Exercicio 03

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3 Exerc´ıcios
Resumo: Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais.
Uma func¸a˜o e´ dita racional quando pode ser escrita como:
f(x) =
P (x)
Q(x)
,
onde P (x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios. Por exemplo: f(x) = x+7
x2+2x−3 . Nesse caso, P (x) = x + 7 e
Q(x) = x2 + 2x− 3.
Para integrar func¸o˜es racionais, vale lembrar que e´ poss´ıvel expressar uma func¸a˜o racional
f como uma soma de frac¸o˜es mais simples (Frac¸o˜es Parciais) desde que o grau de P seja
menor que o grau de Q, ou seja, deg(P ) ≤ deg(Q).
Se deg(P ) ≥ deg(Q), a func¸a˜o racional e´ dita impro´pria, e nesse caso precisamos primeiro
dividir P por Q, ate´ que um resto R(x) seja obtido tal que deg(R) ≤ deg(Q). Dessa forma
ficamos com:
f(x) =
P (x)
Q(x)
= I(x) +
R(x)
Q(x)
,
onde I e R tambe´m sa˜o polinoˆmios. Por exemplo:
f(x) =
x3
x− 1 .
Note que o grau do numerador e´ maior que o grau do denominador. Sendo assim, antes de
qualquer coisa precisamos realizar a divisa˜o de x3 por x − 1. Procedendo com a divisa˜o,
chegamos a
f(x) =
x3
x− 1 = x
2 + x+ 1 +
1
x− 1 .
Identificamos enta˜o: I(x) = x2 + x+ 1 e R(x) = 1.
Agora, se deg(P ) ≤ deg(Q), podemos passar direto para a fase de encontrar as frac¸o˜es
parciais. Temos basicamente treˆs possibilidades.
Possibilidade 1: O denominador Q(x) e´ um produto de fatores lineares distintos.
Exemplo:
f(x) =
x+ 5
x2 + x− 2 .
Note que, encontrando as ra´ızes do denominador (Q(x)), a func¸a˜o f(x) pode ser reescrita da
seguinte forma:
f(x) =
x+ 5
(x− 1)(x+ 2) .
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Podemos observar enta˜o que o denominador e´ formado por um produto de termos lineares
distintos ((x− 1) e (x+ 2)). Nesse caso podemos escrever:
x+ 5
(x− 1)(x+ 2) =
A
(x− 1) +
B
(x+ 2)
,
onde A e B sa˜o constantes a serem determinadas. O pro´ximo passo e´ transformar o lado direito
da expressa˜o acima em uma u´nica frac¸a˜o, ou seja:
x+ 5
(x− 1)(x+ 2) =
A
(x− 1) +
B
(x+ 2)
=
A(x+ 2) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 2) .
Assim, so´ teremos uma igualdade entre as frac¸o˜es se o numerador tambe´m for igual. Da´ı temos:
x+ 5 = (A+B)x+ 2A−B.
Consequentemente, chegamos ao seguinte sistema de equac¸o˜es:{
A+B = 1
2A−B = 5
cujo resultado e´: A = 2 e B = −1. Logo, podemos reescrever a func¸a˜o original como segue.
f(x) =
x+ 5
x2 + x− 2 =
2
(x− 1) −
1
(x+ 2)
.
Em relac¸a˜o a`s integrais, e´ muito u´til separar uma func¸a˜o racional em frac¸o˜es parciais pois:∫
x+ 5
x2 + x− 2 dx =
∫
2
(x− 1) dx−
∫
1
(x+ 2)
dx,
onde vemos claramente que em termos de frac¸o˜es parciais a integrac¸a˜o da func¸a˜o racional
torna-se quase que imediata. Integrando o lado direito da equac¸a˜o acima encontramos:∫
x+ 5
x2 + x− 2 dx = 2 ln | x− 1 | − ln | x+ 2 |= ln
∣∣∣∣(x− 1)2(x+ 2)
∣∣∣∣.
Possibilidade 2: O denominador Q(x) e´ um produto de fatores quadra´ticos irredut´ıveis dis-
tintos.
