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1 1 Exerc´ıcios 1. Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo (T.F.C.) para achar a derivada das seguintes func¸o˜es. a) g(y) = ∫ y 2 t2 sin(t) dt ; b) g(u) = ∫ u −1 1 x+ x2 dx ; c) F (x) = ∫ 2 x cos(t2) dt ; d) F (x) = ∫ 10 x tan(θ) dθ ; e) h(x) = ∫ 1 x 2 arctan(t) dt ; f) y = ∫ √x 3 cos(t) t dt ; g) y = ∫ cos(x) 1 (t+ sin(t)) dt ; h) y = ∫ 0 ex [sin(t)]3 dt ; i) f(x) = ∫ x2 0 t2 + 4 2t dt . 2. Utilize o T.F.C. para calcular as integrais definidas abaixo, ou explique porque elas na˜o existem. a) ∫ 3 −1 x5 dx ; b) ∫ 2 1 x−2 dx ; c) ∫ 8 2 (4x+ 3) dx ; d) ∫ 4 0 √ x dx ; e) ∫ 1 0 x 3 7 dx ; f) ∫ 2 1 3 t4 dt ; g) ∫ 1 −1 3 t4 dt ; h) ∫ 1 0 (3 + x √ x) dx ; i) ∫ ln 6 ln 3 8ex dx ; j) ∫ e 1 xn dx ; com n real; l) ∫ 2 0 f(x) dx ; onde, f(x) = { x4, se 0 ≤ x ≤ 1, x5, se 1 ≤ x ≤ 2. 3. Na figura 1, a a´rea B e´ treˆs vezes a a´rea A. Expresse b em termos de a. Figura 1: Referente a questa˜o 3. 2 Figura 2: Referente a questa˜o 5. 4. Determine a curva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) cujo coeficiente angular em cada ponto e´ 3 √ x. 5. Calcule as integrais de f(x) abaixo, interpretando-as em termos de a´rea. A func¸a˜o f(x) esta´ definida no intervalo [0, 9] de acordo com a figura 2. a) ∫ 2 0 f(x) dx ; b) ∫ 5 0 f(x) dx ; c) ∫ 7 5 f(x) dx ; d) ∫ 9 0 f(x) dx . 6. Seja v(t) = 3t− 5 a velocidade de um corpo em m/s, encontre: a) o deslocamento no intervalo 0 ≤ t ≤ 3. b) a distaˆncia percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 3. 7. Seja a(t) = 2t+ 3 a acelerac¸a˜o de um corpo em m/s2, encontre: a) a velocidade no instante t. b) a distaˆncia percorrida no intervalo 0 ≤ t ≤ 3, sabendo que v(0) = −4 m/s. 8. Uma empresa tem o nu´mero de vendas por dia (vd), de uma determinada pec¸a, no ano de 2013, dado por: vd = t 2 + t, onde [t] = dia. Quantas pec¸as foram vendidas em todo o ano de 2013? 9. Suponha a taxa de crescimento populacional de uma colmeia dada por dn dt = n′(t), onde t esta´ em semanas. Se a populac¸a˜o inicial de abelhas e´ 100, o que representa: 100 + ∫ 15 0 n′(t)dt. 3 10. Verifique, por diferenciac¸a˜o, que as integrac¸o˜es abaixo esta˜o corretas. Suponha k uma constante. a) ∫ x√ x2 + 1 dx = √ x2 + 1 + k ; b) ∫ x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + k ; c) ∫ tan(x) dx = − ln[cos(x)] + k ; d) ∫ sec2(x) dx = tan(x) + k ; e) ∫ sec(x) tan(x) dx = sec(x) + k . 11. Calcule as seguintes integrais indefinidas: a) ∫ (1− t)(2 + t2) dt ; b) ∫ 3 √ x dx ; c) ∫ sin(x) 1− sin2(x) dx ; d) ∫ √ 5√ x dx ; e) ∫ ( 1 t2 − 1 t4 ) dt ; f) ∫ x2 + 1√ x dx ; g) ∫ [2ex + 4 cos(x)] dx ; h) ∫ 1 + cos2(θ) cos2(θ) dθ .
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