4ª lista calculo I

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 UNIME – União Metropolitana de Educação e Cultura S/C Ltda 
CURSO: Engenharia Elétrica. DISCIPLINA: Cálculo I 
PROFESSORA: Sonia Ferreira 4a Lista de exercícios – Derivadas e Integrais 
 
1. Para cada função dada a seguir, determine: o domínio e imagem, as interseções com os 
eixos coordenados, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos 
relativos, os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e onde o gráfico 
possui concavidade para baixo, os pontos de inflexão e as assíntotas horizontais e 
verticais. Faça o esboço do gráfico destas funções. 
 a) x9x)x(f 3 −= b) 
1x
2x)x(f −
−= c) ( ) 22 x9x2)x(f −=      
2. A potência de uma bateria é dada por 2i5i100P −= , onde i é dado em ampères e P em 
watts. Determine a corrente i em que ocorre a potência máxima. Qual o valor da potência 
para essa corrente? 
3. O custo de construção de um edifício de escritórios de x pavimentos(andares) é dado, em 
milhões de reais, por 2x16x5001600y ++= . Se o custo médio por pavimento é 
x
yCmédio = , encontre o valor mínimo do custo médio por pavimento. 
4. O preço de certa ação na bolsa de valores, em função do tempo t decorrido após sua 
compra por um investidor é dado por 1t12t)t(P 3 ++−= ( t em anos e )(tP em reais). 
Para vendê-la, o investidor tem que esperar no mínimo 1 ano e no máximo 3 anos. Dê a 
melhor ocasião para venda. 
5. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se a 
capacidade máxima de produção da fábrica é de 7 milhares de unidades desse artigo, 
determine o número ótimo de unidades que maximiza o lucro L que é dado por 
44x45x12x)x(L 23 −+−= . 
6. Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas. 
a) ( ) ( )( )∫ += cxseclndx xtg b) ∫ += c)x7(sendx )x7cos( 
c) ce
6
1dx
e
x
3x2
3x2
2
+−= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−∫ d) ( ) ( )∫ += c|tln|lndttln.t 1 
7. Calcule as seguintes integrais imediatas: 
a) ∫ −+ dxx 1x2x 23 b) ( )∫ −+ dx] 3x2xsec6xx[ 2 c) ∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ + dxx1x4 
 d) ∫ − dt)]t(eccos)t(sen[ 2 e) duu1 1u 23∫ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ −+ f) ∫ + dxx1 1 2 
8. Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis: 
 a) ( )∫ dx2 x5 b) ∫ dx)x5cos( c) ∫ ⋅ dx )3cos(ln3)(3 xx d) ∫ dx)xcos()x(sen2 
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 e) ∫ − 7x3 dx f) ∫ ++ dxxx x2x4 243 g) ∫ − )1x3(sen dx2 h) ∫ + 3x2xdx2 
 i) ∫ − 2x916dx j) ∫ − 2x94 dx l) ∫ ++ dx1x )1xln( m) ∫ +1)x(sen2 dx)xcos( n) ∫ )xln(x dx 
 o) ∫ + dxx1 dx)x(arctg 22 p) ∫ dx)x2(tg q) ∫ + 2x21 dx r) dx )x(sec)e( 2)x(tg∫  
9. Determine: 
 a) Uma função f(x) tal que f ´ (x) + 6 sen(3x) = 0 e f (0) = 5 
 b) A imagem )4/π(f , sabendo-se que ∫ +−−= Cx21xcos.xsenxdx)xf( 2 
10. Calcule as seguintes integrais definidas: 
a) ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−3
1
2
23
dx
x
5x4x2
 b) ( )( )∫ −1
0
32 dtttt c) ∫− −63 dx4x 
11. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo utilizando cálculo. Verifique 
suas respostas utilizando no Geogebra o comando Integral[f(x), limite inferior,limite 
superior] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Determine a área limitada pela parábola y = x2 + 1 e pela reta y = –x + 3 . 
13. Utilize o Geogebra para visualizar os gráficos abaixo e determine a área da região do plano 
limitada por essas curvas. 
 (a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. 
 (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x 
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14. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a 
função-posição da partícula. 
 a) 1t2t)t(v 23 +−= 1s(0) e = b) )t2cos(4)t(a = , -3s(0) e 1)0(v =−= 
15. Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o 
deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado. 
 a) )t(sen)t(v = , 2t0 π≤≤ b) )tcos()t(v = π≤≤π 2t2 
 