Exemplo:
g(x) =
2x2 − x+ 4
x4 + 5x2 + 4
.
Observe que neste caso, podemos reescrever a func¸a˜o racional acima como:
g(x) =
2x2 − x+ 4
(x2 + 4)(x2 + 1)
.
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Pela expressa˜o acima vemos que o denominador e´ formado por um produto de fatores quadra´ticos
irredut´ıveis distintos. Note que na˜o podemos expressar esses fatores quadra´ticos em termos de
fatores lineares sem sair do espac¸o real. Nesse caso, para separarmos a func¸a˜o racional g(x) em
frac¸o˜es parciais, fazemos:
2x2 − x+ 4
(x2 + 4)(x2 + 1)
=
Ax+B
(x2 + 4)
+
Cx+D
(x2 + 1)
,
isto e´, para cada fator quadra´tico irredut´ıvel distinto, escrevemos uma frac¸a˜o cujo numerador e´
um termo linear completo. A partir da´ı, procedemos da mesma maneira que no primeiro caso
para encontrar A, B, C e D.
Possibilidade 3: O denominador Q(x) conte´m fatores quadra´ticos irredut´ıveis e/ou linea-
res repetidos.
Exemplo1:
h(x) =
x+ 1
x2
.
Note que x2 = x.x. Temos enta˜o um fator linear repetido. Para realizarmos o procedimento
para encontrar frac¸o˜es parciais para essa func¸a˜o devemos fazer:
h(x) =
x+ 1
x2
=
A
x
+
B
x2
,
ou seja, temos uma frac¸a˜o para cada repetic¸a˜o, com os expoentes seguindo a quantidade de
frac¸o˜es do termo repetido.
Exemplo2:
j(x) =
x+ 1
x3(x− 5) =
A
(x− 5) +
B
x
+
C
x2
+
D
x3
.
Note que a primeira frac¸a˜o do lado direito refere-se a Possibilidade 1.
Exemplo3:
v(x) =
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
.
Como o termo repetido e´ um fator quadra´tico irredut´ıvel, podemos escrever:
v(x) =
1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
=
A
x
+
Bx+ C
(x2 + 1)
+
Dx+ E
(x2 + 1)2
.
Exemplo4:
s(x) =
1 + 3x− 2x2
x(x− 1)2(x2 + 1)2 .
No exemplo acima, temos tanto fatores lineares, quanto quadra´ticos irredut´ıveis repetidos.
Podemos, portanto, reescrever a func¸a˜o s(x) da seguinte forma:
s(x) =
1 + 3x− 2x2
x(x− 1)2(x2 + 1)2 =
A
x
+
B
(x− 1) +
C
(x− 1)2 +
Dx+ E
(x2 + 1)
+
Fx+G
(x2 + 1)2
.
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Obs.: Apo´s separar as func¸o˜es seguindo os exemplos acima, basta proceder como realizado no
exemplo dado para a possibilidade 1, ou seja, escrevendo o lado direito como uma u´nica frac¸a˜o
e igualando os numeradores, o que resultara´ em um sistema que sempre podera´ ser solucionado.
Dessa forma, naturalmente encontrar-se-a´ as constantes envolvidas.
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1. Solucione as integrais abaixo utilizando o me´todo de frac¸o˜es parciais.
a)
∫
5
x2 + 3x+ 3
dx ; b)
∫
2x+ 3
x2 − 16 dx ; c)
∫
x2
x2 + 3x− 4 dx ; d)
∫
3x
x2 − 6x dx.
Dica.: Identifique primeiro em qual das possibilidades citadas no resumo o integrando se
encaixa. Depois, proceda com o me´todo para encontrar as frac¸o˜es parciais e so´ enta˜o realize a
integral.
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2. Utilize a tabela de substituic¸o˜es trigonome´tricas para solucionar as seguintes integrais:
a)
∫
1
x2
√
x2 − 9 dx ; b)
∫
x3
√
9− x2 dx ; c)
∫
x3
x2 + 9
dx.
Figura 3: Referente a questa˜o 2