Introdução ao Cálculo: Funções e Gráficos

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_________________________________________________________________________ 
FUNÇÕES - NOTAS DE AULA E EXERCÍCIOS SOBRE 
 DISCIPLINA DE INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
PROF. SÉRGIO MAGALHÃES 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL – 1º PERÍODO 
 
 
FUNÇÕES 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e tem lugar de 
destaque em outras áreas do conhecimento. Daí a importância do seu estudo. 
Inicialmente, estudaremos as idéias intuitivas ligadas à noção de função, e em 
seguida, iremos estudar mais formalmente esse importante conceito. 
A idéia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. 
Vejamos algumas situações: 
 
1a) Número de litros de gasolina e preço a pagar 
 
Considere a tabela que relaciona o número de litros de gasolina comprados em 
dezembro de 2006 e o preço a pagar por eles. 
 
 
Número de litros Preço a pagar (R$) 
1 2,60 
2 5,20 
3 7,80 
. . 
20 52,00 
 
O preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a 
pagar depende do número de litros comprados. 
 
Preço a pagar = 2,60 vezes o número de litros comprados 
 
ou simplesmente, 
p = 2,60.n 
 
 
 
 2 
2a) Distância versus tempo 
 
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a 
tabela que relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros): 
 
Tempo(h) 0,5 1 1,5 2 3 t 
Distância(km) 45 90 135 180 270 90t 
 
A distância percorrida é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida 
depende do intervalo de tempo. E então, podemos escrever: 
 
distância = 90. tempo 
 
ou simplesmente, d = 90t 
 
3a) Preço versus número de fotos reveladas 
 
Na revelação de um filme, uma empresa calcula o preço a ser cobrado usando a 
fórmula 
P = 12,00 + 0,65 . n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos 
reveladas por filme. 
 
Esta fórmula nos permite responder algumas questões, como por exemplo: 
 
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme? 
 
 
b) Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas? 
 
 
 
As três relações que vimos anteriormente têm duas características em comum: 
 
♦ A todos os valores da variável independente estão associados valores da variável 
dependente. 
 
♦ Para um dado valor da variável independente está associado um único valor da variável 
dependente. 
 
 As relações que tem essas características são chamadas funções. 
 
 
 
 
 
 3 
Problemas envolvendo funções 
 
1) Uma firma de revenda de autopeças, paga como salário a seus funcionários, R$ 450,00 
fixos mais R$ 2,00 por peças vendidas. Determine a função que nos permite calcular o 
salário mensal de cada funcionário. 
 
 
2) O preço a ser pago por uma corrida de táxi depende da distância percorrida. A tarifa y é 
composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que 
depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando 
R$6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20. 
a) Expresse y em função de x. 
 
b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi rodou 10 km? 
 
 
3) Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax 
vendidos no ano x é dado pela função f (x) = 50 + 4x + x2 onde x = 0 corresponde ao ano 
de 2000, x = 1 corresponde ao ano de 2001 e assim sucessivamente. 
a) O que e quanto f(0) representa? 
 
b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005. 
 
4) Na fabricação de determinado artigo, o custo total é calculado através da soma do custo 
fixo que é R$ 6.000,00 com o custo de produção, por unidade, que é R$ 45,00. Determinar: 
 
a) A função que representa o custo total; 
b) O custo de fabricação de 15 unidades; 
c) Se o custo total foi de R$ 10.950,00, qual a quantidade de peças produzidas? 
 
 
 
 
Gráficos de Funções 
 
É freqüente a utilização de gráficos em livros, jornais e revistas para retratar uma 
determinada situação. Esses gráficos, em geral, representam funções e por meio deles 
podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que 
representam. 
Antes de procedermos à construção e interpretação de gráficos precisamos saber 
utilizar o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. 
 
 
 
 
 
 4 
Plano Cartesiano 
 
���� Par Ordenado: dados dois números x e y; o par ordenado é representado por (x, y) 
onde o x é o 1o elemento e o y é o 2o elemento. 
 
