Lista 1 Calc II (com gabarito)

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INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ | Reitoria 
 Av. Victor Ferreira do Amaral, 306 - Tarumã, Curitiba - PR | CEP 82530-230 - Brasil 
Curso: Licenciatura em Química Disciplina: Cálculo II 
Professor: Azuaite Aramis Schneider Trimestre: 1º 
 
Lista de Exercícios 2 
 
1) Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1; 𝑥 = 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ. 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 6; 𝑥 = −1, 𝑥 = 2. 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥(3𝑥 − 5); 𝑥 =
1
2
, 𝑥 = 𝑎, 𝑎 ∈ ℝ. 
 
2) Encontre as equações das retas tangente e normal à curva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 no 
ponto (−2, 9). (Lembre-se que o coeficiente angular da reta normal é 𝑚𝑛 = −
1
𝑚𝑡
). 
 
3) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante 𝑡 é dada 
por 𝑓(𝑡) = 16𝑡 + 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância 
em metros. 
a) Ache a velocidade média durante o intervalo de tempo [𝑏, 𝑏 + ℎ], 0 ≤ 𝑏 < 8. 
b) Ache a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1], [3; 3,01] e [3; 3,001]. 
c) Determine a velocidade do corpo num instante qualquer 𝑡. 
d) Ache a velocidade do corpo no instante 𝑡 = 3. 
 
4) Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 1 − 4𝑥2 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 1 
c) 𝑓(𝑥) =
1−𝑥
𝑥+3
 
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3
3
 
e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+2
 
f) 𝑓(𝑥) =
1
√2𝑥−1
 
5) Dada a função 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0
 𝑥, 𝑥 < 0
, 
verifique se existe 𝑓′(0). 
 
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6) Dada a função 
𝑓(𝑥) =
1
2𝑥 − 6
, 
verifique se existe 𝑓′(3). 
 
7) Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2, determine os intervalos em que: 
a) 𝑓′(𝑥) > 0 
b) 𝑓′(𝑥) > 0 
 
8) O número de indivíduos de uma bactéria depois de 𝑡 horas em um laboratório 
experimental controlado é 𝑛 = 𝑓(𝑡). 
a) Qual o significado da derivada 𝑓′(5)? 
b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e nutrientes para a 
bactéria. Qual será maior: 𝑓′(5) ou 𝑓′(10) ? Se a oferta de nutrientes for 
limitada, isso afetaria sua conclusão? Explique. 
 
 
 
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Gabarito 
1) 
a) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥; 𝑓′(1) = 2, 𝑓′(0) = 0, 𝑓′(𝑎) = 2𝑎, 𝑎 ∈ ℝ. 
b) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 3; 𝑓′(−1) = −5, 𝑓′(2) = 1. 
c) 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 − 5; 𝑓′ (
1
2
) = −2, 𝑓′(𝑎) = 6𝑎 − 5, 𝑎 ∈ ℝ. 
2) Tangente: 𝑦 = −6𝑥 − 3; Normal: 𝑦 =
𝑥
6
+
28
3
 
3) 
a) 𝑣𝑚 = (16 + 2𝑏 + ℎ) 𝑚/𝑠; 
b) 𝑣𝑚 = 22,1 𝑚/𝑠, 𝑣𝑚 = 22,01 𝑚/𝑠, 𝑣𝑚 = 22,001 𝑚/𝑠, respectivamente; 
c) 𝑣(𝑡) = (16 + 2𝑡) 𝑚/𝑠; 
d) 𝑣(3) = 10 𝑚/𝑠 
4) 
a) 𝑓′(𝑥) = −8𝑥 
b) 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 1 
c) 𝑓′(𝑥) = −
4
(𝑥+3)2
 
d) 𝑓′(𝑥) = √𝑥 + 3
3
 
e) 𝑓′(𝑥) =
1
3(𝑥+3)
2
3
 
f) 𝑓′(𝑥) =
1
(2𝑥−1)
3
2
 
5) Não existe, pois a função é descontínua em 𝑥 = 0. 
6) Não existe, pois 𝑓′(𝑥) =
1
2(𝑥−3)2
 e a derivada não está definida em 𝑥 = 3. Outro ar-
gumento é que a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) tem uma assíntota vertical em 𝑥 = 3, portanto, a 
inclinação da reta tangente nesse ponto não está definida. 
7) 
a) 𝑓′(𝑥) > 0 se 𝑥 > −3/4 
b) 𝑓′(𝑥) < 0 se 𝑥 < −3/4 
8) 
a) É a velocidade do aumento do número de indivíduos da bactéria no instante 
𝑡 = 5 horas. 
b) Se não houver limitação nem de espaço e nem de nutrientes, quanto maior o 
número de bactérias, mais rapidamente a população irá aumentar e, portanto 
a velocidade de aumento do número de bactérias em 𝑡 = 10, que é 𝑓′(10), será 
maior que a velocidade de aumento do número de bactérias em 𝑡 = 5, que é 
𝑓′(5). Mas se houver limitação de nutrientes pode ser que a velocidade de 
crescimento do número de bactérias não aumente entre 5 e 10 horas.