Questões - Derivadas

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SUMÁRIO 
1. Derivadas Fundamentais......................................................................................... 2 
2. Técnicas de Derivação ............................................................................................ 4 
3. Derivada de Funções Inversas ................................................................................ 8 
4. Máximos e Mínimos .............................................................................................. 11 
6. Otimização de Funções ......................................................................................... 27 
 
 
1. DERIVADAS FUNDAMENTAIS 
1) Calcule as seguintes derivadas 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ( ( 
 
 
 
 
 ( 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 ( 
 
 ) (
 
 )
 
 
 
 
 
 ( 
 ( 
 
 
 
 
 ( 
 ( 
 
 
 
 ( 
 
 
 
2. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO 
2.1) Resolva a seguinte equação: 
 ( ( 
 
 
 
1.2) Ache 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
Solução: 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
 [ ( ] [ ( ] ( [ ( ]
[ ( ] 
 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
 ( [ ( ] ( ( 
[ ( ] 
 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
 ( [ ( ] ( ( 
[ ( ] 
 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
 ( ( ( 
[ ( ] 
 
 
 
[
 ( 
 ( 
] 
 ( 
[ ( ] 
 
 
3) Calcule f ''(x) no ponto x = 2,5 , cuja função é definida por: 
 ( 
 ( 
 
 )
 
 
Solução 
 
 
 
 * ( 
 
 
 )+ 
 ( 
 
 ) 
[ ]
 
 
 
[
 
 
 
 
 ( 
 
 )] 
 ( 
 
 ) 
[ ]
 
 
4) Mostre que 
d
dx
[
x3
3
.arc sen x+
2+ x2
9
.√1− x2]= x2.arc sen x 
5) Prove que as retas tangentes às curvas 4y3 – x2y – x + 5y = 0 e x4 - 4y3 + 
5x + y = 0 na origem são perpendiculares. 
 
6) Encontre d3y/dx3 , se y = √3 – 2x . 
 
R: 
7) Ache a derivada em relação de x de 
 (
 
 
) 
Solução: 
 ( ( 
 
 
 
 
 
 
 
1) Encontre a derivada das funções a seguir 
 ( 
 
 
 ( ( ( 
 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( ( 
 ( (
 
 
) ( ( 
 ( (
 
 
) 
2) Encontre a derivada de ( e de ( das seguintes funções 
 ( √ ( ( ( ( √ ( 
 
 
 
 ( ( 
 ( ( ( √ 
 
 
 
 
1) Encontre a derivada de f(x) em relação a x: 
 ( ( ( (
 
 
) ( 
 ( ( (
 
 
) 
 ( ( ( ( ( 
 (
 
 
) ( √ ( 
 ( ( (
 
 
) ( 
 √ ( 
 
2) Encontre a derivada de cada f(x) a seguir 
 ( ( ( ( √ √ 
 ( ( ( ( ( √ 
 ( (√ )
 
 
 
3) Supondo que ( encontre a derivada de y em relação a x das seguintes 
equações 
 ( 
 √ 
 
 
 
 ( 
 ( 
 
4) Encontre a derivada de f(x) 
 ( ( ( (
 
 
) ( 
 ( 
 ( (( ( ) ( ( 
 
 
3. DERIVADA DE FUNÇÕES INVERSAS 
 
2.1) Nas questões a seguir, determine se a função dada é biunívoca, caso seja, 
determine o seu domínio e sua imagem. Faça um esboço do gráfico da função: 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( √ 
 ( ( 
 
 
 
 
 
 
 ( ( 
 ( ( 
 
 
 
 
 
 
 ( ( 
 ( √ 
 
 
 ( 
 
 
 
 ( √ 
 
2.2) Encontre a derivada da função inversa de cada função dada a seguir. 
 ( 
 ( 
 ( 
 
 
 
 ( √ 
 ( √ 
 
2.3) Encontre a derivada de cada função a seguir. 
 ( (
 
 
 ) 
 ( ( 
 ( ( 
 ( ( 
 ( (√ ) 
 ( ( ( ) 
 ( ( (
 
 
)) 
 ( (√ ) 
 ( ( 
 ( (
 
 
) 
 ( ( (√ ) 
 ( (
 
 
 ) √ 
 
 
 
4. MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Exemplo 1: 
Tabela 1 
x f(x) f'(x) f''(x) 
-10 -1689 429 -72 
-9 -1295 360 -66 
-8 -967 297 -60 
-7 -699 240 -54 
-6 -485 189 -48 
-5 -319 144 -42 
-4 -195 105 -36 
-3 -107 72 -30 
-2 -49 45 -24 
-1 -15 24 -18 
0 1 9 -12 
1 5 0 -6 
2 3 -3 0 
3 1 0 6 
4 5 9 12 
5 21 24 18 
6 55 45 24 
7 113 72 30 
8 201 105 36 
9 325 144 42 
10 491 189 48 
 
 
Exemplo 2: 
Tabela 2 
x f(x) f'(x) f''(x) 
-10 -1931 468 -75 
-9 -1499,5 396 -69 
-8 -1137 330 -63 
-7 -837,5 270 -57 
-6 -595 216 -51 
-5 -403,5 168 -45 
-4 -257 126 -39 
-3 -149,5 90 -33 
-2 -75 60 -27 
-1 -27,5 36 -21 
0 -1 18 -15 
1 10,5 6 -9 
2 13 0 -3 
3 12,5 0 3 
4 15 6 9 
5 26,5 18 15 
6 53 36 21 
7 100,5 60 27 
8 175 90 33 
9 282,5 126 39 
10 429 168 45 
 
Inflexão (2,5 ; 12,75) 
 
 
Exemplo 3: Encontre os máximos e mínimos, o ponto de inflexão e o ponto crítico da 
função 
 ( 
 
 
 
Esboce o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 3 
x > 0 f(x) f'(x) f''(x) 
10 0,1 -0,01 0,002 
9 0,111111 -0,01235 0,002743 
8 0,125 -0,01563 0,003906 
7 0,142857 -0,02041 0,005831 
6 0,166667 -0,02778 0,009259 
5 0,2 -0,04 0,016 
4 0,25 -0,0625 0,03125 
3 0,333333 -0,11111 0,074074 
2 0,5 -0,25 0,25 
1 1 -1 2 
0,1 10 -100 2000 
0,01 100 -10000 2000000 
0,0001 10000 -1E+08 2E+12 
Tabela 4 
x < 0 f(x) f’(x) f’’(x) 
-10 -0,1 -0,01 -0,002 
-9 -0,11111 -0,01235 -0,00274 
-8 -0,125 -0,01563 -0,00391 
-7 -0,14286 -0,02041 -0,00583 
-6 -0,16667 -0,02778 -0,00926 
-5 -0,2 -0,04 -0,016 
-4 -0,25 -0,0625 -0,03125 
-3 -0,33333 -0,11111 -0,07407 
-2 -0,5 -0,25 -0,25 
-1 -1 -1 -2 
-0,9 -1,11111 -1,23457 -2,74348 
-0,09 -11,1111 -123,457 -2743,48 
-0,0009 -1111,11 -1234568 -2,7E+09 
 
 
 
 
 
 
3.1) Dada a função a seguir, assinale a alternativa correta 
 
 
 
 
a) crescente para todo x real 
b) é decrescente para todo x real 
c) crescente para x < 2 ou x > 3 e decrescente para 2 < x < 3 
d) decrescente para x < 2 ou x > 3 e crescente para 2 < x < 3 
e) crescente para x > 0 e decrescente para x < 0. 
 