 
���� Representação Gráfica 
 
 (Eixo das ordenadas) 
 
 
 y - - - - - • P(x, y) 
 
 
 o x x (Eixo das abscissas) 
 
P é o ponto de coordenadas x e y . 
O número x é chamado abscissa de P. 
O número y é chamado ordenada de P. 
A origem do sistema é o ponto O(0,0). 
 
Exemplo: Podemos representar graficamente os pontos listados a seguir, da seguinte 
maneira: 
 
A (2, 3) 
B (0, -1) 
C (-2, -3) 
D (3, 0) 
E (-1, 1) 
F (0, 0) 
G (-3, 0) 
H (3, -2) 
 
 
 
Construção de gráficos de funções 
 
Para construir gráficos de funções, devemos inicialmente: 
 
♦ construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente e com valores de y 
correspondentes a estes valores de x 
♦a cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano 
♦marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da 
função. 
 
 5 
Exemplos: Vamos retornar aos três problemas iniciais do capítulo de funções e representar 
aquelas situações graficamente. 
 
1a) Na primeira situação tínhamos a tabela 
 
Número de litros Preço a pagar (R$) 
1 2,60 
2 5,20 
3 7,80 
. . 
20 52,00 
 
Que forneceria a seguinte representação gráfica: 
 
 
 
 
2a) Na segunda situação, a tabela foi 
 
Tempo(h) 0,5 1 1,5 2 3 t 
Distância(km) 45 90 135 180 270 90t 
 
Cuja representação gráfica, pode ser dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3a) Na terceira situação não tínhamos a tabela e sim a lei de formação da função: 
 
 P = 12,00 + 0,65 . n, 
 
De onde podemos construir uma tabela para gerar alguns pares ordenados e então 
procedermos à construção do gráfico. 
 
 6 
 
O conjunto de todos os pontos (x, y) do plano cartesiano cujas coordenadas 
satisfazem uma função em x e y é chamado de gráfico da função no plano xy. 
O gráfico de uma função não precisa, necessariamente ser uma reta. Mas precisa 
satisfazer a definição de função. Existe um teste bastante simples que nos permite verificar 
se um gráfico representa ou não o gráfico de uma função. 
 
 
���� Teste da Reta Vertical 
 
Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função f se e somente se qualquer reta 
vertical interceptar a curva uma única vez. 
 
Exemplo: Determinar, quais os gráficos abaixo definem y como função de x: 
 
 y y y y 
 
 
 
 
 x x x 
x 
 
 
Em toda a função, destacamos dois conceitos importantes: o domínio e a imagem. 
 
���� Domínio e Imagem 
 
O domínio de uma função é obtido pela projeção da curva sobre o eixo das abscissas (eixo 
x) 
 Dom f (x) 
 
A imagem de uma função é obtida pela projeção da curva sobre o eixo das ordenadas(eixo 
y) 
 Im f (x) 
 
Exemplos: Determinar o domínio e a imagem das funções representadas pelos gráficosseguintes: 
1) 
 
 
 Dom f(x) = (-1, 1] 
 
 Im f(x) = [0.3, 2) 
 
 
 
 7 
 
2) Os gráficos esboçados a seguir representam funções. Determine o domínio e a imagem 
de cada uma destas funções. 
 
 
 
 
���� Função Crescente e Função Decrescente 
 
 y 
 
 
 
 
 
 o x 
 1 2 3 
 |�A � |�B ����| 
 
� no intervalo A = [1,2], aumentando o valor de x, aumenta também o valor de y, 
dizemos então que a função é crescente no intervalo A . 
 
� no intervalo B = [2,3], aumentando o valor de x, diminui o valor y, dizemos então que 
a função é decrescente no intervalo B. 
 
 
 
 
 8 
 
Exercício: 
 
1) Determine os intervalos onde as funções definidas pelos gráficos do exercício número 2, 
acima, são (estritamente) crescentes, onde elas são (estritamente) decrescentes e onde elas 
são constantes. 
 
Algumas Funções Especiais 
 
 
1. Função Constante 
 
Definição: é toda função do tipo f(x) = c, em que c é uma constante real. 
 Ex.: a) y = –3 b) y = 2 
 
 
 
Representação Gráfica 
 
O gráfico é sempre uma reta paralela ao eixo do x. 
 
 Dom f(x) = ℜ 
 Im f(x) = c 
 
 
 
2. Função do 1o Grau 
 
Definição: Dados os números reais a e b, com a ≠≠≠≠ 0, chama-se função polinomial do 1º 
grau a função f (x) = a x + b ou y = ax + b , definida para todo x ∈ ℜℜℜℜ. 
 
Exemplos: 
 
f(x) = x + 3 
 
f(x) = 2x + 1 
 
f(x) = -5x 
 
f(x) = -x + 2 
 
 
 
 y 
 c 
 
 x 
 9 
 
 
2.1 Valor da Função em um Ponto 
 
Determine o valor da função f(x) = 2x + 2 para cada valor de x dado abaixo. 
 
f(1) = 
 
f(0) = 
 
f(−1) = 
 
f(1/2) = 
 
2.2 Representação Gráfica 
 
A representação gráfica das funções abaixo é dada por: 
 
a) f (x) = x + 2 
b) f(x) = -x + 2 
c) f(x) = 2x + 2 
d) f(x) = 3x 
e) f(x) = -x 
 
 
 
 
2. 3 Raiz de uma função do 1º Grau 
A raiz da função f é o ponto onde a reta corta o eixo dos x. Portanto, a raiz de y = ax + b é 
dada 
por: ax + b = 0 
 ax = – b 
 
 
 
2.4 Elementos da Função do 1o Grau f(x) = ax + b 
 
➢➢➢➢ Coeficiente Angular ( a ): é o coeficiente da variável x, cujo sinal indica se a função 
é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). É uma taxa de variação de y com relação a x. 
 
 
 
➢➢➢➢ Coeficiente Linear ou Termo Independente ( b ): termo de grau zero é a 
ordenada do ponto que corta o eixo dos y. 
 
x
b
a
==== −−−− 
x
y
xx
yy
a
∆
∆=
−
−
=
12
12 
 10 
 
2. 5 Estudo do Sinal da Função Linear 
 
1o Caso: Sendo y = ax + b, a > 0 
Para valores maiores que a raiz, y é positivo (mesmo sinal de a). 
Para valores menores que a raiz, y é negativo (sinal contrário de a). 
 
2o Caso: Sendo y = ax + b, a < 0 
Para valores maiores que a raiz, y é negativo (mesmo sinal de a). 
Para valores menores que a raiz, y é positivo (sinal contrário de a). 
 
 
2. 6 Algumas Considerações Importantes 
A função linear f(x) = ax + b, tem como representação gráfica a linha reta (representação 
linear), onde a e b significam: 
 
 
 
 
 11 
 
Exemplos: Represente graficamente as seguintes funções, determinando o domínio, a 
imagem, se a função é crescente ou decrescente e para qual intervalo de x ela é (+) ou (−) 
 
a) y = 2x − 1. b) f(x) = −x − 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = 4x + 3. d) f(x) = –7x 
 
 
2.7) Determinação de uma função de 1o grau conhecendo-se seus valores em 
dois pontos distintos 
 
Exemplos: 
 
1) Determinar a reta que passa pelos pontos A(2, -2) e B(1, 1). 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a lei da função que está representada graficamente na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dadas as funções lineares f(x) = 5x – 2 e g(x) = 
2
1− x + 
5
3
, determine, para cada 
uma delas: 
 
 
a) Coeficiente Angular 
-2 
3 
 12 
b) Coeficiente Linear 
 
c) Dom f(x) 
 
 
d) Im f(x) 
 
 
 e) f (0) 
 
f) f (−1) 
 
