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Cap´ıtulo 1 Integrac¸a˜o Nume´rica-Resumo Antes de iniciar os exerc´ıcios algumas observac¸o˜es sa˜o va´lidas.Vejamos quais: 1. Refac¸a as contas propostas, erros podem ter sido cometidos.Se voceˆ ja´ sabe encontrar erros alegre-se e´ sinal que ja´ esta´ sabendo algo. 2. Atenc¸a˜o para o estudo do |f (n)(t)| com n = 2 ou n = 4 e considerar os seguintes casos: (a) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o positiva e crescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(tn)| (b) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o positiva e decrescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(t0)| (c) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o negativa e crescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(t0)| (d) Se f (n)(t) for uma func¸a˜o negativa e decrescente enta˜o max{|f (n)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} = |f (n)(tn)| 3. A ana´lise feita na observac¸a˜o acima, na˜o necessariamente e´ a u´nica forma de fazer.Uma maneira alternativa e´ o esboc¸o do gra´fico no intervalo considerado. 4. Na generalizac¸a˜o da Regra do Trape´zio, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro que satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas e encontrarmos n > 3, 4 , devemos tomar n = 4 como resposta. 5. Na generalizac¸a˜o da Regra de 1 3 de Simpson, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro par que satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas e encontrar- mos n > 4, 4 , devemos tomar n = 6 como resposta. 6. Na generalizac¸a˜o da Regra de 3 8 de Simpson, o nu´mero de subintervalos e´ o menor interiro multiplo de 3 que satisfaz a condic¸a˜o do problema.Por exemplo, se ao efetuarmos as contas e encontrarmos n > 7, 4 , devemos tomar n = 9 como resposta. Exerc´ıcios 1. Determine o menor nu´mero de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0, 1; 0, 7] para calcular ∫ 0.7 0.1 (e−3x + 7x) dx usando a regra dos trape´zios com um erro menor ou igual a 0, 1 Soluc¸a˜o 1 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 2 Queremos determinar um nu´mero n, tal que |E| ≤ 0, 1. O erro na generalizac¸a˜o da Regra do Trape´zio e´ limitado pela seguinte expressa˜o: |E| ≤ h 3 12 n.max{|f (2)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} Agora, observe que : f (2)(t) = 9e−3t h = 0.7− 0.1 n ⇒ h = 0.6 n Tome g(t) = f (2)(t) = 9e−3t.Como g′(t) = f (3)(t) = −27e−3t < 0,∀t ∈ [0.1, 0.7] Como g(t) e´ decrescente e g(t) > 0 ∀t ∈ [0.1, 0.7] temos: |g(0.1)| = max{|f (2)(t)|, 0.1 ≤ t ≤ 0.7} = 6.66736 Assim, temos (0, 6)3 n3 12 .n.|g(0.1)| ≤ 0.1⇒ n ≥ √ (0.6)3 12× 0, 1 × |g(0.1)| ⇒ n ≥ √ (0.6)3 12× 0, 1 × |g(0.1)| ⇒ n ≥ 1, 09 Como n deve ser o menor nu´mero inteiro tal que n ≥ 1, 09 temos n = 2 2. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )-Determine o menor nu´mero de subin- tervalos em que podemos dividir o intervalo [1, 6; 5, 6] para calcular∫ 5.6 1.6 (ln(x + 8)− 2x) dx usando a regra 1 3 de Simpson Generalizada com um erro menor que 0, 001. Soluc¸a˜o Queremos determinar o menor nu´mero inteiro par n, tal que |E| ≤ 0, 001. O erro na generalizac¸a˜o da Regra 1 3 de Simpson e´ limitado pela seguinte expressa˜o: |E| ≤ h 5 180 n.max{|f (4)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} Agora, observe que : f (4)(t) = − 6 (t + 8)4 h = 5.6− 1.6 n ⇒ h = 4 n Tome g(t) = f (4)(t) = − 6 (t + 8)4 .Como g′(t) = f (5)(t) = 24 (t + 8)5 > 0, ∀t ∈ [1.6, 5.6] CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 3 Como g(t) e´ crescente e g(t) < 0 ∀ t ∈ [1.6, 5.6] temos: |g(1.6)| = max{|f (4)(t)|, 1.6 ≤ t ≤ 5.6} Assim, temos (4)5 n5 180 .n.