3.2) Sendo ( , determine o intervalo em que a primeira derivada é 
positiva 
 
 
3.3) O custo total, em milhares de reais, para fabricar um produto é dado por 
 ( , onde q é medido em milhares de unidades, para até 12.000 
unidades. O valor exato de q para o qual o custo médio é mínimo é 
 
 
 
 
 
 
3.4) Um mínimo relativo da função ( é o ponto 
 
 
 
 
 ( 
 
3.5) Uma empresa tema capacidade máxima em sua produção de 5000 unidades de 
determinado produto. O custo de produção desse produto é dado por ( 
 , sendo x o número de unidades produzidas. A demanda desse produto é 
dada por , sendo o preço unitário. O preçounitário cobrado na 
venda desse produto para maximizar o lucro é 
 
 
 
 
 
 
3.6) Assinale a alternativa correta para a função 
 ( 
 
 
 
a) É côncava para baixo em ( e é ponto de inflexão. 
b) É côncava para cima em ( e não é ponto de inflexão. 
c) É côncava para baixo em ( e é ponto de inflexão. 
d) É côncava para baixo em ( e não é ponto de inflexão. 
e) É côncava para cima em ( e côncava para baixo em ( . 
 
3.7) Se é dada por ( , então 
a) a função tem concavidade voltada para cima para todo x > 0. 
b) a função tem concavidade voltada para cima para todo x < 0. 
c) a função tem concavidade voltada para cima para todo x > 2. 
d) a função tem concavidade voltada para baixo para todo . 
e) a derivada de segunda ordem é diferente de zero para x = 2. 
 
3.8) Analisando a função ( , assinale a alternativa correta 
a) A o ponto x = 0 é um ponto de mínimo relativo. 
b) O ponto x = 1 é um ponto de mínimo relativo. 
c) O ponto x = 3,5 é um ponto de máximo relativo. 
d) O ponto x = 3,5 é um ponto de mínimo relativo. 
e) O ponto x = 9 é um ponto de máximo global. 
 
3.9) Um foguete após t segundos atinge uma altura em metros dada pela função 
 ( 
 
 
 
Quando o foguete esta subindo¿ e Quando está caindo¿ 
a) Está subindo nos 8 segundos iniciais e em seguida começa a cair. 
b) Está subindo nos 19 segundos iniciais e em seguida começa a cair. 
c) Está subindo nos 18 segundos iniciais e em seguida cai. 
d) Está subindo a partir do primeiro segundo até o décimo sétimo segundo e em 
seguida cai. 
e) Está subindo nos 17 segundos iniciais e em seguida cai. 
 
3.10) Determine os intervalos de crescimento e decréscimo da função 
 ( 
 
 
 
a) crescente para ( e decrescente para ( 
b) crescente para ( ] e [ e decrescente para [ ] 
c) decrescente para [ ] e crescente para ( ] ou [ 
d) crescente para ( ] e decrescente para [ 
e) crescente para [ e decrescente para ( ] ou [ . 
 
3.11) Dada a função real f(x), cuja derivada primeira é dada por 
 ( 
 
 
 
assinale a alternativa correta 
a) f(x) tem valor máximo para x = 1. 
b) f(x) tem valor mínimo para x = 1. 
c) f(x) é sempre crescente 
d) f(x) é crescente se x > 0 e f(x) é decrescente se x < 0. 
e) f(x) é sempre decrescente se x > 0. 
 
3.12) Analisando a função ( , assinale a alternativa correta 
a) O ponto x = 0 é um ponto de mínimo relativo. 
b) O ponto x = 1 é um ponto de mínimo relativo. 
c) O ponto x = 1,5 é um ponto de máximo relativo. 
d) O ponto x = 1,5 é um ponto de mínimo relativo. 
e) O ponto x = 1 é um ponto de máximo relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Estude a função da com relação à concavidade e pontos de inflexão. Esboce o 
gráfico. 
 ( ( ( ( 
 
 
 
 
 ( ( 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 ( 
 ( 
 
 ( ( √ 
 
 ( 
 
 
 
 ( ⁄ ( ( 
 
3) Seja ( 
a) Que condições b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexão de f¿. 
Justifique. 
b) Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal¿ Em caso afirmativo, 
determine-os. 
 
4) Suponha que ( em ] [ e que existe tal que 
 ( . Prove 
que 
 
 
 ( 
5) Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais. 
 ( 
 
 
 ( ( ( 
 
 ( ( ( 
 
6) Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados, 
inscrito na elipse . 
 
7) Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m³ de volume. Nas 
laterais e no fundo será utilizado material que custa R$ 10 o metro quadrado e na 
tampa material de R$ 20 o metro quadrado. Determine as dimensões da caixa que 
minimizem o custo material empregado. 
 
