Relatório Princípio de Arquimedes

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de Física
Departamento de Física Geral
FIS 122 – Física Geral e Experimental II-E / Laboratório
Turma Teórica/Prática: T05 / P09	Data: 17/09/2007
Alunos: Érico Santos, Simon Mazur, Tadeu Oliveira, Thiago José Luz
Princípio de Arquimedes
Índice
Introdução 										 3
O que foi feito no Laboratório 							 5
Folha de Dados 									 6
Tratamento de Dados 									 7
Conclusão 										13
Anexos 										14
Introdução
	Quando imerso em um fluido um corpo sofre, em virtude do princípio de Pascal, pressões diferenciadas sobre a sua superfície, maiores na sua parte inferior que na sua parte superior, tendo uma força resultante vertical para cima, fenômeno este regido pelo chamado Princípio de Arquimedes. De acordo com este princípio, o empuxo hidrostático, isto é a força que o fluido exerce sobre o corpo é igual ao peso do volume do fluido deslocado no processo de imersão.
	Considerando o esquema abaixo:
Considerando um corpo
 na forma de um paralelepípedo. 
Sendo:
A = Área da Base
h = Altura
Sendo 
, etc
, sendo 
 as forças hori-
zontais atuantes no corpo.
Sendo 
 as forças verticais atuantes no corpo:
Sendo:
 - Densidade do líquido;
 - Volume do corpo;
 - Pressão do Ar.
Como 
, sendo 
 a massa do líquido deslocado, tem-se:
	As forças que atuam no corpo são a força Peso e o Empuxo (forças verticais). A resultante das forças que agem no corpo é dada por:
	A atuação do Empuxo permite três casos distintos, a saber:
Onde:
	(i) - Força Resultante orientada para cima (situação temporária) até , quando o corpo estará “flutuando” no líquido.
	(ii) - Força Resultante nula.
	(iii) - Nunca ocorrerá . Força Resultante orientada para baixo.
O que foi feito no Laboratório?
O material utilizado no laboratório para realização do experimento foi:
Mola
Porta pesos
Placa ponteiro
Régua
Conjunto de massas aferidas
Proveta graduada
Béquer
Balança
Álcool
Água
O experimento foi subdividido em 3 (três) objetivos. Como primeiro objetivo, buscou-se obter a densidade do álcool. Para isso, foi necessária a utilização do picnômetro e da balança. Inicialmente, pesou-se o picnômetro vazio para encontrar o valor de tara da balança, feito isso, o álcool foi inserido no picnômetro preenchendo completamente o volume interno do recipiente. Pesou-se novamente o picnômetro, agora com álcool e os valores foram inseridos na tabela de dados. Repetiram-se os mesmos procedimentos utilizados para a determinação da densidade do álcool, substituindo-o por água, porem foram tomados os cuidados necessários para que o picnômetro não possuísse resíduo de álcool no momento em que a água foi inserida.
Paralelamente a determinação do álcool, outro integrante da equipe cumpria o segundo objetivo do experimento que foi a calibração da mola. Utilizando uma placa ponteiro na parte inferior da mola e um porta pesos acoplado na parte inferior da placa ponteiro, fez-se a leitura da posição inicial do sistema, ou seja, quando não existe forças sendo aplicadas a mola. Depois de determinado o ponto “0” (zero) do sistema, pesos foram inseridos no suporte e para cada configuração de peso diferente, anotou-se a elongações sofridas pela mola.
Somente depois de ter concluído os dois primeiros objetivos, foi possível a realização da terceira parte do experimento, as medidas do empuxo hidrostático. Então, fez-se necessária a medição da elongação sofrida pela mola quando três cilindros de massas distintas foram presos, apenas um por vez, na extremidade inferior da placa ponteiro que por sua vez estava presa à parte inferior da mola. A tabela de dados foi preenchida com os valores encontrados. Então, utilizando uma proveta graduada, inicialmente preenchida com álcool até 200 mL avaliado sem mergulhar os cilindros, mediu-se a elongação da mola e o nível do álcool com os objetos totalmente submersos e sem contato com a parede ou o fundo da proveta. Depois, mediu-se novamente a elongação e o nível sendo que dessa vez, os objetos estavam parcialmente imersos. Por fim o álcool foi substituído por água, até 225 mL, tomando novamente o cuidado para que não sobrassem vestígios de álcool na proveta, e foram realizados os mesmos procedimentos descritos com a proveta preenchida com álcool. 
 
Folha de Dados
Princípio de Arquimedes
Tabela 1: Densidade Relativa do Álcool
	 m. picnômetro vazio
	86.2
	 m. picnômetro c. água
	269.0
	 m. picnômetro c. álcool
	258.5
	 densidade do álcool (Kg/m³)
	861.5
Tabela 2: Calibração da Mola
	Massa (g)
	50
	100
	150
	180
	200
	Peso (gf)
	50
	100
	150
	180
	200
	Elongação (cm)
	1.6
	2.5
	4.7
	6.2
	7.0
Tabela 3: Valores Medidos para Imersão no Álcool – 
	Objeto
	
	Imersão
	
	
	V
(cm³)
	
	
	
	1
	2.0
	Total
	1.1
	0.9
	222.5
	22.5
	19.4
	19.8
	
	
	Parcial
	1.5
	0.5
	210.0
	10.0
	8.6
	11.0
	2
	2.7
	Total
	2.2
	0.5
	210.0
	10.0
	8.6
	11.0
	
	
	Parcial
	2.4
	0.3
	205.0
	5.0
	4.3
	6.6
	3
	4.9
	Total
	4.3
	0.6
	213.8
	13.8
	11.9
	13.2
	
	
	Parcial
	4.7
	0.2
	205.0
	5.0
	4.3
	4.4
Tabela 4: Valores Medidos para Imersão na Água – 
	Objeto
	
	Imersão
	
	
	V
(cm³)
	
	
	
	1
	2.0
	Total
	1.2
	0.8
	247.5
	22.5
	20.6
	17.6
	
	
	Parcial
	1.5
	0.5
	237.5
	12.5
	11.4
	11.0
	2
	2.7
	Total
	2.3
	0.4
	235.0
	10.0
	9.1
	8.8
	
	
	Parcial
	2.4
	0.3
	232.5
	7.5
	6.9
	6.6
	3
	4.9
	Total
	4.4
	0.5
	240.0
	15.0
	13.7
	11.0
	
	
	Parcial
	4.7
	0.2
	231.0
	6.0
	5.5
	4.4
 			- elongação correspondente ao peso real do objeto (objetos 1, 2 e 3);
 	- elongação correspondente ao peso aparente do objeto (total ou parcialmente imerso, conforme o caso);
 			- volume inicial do líquido (álcool ou água);
 			- volume do líquido + objeto total ou parcialmente imerso;
 			- densidade do álcool (determinada previamente) e da água (= 1 g/cm³);
 		- massa do volume de líquido deslocado;
 		- empuxo, medido conforme a reta () que estabeleceu a calibração da mola.
Tratamento de Dados
1 – Determinação da Densidade do álcool
	Foi tomada a medida do béquer vazio (). Em seguida encheu-se com álcool e mediu-se novamente (). Foi repetido o procedimento para a água, medindo-se novamente (). Através da relação densidade , é possível se calcular a densidade do álcool segundo a expressão:
Calculando a densidade do álcool:
Entretanto, como , então:
Assim:
Deste modo, concluímos que a medida é compatível com o esperado, pois para um mesmo volume, o valor da massa do álcool foi menor que a da água. Logo, a densidade do álcool é realmente menor.
2 – Calibrações da Mola
Durante a realização do processo experimental foram tomados valores para a força que seria aplicada à mola de tal forma que a relação entre essa força e a elongação da mola fosse linear. Com estes dados foi possível traçar a curva de calibração da mola (Gráfico está contido na sessão Anexos).
A análise do gráfico sugere uma dependência linear entre as grandezas, como já era esperado, do tipo:
Utilizaremos o método dos mínimos quadrados para determinar as constantes k e b. Tomaremos a seguinte tabela para facilitar os cálculos:
	 
	Elongação
	(x)
	Peso
	(y)
	Elongação
	.
	Peso
	Elongação ²
	1
	2.50
	100.00
	250.00
	6.25
	2
	4.70
	150.00
	705.00
	22.09
	3
	6.20
	180.00
	1116.00
	38.44
	4
	7.00
	200.00
	1400.00
	49.00
	∑
	20.4
	630.00
	3471.00
	115.78
A expressão resultante torna-se:
3 – Medidas do Empuxo Hidrostático
Pela análise do gráfico Empuxo x Massa (álcool) percebeu-se tratar de uma dependência linear entre o empuxo e a massa, aqui expressapor:
Será utilizado o método dos mínimos quadrados para determinar os valores das constantes g e b. A tabela seguinte será utilizada para facilitar os cálculos:
	 
	Massa
	(X)
	Empuxo
	(Y)
	Massa
	.
	Empuxo
	Massa ²
	1
	19.40
	19.80
	384.12
	376.36
	2
	8.60
	11.00
	94.60
	73.96
	3
	8.60
	11.00
	94.60
	73.96
	4
	4.30
	6.60
	28.38
	18.49
	5
	11.90
	13.20
	157.08
	141.61
	6
	4.30
	4.40
	78.92
	18.49
	∑
	57.10
	66.00
	837.70
	702.87
A expressão resultante torna-se:
Repetindo-se o mesmo processo para a água, percebe-se novamente a dependência linear:
Será utilizado o método dos mínimos quadrados para determinar os valores das constantes g e b. A tabela seguinte será utilizada para facilitar os cálculos:
	 
	Massa
	(X)
	Empuxo
	(Y)
	Massa
	.
	Empuxo
	Massa ²
	1
	20.60
	17.60
	362.56
	424.36
	2
	11.40
	11.00
	125.40
	129.96
	3
	9.10
	8.80
	80.08
	82.81
	4
	6.90
	6.60
	45.54
	47.61
	5
	13.70
	11.00
	150.70
	187.69
	6
	5.50
	4.40
	24.20
	30.25
	∑
	67.20
	59.40
	788.48
	902.68
A expressão resultante torna-se:
Folha de Questões
Princípio de Arquimedes
Resolução das questões as quais se encontram no verso da Folha de Dados:
	1 – Determine a densidade do álcool e lance o seu valor no respectivo campo da Folha de Dados.
	R: O valor para a densidade do álcool encontra-se na Folha de Dados e na sessão Tratamento de Dados deste Relatório.
	2 – Trace em folha de papel milimetrado os pontos obtidos para a calibração da mola (não trace a curva).
	R: Os pontos para a calibração da Mola encontram-se na sessão Anexos.
	3 – Analisando essa curva e outros dados sobre a mola utilizada, estabeleça o limite inferior da região de linearidade da mola. Justifique a sua escolha.
	R: O limite de linearidade da mola está compreendido para valores acima de 2.5 cm. Pela análise do gráfico, percebe-se um comportamento não-linear do mesmo para valores de medição abaixo de 2.5 cm.
	4 – Estabeleça, como foi sugerido no texto, o ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados dessa curva de calibração no que se refere à sua região de linearidade, isto é, determine os coeficientes da reta: . Trace, no mesmo papel em que foram lançados os pontos, essa reta.
	R: Este tópico encontra-se na sessão Tratamento de Dados deste relatório.
	5 – Distinga no gráfico anterior a região de não-linearidade e estabeleça uma maneira de medir, usando esse gráfico, um peso cujo valor esteja dentro dessa região.
	R: Pela análise do gráfico, o peso cujo valor esteja abaixo de 100.40 gf está na região de não linearidade. Primeiro, deve-se linearizar a função e posteriormente aplicar o Método dos Mínimos Quadrados, traçar o gráfico em papel Log-Log.
	6 – Tomando por base o próprio processo de imersão, justifique a imposição de que a curva ExΔm para o álcool, passe pela origem. Lance distintamente em papel milimetrado os pontos dessa curva levando em conta esse fato (não trace a curva).
	R: Pelo Princípio de Arquimedes, o peso deslocado corresponde ao empuxo. Logo, se não há variação de massa, não há empuxo, justificando assim porque há a obrigatoriedade do gráfico passar pela origem.
	7 – Ajuste, pelo MMQ, os pontos obtidos no gráfico ExΔm para o álcool a uma reta passando pela origem (ver Exercício 3 na página 7 do Guia de Laboratório), isto é, ache o valor de g na equação: , e trace essa reta sobre os pontos obtidos experimentalmente.
	R: A tabela seguinte será utilizada para facilitar os cálculos:
	 
	Massa
	(X)
	Empuxo
	(Y)
	Massa
	.
	Empuxo
	Massa ²
	1
	19.40
	19.80
	384.12
	376.36
	2
	8.60
	11.00
	94.60
	73.96
	3
	8.60
	11.00
	94.60
	73.96
	4
	4.30
	6.60
	28.38
	18.49
	5
	11.90
	13.20
	157.08
	141.61
	6
	4.30
	4.40
	78.92
	18.49
	∑
	57.10
	66.00
	837.70
	702.87
	g, da equação , segundo o Método dos Mínimos Quadrados, é determinado através da seguinte relação:
	O Gráfico encontra-se na sessão Anexos deste relatório.
8 – Repita os procedimentos das questões 6 e 7 para a água.
	R: A tabela seguinte será utilizada para facilitar os cálculos:
	 
	Massa
	(X)
	Empuxo
	(Y)
	Massa
	.
	Empuxo
	Massa ²
	1
	20.60
	17.60
	362.56
	424.36
	2
	11.40
	11.00
	125.40
	129.96
	3
	9.10
	8.80
	80.08
	82.81
	4
	6.90
	6.60
	45.54
	47.61
	5
	13.70
	11.00
	150.70
	187.69
	6
	5.50
	4.40
	24.20
	30.25
	∑
	67.20
	59.40
	788.48
	902.68
	g, da equação , segundo o Método dos Mínimos Quadrados, é determinado através da seguinte relação:
	A mesma justificativa dada para o caso do álcool vale para a água (a curva ExΔm passar pela origem). O Gráfico encontra-se na sessão Anexos deste relatório.
9 – Reúna num só gráfico todos os pontos obtidos para a relação ExΔm para a imersão no álcool e na água.
	R: O gráfico encontra-se na sessão Anexos deste relatório.
10 – Ajuste pelo MMQ esses pontos a uma reta passando pela origem. É correto assumir a forma também neste caso? Justifique sua resposta.
	R: A relação entre o empuxo e a variação da massa é definida como:
	Como a reta passa pela origem, sendo b=0, assim, tem-se:
	Segundo a teoria do Método dos Mínimos Quadrados, pode-se achar g através da relação:
	É correto assumir a forma , pois os valores obtidos teoricamente são compatíveis com os obtidos com os valores obtidos experimentalmente.
11 – Discuta os valores obtidos para g nos três casos, identificando as principais fontes de erro do experimento.
R: Através da análise dos três casos, percebe-se a dependência da variação da massa para a determinação da gravidade. Quanto maior a variação da massa, maior será a gravidade. Existem diversas causas para presença de erros no experimento. A imprecisão dos instrumentos e erros humanos são as principais causas.
Conclusão
Neste experimento pôde-se verificar o princípio de Arquimedes atuando em corpos de formas e densidades diferentes imersos em fluidos de densidades também diferentes, água e álcool. Esse princípio trás a comprovação teórica de uma série de fenômenos o qual todos estão acostumados a ver, tais como a flutuação de certos objetos como a madeira na água.
No laboratório foi possível observar o comportamento de um sistema massa-mola quando o corpo fixado a esse sistema é submerso num fluido, em particular no álcool e na água. Primeiramente determina-se a densidade relativa do álcool que foi usada no experimento como densidade absoluta. Isso foi realizado medindo-se a massa do béquer vazio e depois cheio de álcool e cheio de água, e calculando a razão entre essas massas.
Num segundo momento foi calculada a calibração da mola, aumentando a massa presa à mola e analisando o comportamento da elongação. Verificou-se tratar de uma dependência linear como enunciado pela lei de Hooke. Foi Determinada, então, a constante elástica da mola.
O estudo sobre o Princípio de Arquimedes nos leva ao entendimento de uma série de fenômenos. Na flutuação de corpos, por exemplo, quando o material de um corpo é menos denso que o fluido onde está imerso, é possível encontrar uma posição de equilíbrio flutuando na superfície, a exemplo dos icebergs. A densidade do gelo é inferior à da água em cerca de 10%, logo, a maior parte do volume do bloco de gelo fica imersa (cerca de 90%). Dando origem à expressão “a ponta do iceberg”.
Outro fenômeno interessante é o fato de que é impossível alguém se afogar no golfo de Kara-Bogaz-Gol (Mar Cáspio). Isso ocorre, pois a densidade da água atinge 1,18g/cm3, superior a densidade média do corpo humano, permitindo assim que se flutue tranqüilamente.
Mas, este princípio não se aplica somente para a água, éválido também para o ar. Sobre um objeto rodeado de ar atua uma impulsão igual ao peso do ar deslocado. Portanto, na atmosfera ele "pesa" menos do que no vácuo. A perda de peso será tanto mais elevada quanto maior for o volume. Uma tonelada de isopor (peso real) perderá mais peso (quando a pesagem ocorrer ao ar) que uma tonelada de chumbo. Qualquer pesagem feita com precisão deverá ter em conta a perda de peso devida à impulsão do ar. Isso nos leva a compreender porque balões de hidrogênio podem transportar cargas consideráveis, ainda que com capacidades relativamente pequenas de algumas centenas de metros cúbicos.
Anexos
05/11/2007	Página 3