Integração Numérica - Resumo

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 1
Integrac¸a˜o Nume´rica-Resumo
Antes de iniciar os exerc´ıcios algumas observac¸o˜es sa˜o va´lidas.Vejamos quais:
1. Refac¸a as contas propostas, erros podem ter sido cometidos.Se voceˆ ja´ sabe encontrar erros
alegre-se e´ sinal que ja´ esta´ sabendo algo.
2. Atenc¸a˜o para o estudo do |f (n)(t)| com n = 2 ou n = 4 e considerar os seguintes casos:
(a) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o positiva e crescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(tn)|
(b) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o positiva e decrescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} =
|f (n)(t0)|
(c) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o negativa e crescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(t0)|
(d) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o negativa e decrescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} =
|f (n)(tn)|
3. A ana´lise feita na observac¸a˜o acima, na˜o necessariamente e´ a u´nica forma de fazer.Uma maneira
alternativa e´ o esboc¸o do gra´fico no intervalo considerado.
4. Na generalizac¸a˜o da Regra do Trape´zio, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro que
satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas e encontrarmos n >
3, 4 , devemos tomar n = 4 como resposta.
5. Na generalizac¸a˜o da Regra de
1
3
de Simpson, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro
par que satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas e encontrar-
mos n > 4, 4 , devemos tomar n = 6 como resposta.
6. Na generalizac¸a˜o da Regra de
3
8
de Simpson, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro
multiplo de 3 que satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas
e encontrarmos n > 7, 4 , devemos tomar n = 9 como resposta.
Exerc´ıcios
1. Determine o menor nu´mero de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0, 1; 0, 7] para
calcular ∫ 0.7
0.1
(e−3x + 7x) dx
usando a regra dos trape´zios com um erro menor ou igual a 0, 1
Soluc¸a˜o
1
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 2
Queremos determinar um nu´mero n, tal que |E| ≤ 0, 1.
O erro na generalizac¸a˜o da Regra do Trape´zio e´ limitado pela seguinte expressa˜o:
|E| ≤ h
3
12
n.max{|f (2)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn}
Agora, observe que :
f (2)(t) = 9e−3t
h =
0.7− 0.1
n
⇒ h = 0.6
n
Tome g(t) = f (2)(t) = 9e−3t.Como
g′(t) = f (3)(t) = −27e−3t < 0,∀t ∈ [0.1, 0.7]
Como g(t) e´ decrescente e g(t) > 0 ∀t ∈ [0.1, 0.7] temos:
|g(0.1)| = max{|f (2)(t)|, 0.1 ≤ t ≤ 0.7} = 6.66736
Assim, temos
(0, 6)3
n3
12
.n.|g(0.1)| ≤ 0.1⇒ n ≥
√
(0.6)3
12× 0, 1 × |g(0.1)| ⇒ n ≥
√
(0.6)3
12× 0, 1 × |g(0.1)| ⇒ n ≥ 1, 09
Como n deve ser o menor nu´mero inteiro tal que n ≥ 1, 09 temos n = 2
2. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )-Determine o menor nu´mero de subin-
tervalos em que podemos dividir o intervalo [1, 6; 5, 6] para calcular∫ 5.6
1.6
(ln(x + 8)− 2x) dx
usando a regra
1
3
de Simpson Generalizada com um erro menor que 0, 001.
Soluc¸a˜o
Queremos determinar o menor nu´mero inteiro par n, tal que |E| ≤ 0, 001.
O erro na generalizac¸a˜o da Regra
1
3
de Simpson e´ limitado pela seguinte expressa˜o:
|E| ≤ h
5
180
n.max{|f (4)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn}
Agora, observe que :
f (4)(t) = − 6
(t + 8)4
h =
5.6− 1.6
n
⇒ h = 4
n
Tome g(t) = f (4)(t) = − 6
(t + 8)4
.Como
g′(t) = f (5)(t) =
24
(t + 8)5
> 0, ∀t ∈ [1.6, 5.6]
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 3
Como g(t) e´ crescente e g(t) < 0 ∀ t ∈ [1.6, 5.6] temos:
|g(1.6)| = max{|f (4)(t)|, 1.6 ≤ t ≤ 5.6}
Assim, temos
(4)5
n5
180
.n.|g(1.6)| ≤ 0, 001⇒ n ≥ 4
√
(4)5
180× 0, 001 × |g(1.6)| ⇒ n ≥
4
√
(4)5
180× 0, 001 × |g(1.6)| ⇒ n ≥ 1, 4159
Como n deve ser o menor numero inteiro par, temos n = 2
3. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )- Determine o menor nu´mero de subin-
tervalos em que podemos dividir o intervalo [0; 1] para calcular∫ 1
0
(e−x
2
) dx
usando a Regra
3
8
de Simpson Generalizada com um erro menor que 0, 001.