RESPOSTAS 
1. a) D(f) = R e Im(f) = R; Interseções com o eixo Ox: ( ) ( ) ( )3,0 e 0,3 ,0,0 − . Interseções com o eixo Oy: ( )0,0 . 
Intervalos de crescimento: ] ]3,−∞− e ] ]+∞,3 ; Intervalos de 
decrescimento: ( )3,3− ; Máximo relativo: 3x −= ; Mínimo 
relativo: 3x = ; Intervalo onde o gráfico possui concavidade 
para cima: [ [+∞,0 ; Intervalo onde o gráfico possui concavidade 
para baixo: ] ]0,∞− ; Ponto de inflexão: x = 0; O gráfico não 
possui assíntotas. 
 
 
b) { }1R)f(D −= e { }1R)fIm( −= ; 
Interseções com o eixo Ox: ( )0,2 . 
Interseções com o eixo Oy: ( )2,0 . Intervalos 
de crescimento: ] ]+∞∞− , ; Intervalo onde o 
gráfico possui concavidade para cima: ( )1,∞− ; Intervalo onde o gráfico possui 
concavidade para baixo: ( )+∞,1 ; Assíntota 
vertical: 1x = ; Assíntota horizontal: 1y = . 
 
 
 
c) { }3,3R)f(D −−= e ] ] [ [+∞∪−∞−= ,02,)fIm( ; 
Interseções com o eixo Ox: ( )0,0 . Interseções 
com o eixo Oy: ( )0,0 . Intervalos de crescimento: 
[ [ ] [+∞∪ ,33,0 ; Intervalos de decrescimento: ] [ ] ]0,33, −∪−∞− ; Mínimo relativo: 0x = ; 
Intervalo onde o gráfico possui concavidade para 
cima: ] [3,3− ; Intervalo onde o gráfico possui 
concavidade para baixo: ] ] [ [+∞∪−∞− ,33, ; 
Assíntotas verticais: 3x −= e 3x = ; Assíntota 
horizontal: 2y −= . 
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2. A corrente onde ocorre a potência máxima é 10 amperes e o valor da potência para 
essa corrente é 500 Watts. 
3. O valor mínimo do custo médio por pavimento é de 10 milhões de reais. 
4. A melhor ocasião para venda é 2 anos após a compra. 
5. O número ótimo de unidades que maximiza o lucro L é três mil unidades. 
6. Apenas a letra b) não está correta. 
7. a) C
x
1xln2
2
x2 +−+ b) C
3
x)x(tg6
5
x2 22/5 +−+ c) Cxln
5
x5 ++ 
 d) C)t(gcot)tcos( ++− e) C)u(arcsen
4
u3 3/4 ++ f) C)x(arctg + 
8. a) C
)2ln(5
2 x5 + b) ( ) Cx5sen
5
1 + c) ( ) C3sen x + d) ( ) Cxsen
3
1 3 + 
e) C7x3ln
3
1 +− f) Cxxln 24 ++ g) ( ) C1x3gcot
3
1 +−− h) C
2
3x2 2 ++ 
i) Cx
4
3arcsen
3
1 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ j) C
x32
x32ln
12
1 +−
+
 l) ( ) C1xln
2
1 2 ++ m) C1)x(sen2 ++ 
n) C)xln(ln + o) ( ) C
3
xarctg3 + p) ( ) C
2
x2cos(ln +− q) ( ) C
2
x2arctg + 
r) ( ) Ce )x(tg + 
9. (a) 2cos(3x)+3 (b) 
8
)22( −π
 10. a) 
3
10
 b) 
70
1
 c) 
2
53
 
11. a) 
3
7
unidades de área (u.a.). b) 4 u.a. c) 
)2ln(
2
3
5 + . 
d) .a.u
3
5
 e) .a.u
3
4
 f) 
)2ln(3
)2ln(412 +
. 
12. .a.u
2
9
 
13. a) 95,1)4ln(4
2
15 ≅− b) 99,2
3
4
)2ln(
3 ≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − u.a. c) 64,0
4
3)2ln(2 ≅− u.a 
14. a) 1t
3
t2
4
t)t(s
34
++−= b) 1)t2(sen2)t(v −= e 2t)t2cos()t(s −−−= 
15. a) Deslocamento = 1; distância = 1 b) Deslocamento 1−= ; distância = 3