8) é uma reta que passa pelo ponto (1,2) e intercepta os eixos nos pontos 
( e ( , com e . Determine r de modo que a distância de A e B 
seja a menor possível. 
 
11) A Cia. e Ltda. produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de 
 . Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por 
 . Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado 
consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo¿ 
 
12) Determinado produto é produzido e vendido a um preço unitário p. O preço de 
venda não é constante, ma varia em função da quantidade q demandada pelo 
mercado, de acordo com a equação √ , . Admita que, para 
produzir e vender uma unidade do produto, a empresa gasta em média . Que 
quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo¿ 
 
14) A Cia. e Ltda. produz um determinado produto e vende-o com um lucro total 
dado por ( , onde representa a quantidade produzida. 
Determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro. Esboce o gráfico 
desta função. 
 
15) Determine uma reta tangente ao gráfico de , de modo que a distância 
da origem a ela seja a menor possível. 
 
16) Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação 
refere-se a ponto de máximo local,, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão). 
 ( 
 
 
 ( √ 
 
 ( 
 ( 
 
 
 ( ( 
 
 
17) Determine os valores máximos e mínimos (caso existam) da função dada, no 
intervalo dado. 
 ( 
 
 
 [ ] 
 ( [ ] 
 ( 
 
 
 
 
 
 [ ] 
 ( ( ( [ ] 
 ( √ 
 
 [ ] 
 ( 
 
 
 ] [ 
6. OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES 
 
1. Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser 
inscrito em um cone circular reto com raio de 6 cm e altura de 15 cm. 
 
Solução: 
-Semelhança de triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Volume do cilindro 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 ( 
-Intervalo de máximo: 
 O intervalo do raio (distância horizontal) que permite que o cilindro esteja 
inscrito no cone é: 
 
 
 
 ( ,
 
 
 
E o intervalo onde a função do volume é máxima é: 
 |
 
 
 ( 
 
 
 ( [ ] 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
Logo, a altura do cilindro que maximiza a função volume é: 
 
 
 
 
 
 
 
Então, o volume máximo é: 
|
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
2. Um edifício de 2000 m² de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m 
na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor 
área onde esse edifício possa ser construído. 
Solução: 
-Área do terreno: 
 
 
 
 
 ( ( 
-Área do terreno otimizada: 
 ( ( ( ( 
Substituindo (1) e (2), temos 
 ( ( (
 
 
 ) 
 ( 
 
 
 ( 
Então, o valor mínimo absoluto é: 
 | 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 ( 
 
 
 
 
Então, as dimensões do edifício e do lote que tornam suas áreas máximas são: 
 
 
 
3. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm³.O 
material da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material 
para os lados R$ 1,50 por centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de 
modo que o custo seja mínimo. 
 
-Volume da caixa: 
 
 
 
 
 ( ( 
-Custo da área da base e da tampa da caixa 
 
 
-Custo da Área lateral da caixa: 
 
-Custo total da caixa (2 áreas de base e 4 áreas laterais): 
 ( 
 ( ( 
Substituindo (1) em (2), temos 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
-Função Custo Otimizada: 
 | 
 ( ( 
 
 
) ( 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 √ 
 ( 
 
 
 
 
Então, as dimensões da caixa que tornam seu custo mínimo são: 10 cm x 10 cm x 
20 cm. 
 
13) Do ponto A, situado numa das margens de um rio, de 100 m de largura, deve-se 
levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado 
na água custa o metro, e o que será utilizado fora, o metro. Como 
deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível¿ 
(Suponha as margens retilíneas e paralelas.) 
 
9) Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessa do rio (de 
100 m de largura) um barco com velocidade máxima de ⁄ ; de B a C utilizará 
uma bicicleta com velocidade máxima de ⁄ . Determine B para que o tempo 
gasto ao percurso seja o menor possível. 
 
10) Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e 
raio r, uma semi-esfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 
 . Determine r e h para que o volume seja máximo. 
 
Solução: 
-Volume do sólido: