Pêndulos Acoplados

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Figuras de Lissajous a partir de dois Osciladores Harmônicos Simples acoplados à 90°
Autores: Murilo Machado Costa, Kleber Briz Albuquerque. Revisado por: Camila Gasparin
04/2013
	
Já parou pra pensar?
Como podemos relacionar oscilações mecânicas acopladas com os harmônicos resultantes deste movimento? Iremos tratar das figuras ou curvas de Lissajous, que foram inicialmente estudadas em 1815 por Nathaniel Bowditch e depois mais a fundo por Jules Antonie Lissajous em 1857. Vários experimentos demonstram estas figuras e o acoplamento, e as figuras geradas podem ser utilizadas para o diagnóstico eletrônico. Neste roteiro discutiremos o experimento da figura 1. Nesta situação temos dois osciladores harmônicos acoplados em 90° associados a uma caneta e um conjunto de peso. 
O que iremos discutir?
O objetivo é estudar o período deste pêndulo e como as figuras formadas se relacionam com as variáveis do experimento como comprimento dos osciladores e peso.
Vamos responder?
Figura
 
1	É importante salientar que devemos considerar que cada Oscilador Harmônico Simples executa movimento em um eixo e, portanto, a figura que há de se formar será uma figura bidimensional, ou seja, no plano OXY, que é o plano da mesa da figura 1.
	A equação que representa cada Oscilador Harmônico Simples (OHS) pode ser escritas por: ω1 (frequência de oscilação)
x = A1.sin(ω1t)
y = A2.sin(ω2t + θ)
Em que:
A1 e A2 : amplitudes de oscilação;
ω1 e ω2 : freqüência angular de oscilação;
θ: diferença de fase entre os movimentos dos OHS.
Para o estudo do experimento e seus resultados podemos usar o modelo supracitado dos OHS e estudar alguns casos especiais:
Para amplitudes A1 = A2, ω1 = ω2 e diferença de fase θ = 0, temos:
x =A.sin(ωt) 
	 	 x = y
y =A.sin(ωt) 
e, portanto, o gráfico do movimento será uma reta que passa pela origem e tem todos os valores x = y, sendo uma reta.
Para amplitudes A1 = A2 , ω1 = ω2 e diferença de fase θ = , temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.sin(ωt + ) 		
mas como sin(ωt + ) = sin(ωt).cos () + sin()cos(ωt), e como, cos() = 0 e sin() = 1, temos y =A.cos(ωt)
Elevando ambas equações ao quadrado e somando-as, temos: 	 
 x = A.sin(ωt) 2 
+ y = A.cos(ωt)	 => x2 +y2 = A2 (sin²(ωt) + cos²(ωt)) 
 como sin²(ωt) + cos²(ωt) = 1, vem que x2 +y2 = A2 que é a equação de uma circunferência de raio r=A com centro na origem do sistema (0,0).
Para amplitudes A1 = A2 , ω1 = ω2 e diferença de fase θ = , temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.sin(ωt + ) 	
como: sin(ωt + ) = sin(ωt).cos() + sin().cos(ωt) e sabendo que 
cos() = sin(), então chamaremos: cos() = sin() = c (constante) e substituindo nas expressões dos OHS, temos:
x =A.sin(ωt) 
y =A.c. [sin(ωt) + cos(ωt)] 
que é a forma parametrizada de uma elipse rotacionada.
Alterando os parâmetros e as condições iniciais, pode-se obter diversas outras parametrizações das figuras que aparecem durante o experimento, mas os cálculos destas parametrizações são muito avançados para o propósito deste trabalho como pode-se ver na figura 2. 
Figura
 2
Referências
[1]USP. Centro de Divulgação Científica e Cultural. Espaço de física. Figuras de Lissajous. Disponível em: <http://www.cdcc.usp.br/exposicoes/fisica.html>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[2]CEFET BA. Figuras de Lissajous. Applet. Disponível em: <http://www.cefetba.br/fisica/NFL/fge2/FigurasDeLissajous/figurasDeLissajous.html>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[3]BRAGA, NEWTON C. Figuras de Lissajous. INSTITUTO NEWTON C. BRAGA. Disponível em: <http://www.newtoncbraga.com.br/index.php/instrumentacao/108-artigos-diversos/689-figuras-de-lissajous>. Acesso em:  26 de Abril de  2013. 
[4]SAAB, SERGIO DA COSTA. Figuras de Lissajous. UEPG. Disponível em:
< http://www.fisica.uepg.br/professores/saab/apostila%20exp%20II%202006%20pdf/figuras%20de%20lissajous.PDF>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[5]MONTEIRO JUNIOR, FRANCISCO NAIRON; CARVALHO, JOAO JOSE CALUZI WASHINGTON LUIZ PACHECO. O aparato de Lissajous e o ensino Experimental das Vibrações Mecânicas. Encontro Nacional de Pesquisa em Educação em Ciências. Disponível em: < http://posgrad.fae.ufmg.br/posgrad/viienpec/pdfs/349.pdf>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[6]NETTO, LUIZ FERRAZ. Pêndulo duplo de Airy-Blackburn. Disponível em: < http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_28.asp>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.
[7]MARTINS, BRUNA GRAZIELA. Pêndulo duplo de Airy-Blackburn. Disponível em: < http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2009/BrunaG-Ennio_RF2.pdf>. Acesso em: 26 de Abril de 2013.