|g(1.6)| ≤ 0, 001⇒ n ≥ 4 √ (4)5 180× 0, 001 × |g(1.6)| ⇒ n ≥ 4 √ (4)5 180× 0, 001 × |g(1.6)| ⇒ n ≥ 1, 4159 Como n deve ser o menor numero inteiro par, temos n = 2 3. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )- Determine o menor nu´mero de subin- tervalos em que podemos dividir o intervalo [0; 1] para calcular∫ 1 0 (e−x 2 ) dx usando a Regra 3 8 de Simpson Generalizada com um erro menor que 0, 001. Soluc¸a˜o Queremos determinar o menor nu´mero inteiro n, multiplo de 3, tal que |E| ≤ 0, 001. O erro na generalizac¸a˜o da Regra 3 8 de Simpson e´ limitado pela seguinte expressa˜o: |E| ≤ h 5 80 n.max{|f (4)(t)|, t0 ≤ t ≤ tn} Agora, observe que : f (4)(t) = 4e−x 2 (4x4 − 12x2 + 3) h = 1− 0 n ⇒ h = 1 n Tome g(t) = f (4)(t) = 4e−t 2 (4t4 − 12t2 + 3).Como g′(t) = f (5)(t) = 8te−t 2 (4t4 − 20t2 + 15) > 0,∀t ∈ [0, 1] Como g(t) e´ crescente e g(t) > 0 ∀ t ∈ [0, 1] temos: |g(1)| = max{|f (4)(t)|, 0 ≤ t ≤ 1} Assim, temos (1)5 n5 80 .n.|g(1)| ≥ 0, 001⇒ n > 4 √ (1)5 80× 0, 001 × |g(1)| ⇒ n ≥ 4 √ (1)5 80× 0, 001 × |g(1)| ⇒ n ≥ 3, 0967 Como n deve ser o menor numero inteiro multiplo de 3 tal que n ≥ 3, 0967 temos n = 6 4. (Foram fixadas 4 casas decimais nessa questa˜o )- Calcule a integral:∫ 1 0 3e−x dx CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 4 (a) Usando a Regra de 1 3 de Simpson Generalizada com h = 1 6 Soluc¸a˜o Inicialmente observe que se h = 1 6 , teremos: x0 = 0, x1 = 1 6 , x2 = 2 6 , x3 = 3 6 x4 = 4 6 , x5 = 5 6 , x6 = 1 f(x0) = 3, f(x1) = 2, 5394, f(x2) = 2, 1496, f(x3) = 1, 8196, f(x4) = 1, 5403 f(x5) = 1, 0338, f(x6) = 1, 1036 A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra de 1 3 de Simpson Generalizada e´ dada por: If ≈ h 3 × [f(x0) + f(xn) + 4( ∑ i impar f(xi)) + 2( ∑ j par f(xj))] Assim, no nosso caso teremos: If ≈ 1 18 × [f(x0) + f(x6) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4))] = 1, 8964 (b) Usando a Regra de 3 8 de Simpson Generalizada com h = 1 6 Soluc¸a˜o Inicialmente observe que se h = 1 6 , teremos: x0 = 0, x1 = 1 6 , x2 = 2 6 , x3 = 3 6 x4 = 4 6 , x5 = 5 6 , x6 = 1 f(x0) = 3, f(x1) = 2, 5394, f(x2) = 2, 1496, f(x3) = 1, 8196, f(x4) = 1, 5403 f(x5) = 1, 0338, f(x6) = 1, 1036 A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra de 3 8 de Simpson Generalizada e´ dada por: If ≈ 3h 8 × [f(x0) + f(xn) + 3( ∑ i 6=3k f(xi)) + 2( ∑ i=3k f(xi))] Assim, no nosso caso teremos: If ≈ 3 48 × [f(x0) + f(x6) + 3(f(x1) + f(x2) + f(x4) + f(x5)) + 2(f(x3))] = 1, 8964 (c) Usando a Regra do Trape´zio Generalizada com h = 1 5 Soluc¸a˜o Inicialmente observe que se h = 1 5 , teremos: x0 = 0, x1 = 1 5 , x2 = 2 5 , x3 = 3 5 x4 = 4 5 , x5 = 1 CAPI´TULO 1. INTEGRAC¸A˜O NUME´RICA-RESUMO 5 f(x0) = 3, f(x1) = 2, 4562, f(x2) = 2, 0110, f(x3) = 1, 6464, f(x4) = 1, 3480, f(x5) = 1, 1036 A fo´rmula para aproximar a integral de f (If ) na Regra do Trape´zio Generalizada e´ dada por: If ≈ h 2 × [f(x0) + f(xn) + 2( n−1∑ i=1 f(xi))] Assim, no nosso caso teremos: If ≈ 1 10 × [f(x0) + f(x5) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4))] = 1, 9027 Integração Numérica-Resumo
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