 
2) Dadas as funções abaixo, complete o quadro e esboce o gráfico de cada função: 
 
 a) f(x) = x – 1 b) f(x) = – 3x +9 c) f(x) = –7 
Coeficiente angular 
 
 
Coeficiente linear 
 
 
Domínio 
 
 
Imagem 
 
 
Raiz 
 
 
Faça o estudo do sinal 
 
 
Crescente ou decrescente 
 
 
Gráficos: 
 
3) Sendo a função dada por f(x) = 2x + 3, determine: 
 
a) Coeficiente angular 
b) Coeficiente linear 
c) Domínio 
d) Imagem 
e) Raiz 
f) A função é crescente ou decrescente 
g) Faça o estudo do sinal 
h) Gráfico 
 
 
4) Analise os gráficos a seguir, e determine: 
 
a) Domínio: 
b) Imagem: 
 13 
c) Raiz: 
d) Coeficiente linear: 
e) Coeficiente angular: 
f) Faça o estudo do sinal: 
g) Dê a função: 
 
 
 
5) Determinar a reta que passa pelos pontos A = (-2, -3) e B = (2, 5) . 
(R: y = 2x+1) 
 
 
 
6) Determinar a reta que passa pelos pontos A = (0, –3) e B = (2, 0) . Após, verifique se 
os pontos (1, 2) e (4, 3) pertencem a essa reta. 
(R: y = 3/2x−3; n, s) 
 
7. Determinar a reta que contém o ponto A = (5, –3) e tem coeficiente angular igual a – 4. 
(R: y(x) = -4x + 17) 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
1) Quais das curvas são gráficos de funções? 
 
 (a) y (b) y (c) y (c) y 
 
 x x x 
 
 
 
2) Construa o gráfico das funções abaixo: 
a) f (x) = – 2 
b) y = – 4x 
c) f (x) = 1/2 
d) y = x 
e) g (x) = 3/2x 
 
 
 14 
3) Dadas as funções abaixo, esboce o gráfico e determine: domínio, imagem, raiz, 
coeficiente angular, coeficiente linear, estudo do sinal da função. 
a) f (x) = –2/3x − 1 
b) y = 2x + 0,5 
c) f (x) = 2,5x + 5 
d) y = x – 4 
 
4) Faça a associação correta de cada sentença com seu gráfico? 
 
 
 a) não é função; ( ) 
 
 b) f (x) = 3x ( ) 
 
 c) f (x) = x+3 ( ) 
 
 d) f (x)=3 ( ) 
 
 e) a raiz da f (x) é zero ( ) 
 
 f) f (x) é constante ( ) 
 
 
 
5) Determine a equação da reta que passa pelos pontos: 
 
a) (0, 0) e (4, 5) 
b) (6, –13) e (–1, 8 ) 
c) (–1, 3/2) e (0, 2) 
 
 
6) Analise os gráficos a seguir e em cada gráfico, determine: domínio, imagem, raiz, 
coeficiente angular, coeficiente linear, faça o estudo do sinal, se a função é crescente, 
decrescente ou constante e por fim, determine a função. 
 
 
7) Faça o gráfico da função 3)( +−= xxf . Em seguida responda: 
a) Qual é o domínio e a imagem da f? 
b) Para que valor de x, f(x)=0 ? 
c) Para que valores de x, f(x)>0? 
 15 
d) Para que valores de x, f(x)<0? 
e) Esta função é crescente, decrescente ou constante?8 8) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor 
de R$ 350,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de 
vendas que ele fez durante o mês. 
 a) Expresse a função que representa seu salário mensal. 
 b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 
em produtos. 
9) Um produtor de leite diz que uma vaca leiteira produz 4500 litros de leite por ano, em 
média, que é vendido por 0,20 dólares o litro. Este produtor tem um gasto fixo anual de 
20.000 dólares para a manutenção das instalações. Expresse o ganho anual do produtor de 
leite em função do número de vacas que ele cria. 
 
