2v  . 
RESP: 
2
1_z
1
3y1x:s 

 
32. Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: 
 a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor v =(2,–3,1); 
 b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores kjia

 e 
k2jib

 ; 
 c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2); 
 d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2); 
 e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3); 
 f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v =(2,–1,1) e w =( –
3,1,2); 
 g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
 h) contém as retas 
2
1z
2
2y
3
7x:r

 e 
4
5z
3
2y
2
1x:s 

 ; 
 i) contém as retas 3z1y
2
x:r  e 
2
z
2
2y
4
1x:s  ; 
j) que contém as retas 0z,
2
2y
2
2x:s e 
4z
ty
t3x
:r 









; 
k)contém as retas 
4
z
1
y
2
1-x:s e 
1x3z
3x2y
r 







; 
l) passa pela reta 1z
2
y
2
1x  e é paralelo à reta 
4
4z
1
2y
2
3x 

 
RESP: a) :2x3y+z7=0 b) :xyz=0 
 c) :12x+2y9z+22=0 d) :12x+2y9z+22=0 e) :6x14yz+7=0 
f) :x+yz5=0 g) :y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 
i) :yz2=0 j) :4x+4y+3z=0 k) :11x+2y5z11=0 
l) :3x2y2z1=0 
33. Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes 
casos: 
 a) 





01yx
01zy2x
 b) 





04z2y3x
03zyx3
 
 c) 





013y3x2
08zy2x
 d)





07zy2x
01zy2x3
 
 RESP: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) 
2
1z2yx

 
 c)
7
z
2
7
29y
3
7
2x
:r 




 d)
4
7z4y
2
x  
 
34. Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é 
perpendicular à reta z
3
1y
2
x:r  . 
RESP: :2x + 3y  z +4 = 0 
35. Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar: 
 a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ; 
 b) a projeção ortogonal de P sobre ; 
 c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ; 
 d) a distância de P ao plano . 
RESP: a) 
t3z
t2y
t25x
r







 b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) 62d  
36. Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e 
B(3,1,2) e é perpendicular ao plano : 2x+yz+8-0. 
RESP: :x12y10z5=0 
37. Um plano , traçado por P(3,3,1) intercepta os semi-eixos coordenados 
positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que
||OB||2||OA||  e || OC||3 ||OA||  .Estabeleça a equação geral de 
. RESP: ;x+2y+3z6=0 
38. Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos 
planos 1: 3x–2y–z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo 
ponto M(2,0,1). 
 RESP: :9x+2y5z13=0 
39. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-
1,0,0) e é paralela a cada uma dos planos 1: 2x–y–z+1=0 e 
2:x+3y+z+5=0. 
 RESP: 







t7x
t3y
t21x
 
40. Determinar equação geral do plano ,que passa ponto A(4, 1, 0) e é 
perpendicular aos planos 1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 2: x + y + 2z -3 = 0. 
RESP: :2x8y+ 3z=0 
41. Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta 





07zyx2
01zy2x
. 
 RESP: :2x+3y+x+1=0 
42. Determinar a equação do plano  , que passa pelo ponto P(2, 5, 3) e é 
perpendicular à reta r, interseção dos planos 1: x  2y + z  1 = 0 e 
2:3x + 2y  3z + 5 = 0. 
RESP: : 2x + 3y + 4z  31 = 0 
43. Determinar a equação do plano que passa pela reta 





04z3y4x
06z5y2x3
:r , é paralelo à reta 
3
1z
3
5y
3
1x:s

 . 
RESP: :3x + 2y + 5z + 6 = 0 
44. Dados os planos 1:2x + y  3z + 1 = 0, 2:x + y + z + 1 = 0 e 3:x  2y + 
z + 5 = 0, ache uma equação do plano que contém 12 e é 
perpendicular a 3. 
RESP: :x + y + z +1= 0 
45. Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e 
o plano 
 :5x+4y10z20=0. RESP: 
VT= 3
20 u.v. 
46. Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano : x-
y+z2 =0. 
 RESP: R: A'(3,2,4) 
47. Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), 
determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura 
o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0. 
RESP: : 0
10
3x  
48. Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e zy
2
1x:s  . Seja A o ponto 
onde s fura o plano :xy+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos 
onde r fura os planos XOZ e XOY,respectivamente. Calcule a área de 
triângulo ABC. RESP: S= ua
2
3