Soluc¸a˜o
Queremos determinar o menor nu´mero inteiro n, multiplo de 3, tal que |E| ≤ 0, 001.
O erro na generalizac¸a˜o da Regra
3
8
de Simpson e´ limitado pela seguinte expressa˜o:
|E| ≤ h
5
80
n.max{|f (4)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn}
Agora, observe que :
f (4)(t) = 4e−x
2
(4x4 − 12x2 + 3)
h =
1− 0
n
⇒ h = 1
n
Tome g(t) = f (4)(t) = 4e−t
2
(4t4 − 12t2 + 3).Como
g′(t) = f (5)(t) = 8te−t
2
(4t4 − 20t2 + 15) > 0,∀t ∈ [0, 1]
Como g(t) e´ crescente e g(t) > 0 ∀ t ∈ [0, 1] temos:
|g(1)| = max{|f (4)(t)|, 0 ≤ t ≤ 1}
Assim, temos
(1)5
n5
80
.n.|g(1)| ≥ 0, 001⇒ n > 4
√
(1)5
80× 0, 001 × |g(1)| ⇒ n ≥
4
√
(1)5
80× 0, 001 × |g(1)| ⇒ n ≥ 3, 0967
Como n deve ser o menor numero inteiro multiplo de 3 tal que n ≥ 3, 0967 temos n = 6
4. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )- Calcule a integral:∫ 1
0
3e−x dx
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 4
(a) Usando a Regra de 1
3
de Simpson Generalizada com h =
1
6
Soluc¸a˜o
Inicialmente observe que se h =
1
6
, teremos:
x0 = 0, x1 =
1
6
, x2 =
2
6
, x3 =
3
6
x4 =
4
6
, x5 =
5
6
, x6 = 1
f(x0) = 3, f(x1) = 2, 5394, f(x2) = 2, 1496, f(x3) = 1, 8196, f(x4) = 1, 5403
f(x5) = 1, 0338, f(x6) = 1, 1036
A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra de
1
3
de Simpson Generalizada
e´ dada por:
If ≈ h
3
× [f(x0) + f(xn) + 4(
∑
i impar
f(xi)) + 2(
∑
j par
f(xj))]
Assim, no nosso caso teremos:
If ≈ 1
18
× [f(x0) + f(x6) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4))] = 1, 8964
(b) Usando a Regra de 3
8
de Simpson Generalizada com h =
1
6
Soluc¸a˜o
Inicialmente observe que se h =
1
6
, teremos:
x0 = 0, x1 =
1
6
, x2 =
2
6
, x3 =
3
6
x4 =
4
6
, x5 =
5
6
, x6 = 1
f(x0) = 3, f(x1) = 2, 5394, f(x2) = 2, 1496, f(x3) = 1, 8196, f(x4) = 1, 5403
f(x5) = 1, 0338, f(x6) = 1, 1036
A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra de
3
8
de Simpson Generalizada
e´ dada por:
If ≈ 3h
8
× [f(x0) + f(xn) + 3(
∑
i 6=3k
f(xi)) + 2(
∑
i=3k
f(xi))]
Assim, no nosso caso teremos:
If ≈ 3
48
× [f(x0) + f(x6) + 3(f(x1) + f(x2) + f(x4) + f(x5)) + 2(f(x3))] = 1, 8964
(c) Usando a Regra do Trape´zio Generalizada com h =
1
5
Soluc¸a˜o
Inicialmente observe que se h =
1
5
, teremos:
x0 = 0, x1 =
1
5
, x2 =
2
5
, x3 =
3
5
x4 =
4
5
, x5 = 1
CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 5
f(x0) = 3, f(x1) = 2, 4562, f(x2) = 2, 0110, f(x3) = 1, 6464, f(x4) = 1, 3480, f(x5) = 1, 1036
A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra do Trape´zio Generalizada e´
dada por:
If ≈ h
2
× [f(x0) + f(xn) + 2(
n−1∑
i=1
f(xi))]
Assim, no nosso caso teremos:
If ≈ 1
10
× [f(x0) + f(x5) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4))] = 1, 9027
	Integração Numérica-Resumo