10) Uma vendedora recebe R$ 1.000,00 fixos e mais 10% de comissão sobre o total que 
vende no mês. Supondo que em determinado mês ela tenha vendido R$ 30.000,00, quanto 
recebeu de salário nesse mês? 
 
 
 
Respostas: 
1) (a) e (c); 2) Gráficos; 3) a) ℜ, ℜ, −3/2, −2/3, −1, (+) para x < −3/2 e (−) para x > 
−3/2; b) ℜ, ℜ, −0,25, 2, 0,5, (+) para x > −0,25 e (−) para x < −0,25; c) ℜ, ℜ, -2, 
2.5, 5, 
(+) para x > -2 e (−) para x < −2; d) ℜ, ℜ, 4, 1, −4, (+) para x > 4 e (−) para x < 
4; 
4) a) II; b) IV; c) III; d) I; e) IV; f) I; 5) a) y = 5/4x; b) y = –3x+5; c) y = 1/2x+2; 
6) a) ℜ, 1, não existe, a = 0, b=1, toda (+), constante, y =1; b) ℜ, ℜ, −4, a =1, b = 4, 
(+) para 
x > − 4 e (−) para x < − 4, y = x + 4; c) ℜ, ℜ, 3, a = −2/3, b = 2, (+) para x < 
3 e (−) para x > 3, y = −2/3x +2; 7) ℜ, ℜ, x = 3, (+) para x < 3 e (−) para x > 3, 
decres.; 
8) a) S(x) = 350 + 0,08 x; b) R$ 1150,00; 9) y = 900x − 20.000 10) R$4.000,00; 
 
3. Função do 2o Grau 
 
Definição: Dados os números reais a, b e c com a ≠≠≠≠0 chama−se função do 2o Grau ou 
função quadrática, a função f: ℜℜℜℜ → ℜℜℜℜ definida por f(x) = ax2 + bx + c, e o seu gráfico é 
uma curva denominada parábola 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = 2x2 - x -3 , onde os coeficientes são: a = 2 , b = −1 e c = −3 
 
 16 
b) f(x) = x2 – 7x + 12, 
 
c) f(x) = x2 – 2x + 1 
 
d) f(x) = 2x2 –3x + 5 
 
e) f(x) = 2x 2 – 5x 
 
 
 
Lembrando: Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução dessa 
equação, ou seja, achar os valores de x para os quais ax2 + bx + c = 0. Para a resolução de 
uma equação do 2ºGrau, utilizamos a fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
 
 
 
onde ∆ = b2 − 4ac é o discriminante e x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Exemplo: Vamos resolver as equações de segundo grau dadas acima utilizando a fórmula 
de Báskara. 
 
 
3.1 Raízes ou Zeros da Função: Denomina-se raízes ou zeros de uma função 
quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0 e, graficamente, 
são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x. 
 
� Estudo das raízes: 
Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais e distintas. 
Se ∆ = 0, então existem duas raízes reais e iguais. 
Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais. 
 
� Representação Gráfica: geometricamente, as raízes são os pontos em que a parábola 
corta o eixo dos x. 
 
Se ∆ > 0 
 
 x x 
 
Se ∆ = 0 
 
 
 x x 
a
acbb
x
2
42
2,1
−±−= 
 
 17 
 
 
Se ∆ < 0 
 
 x x 
 
 
 
 
 
3.2 Vértice: Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de 
ordenada mínima (a > 0). A este ponto chamamos de vértice da parábola. 
� Coordenadas do vértice: 
a
b
xv 2
−= e 
a
yv 4
∆−= ou seja, 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
O valor de máximo ou de mínimo de uma função corresponde ao valor da ordenada (y) do 
vértice da parábola, ou seja; 
Se a > 0 o y do vértice é o valor mínimo da função. 
Se a < 0 o y do vértice é o valor máximo da função. 
 
 
3.3 Concavidade: Se a > 0 então a parábola tem a concavidade voltada para cima: ∪ 
(☺) 
 Se a < 0 então a parábola tem a concavidade voltada para baixo: ∩ 
(�) 
 
3.4 Termo c: O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y. 
 
3.5 Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. 
 
 
 
 
V= 




 ∆−−
aa
b
4
,
2
 
 18 
Exemplo: Encontre as raízes das funções, se existirem, as coordenadas de cada vértice, o 
valor de y no ponto onde cada função corta o eixo y e desenhe o gráfico: 
 
 a) f(x) = x2 - 6x + 8 b) f(x) = -x2 + 3x - 2 
 
 
3.6 Domínio: Dada a função y = f(x), seu domínio é o conjunto de todos os números 
reais, ou seja, Dom( f(x) ) = ℜℜℜℜ 
 
 
3.7 Imagem: Dada a função y = f(x), sua imagem é um subconjunto dos números reais. 
 
 
3.8 Crescimento e Decrescimento da Função Quadrática 
 O crescimento ou decrescimento de uma função quadrática pode ser analisado tendo 
como referencial a abscissa do vértice. Tem-se dois casos, a saber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 Sinal da Função y = ax2 + bx + c: 
 
 
Para ∆∆∆∆ > 0 e x2 > x1 o sinal da função é do por: 
 
 
 
 
 
 
 
 a > 0 a < 0 
 
 19 
Para ∆∆∆∆ = 0 e x2 = x1 o sinal da função é do por: 
 
 
 
 
 
Para ∆∆∆∆ < 0 e x2 < x1 o sinal da função é do por: 
 
 
 
 
Exemplo: Sendo f(x) = 2x2 - 4x, faça o gráfico determinando também: 
 
a) Dom f(x): 
 
b) Im f(x): 
 
c) Intervalos de crescimento 
 decrescimento: 
 
d) O estudo do sinal: 
 
e) O valor mínimo da função: 
 
f) f(−1) 
 
g) f(2) 
 
 
 
Exercícios e Problemas 
 
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando: as raízes, o vértice, o valor 
máximo ou mínimo, o domínio, a imagem, o estudo do sinal e os intervalos de crescimento 
e decrescimento: 
 
a) f(x) = x2 – 4 b) g(x) = -x2 + x +2 
 20 
 
 
c) f(x) = x2 - 2x + 1 d) f(x) = -2x2 + x + 1 
 
 
 
2) Qual o valor da função (c) acima , nos pontos indicados: 
 
a) f (0)= b) f (-1) = c) f (1) = d) f (-2)= 
R.: 1 R.: 4 R.: 0 R.: 9 
 
 
3) Seja f: ℜℜℜℜ → ℜℜℜℜ, dada por f(x) = -x2 + x + 2, determine para que valores reais de x: 
 
a) f(x) = 0 
R.: -1 e 2 
 
b) f(x) > 0 
R.: (-1, 2) 
 
c) f(x) < 0 
R.: (-∞, -1) e (2, +∞) 
4) Dadas as funções abaixo, determine as raízes, os pontos de máximo ou mínimo e os 
intervalos de crescimento e decrescimento: 
a) f(x) = 3x2 +2x – 1 b) f(x) = 3x2 - 3x c) y = 4x2 - 16 
 
 
5) A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, 
leva à função P(t) = - 2 t2 + 24t . 
 
a) Em que momento a produção é máxima? 
R.: 6 h 
 
b) Qual é a produção máxima? 
R.:72 u 
 
c) Em qual intervalo de tempo a produção é crescente? 
R.:[0, 6] 
 
 
6) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado pela equação 
 C(x) = 2x2 −100x + 5000. Determine o custo mínimo. 
R.: 3 750 u.m.21 
Resposta: Gráficos da questão (1) 
 
 
Exercícios Complementares: 
 
1) Calcule quanto vale cada função : f(x) = 2x2-6, g(t) = 4t2 - 12t + 9 e h(x) = -2x2 + 3x – 
4, nos pontos dados abaixo:. 
a) f(-1); b) f(0); c) g(-1); d) g(1/2); e) h(-2); f) h(0,2); 
 
2) Construa os gráficos das funções abaixo, determinando: as raízes, o vértice, o valor 
máximo ou mínimo, o domínio, a imagem e o estudo do sinal. 
a) f(x) = x2 +7x + 6 
b) g(x) = –x2 + 8x 
c) h (x) = 3x2 +2x –1 
3) Encontre os zeros e faça o estudo do sinal de cada função abaixo: 
a) f(x) = 2x2 - 7x + 6 
b) f(t) = 4t2 - 12t + 9 
c) f(x) = -2x2 + 3x – 4 
 
4) Examinando o gráfico da função quadrática f(x) abaixo, classifique em certa ( C ) ou 
errada (E) cada afirmativa: 
 
 
 
5) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = −30x2 + 360x – 600 onde x é o número de 
unidades vendidas. Para que valor de x é obtido o lucro máximo? 
 
6) Suponha que R(x) = -x2 + 100x seja a função receita de uma empresa e x o número de 
unidades vendidas. Calcule para qual quantidade vendida a receita é máxima e qual a 
receita máxima. 
 
( ) Se x > 0, então f(x) > 0 
( ) Se x > 1, então f(x) < 0 
( ) Temos f(x) < 0, se x < -1 ou x > 1 
( ) Para -1 < x < 0, a função é negativa 
( ) Temos a função positiva para 11 ≤≤− x 
( ) Para todo 0 < x < 1 a função é positiva 
 
 22 
7) O custo para a produção de x unidades é dado por C(x) = x2 −40x+1600. Calcule o 
valor do custo mínimo e qual a quantidade que propicia este custo mínimo. 
 
 
8) Um psicólogo constatou que a capacidade de aprendizagem depende da idade e pode ser 
medida por 





+−−= 2460
2
3 2
t
t
)t(C , onde t se refere à idade da pessoa em anos. A 
capacidade de aprendizagem, começa a decrescer a partir de qual idade? 
 
9) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima, tem posição em função do tempo 
dado pela função h(t) = 40t-5t2, onde a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em 
segundos. Determine: 
 a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t = 3s 
 b) o instante em que o corpo atinge a altura máxima. 
 
10) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 −100x + 
5.000. 
 a) Quantas unidades deverão ser produzidas para se ter o custo mínimo? 
 b) Se for aumentada em 20% a quantidade que dá o custo mínimo, qual o valor do 
custo? 
 c) Qual o custo fixo de produção? 
 d) Esboce o gráfico. 
11) Uma bola é chutada para o alto e a variação de sua altura, em relação ao solo, é dada 
pela equação: h(t)=-6t2+12t . Determine a altura máxima que a bola atinge, o tempo gasto 
para o objeto atingir a altura máxima e em que instante a bola toca o solo novamente. 
Represente esta função graficamente. 
 
Respostas: 
 
1) a) – 4 ; b) – 6 c) 25; d) 4; e) – 18; f) –3,48; 
 
2) 
 
Mín.= -25/4; Max. = 16; Mín.= -4/3; 
 
 23 
3) a) raízes: 2 e 3/2 ; (+) (– ∞, 3/2) e (2, +∞) ; (–) (3/2, 2); b) raiz dupla: 3/2; 
(+) (– ∞, 3/2) e (3/2, +∞) ; c) não tem raízes R ; toda (–) ; 
 
4) E, C, C, E, E, C; 5) 6; 6) 50 unidades e L= R$2.500,00; 
 
7) custo min. = R$1.200,00 e 20 unidades; 8) 20 anos; 
 
9) a) 75 m; b) 4s; 10) a) 25 unidades; b) C(30) = R$3.800,00; c) R$5.00,00; 
 
11) 6m; 1s; 2s;