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Cálculo I: lista 3 (2013/2) 1. Diferencie: (a) h(x) = x2ex (b) f(x) = √ xex (c) y = ex/x2 (d) p = ex 1 + x (e) g(x) = x+ 2 x− 1 (f) l(u) = 1− u2 1 + u2 (g) G(s) = (s2 + s+ 1)(s2 + 2) (h) f(x) = (1 + √ x)(x− x3) (i) f(x) = (x3 − x+ 1)(x−2 + 2x−3) (j) H(t) = et(1 + 3t2 + 5t4) (l) y = √ x− 1√ x+ 1 (m) f(x) = ex x+ ex (n) f(x) = tan x (o) f(x) = sec x (p) f(x) = csc x (q) f(x) = cotg x (r) f(x) = sinx x3 + ex (s) f(x) = x cosx (t) f(x) = ex secx 2. Encontre a equação da reta tangente no ponto pedido. (a) y = 2x x+ 1 (1, 1) (b) y = √ x x+ 1 (4, 0.4) (c) y = 2xex (0, 0) (d) y = ex x (1, e) 3. Utilizando duas vezes a regra do produto, demonstre que: (fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′ 1 4. Diferencie: (a) h(x) = (x3 + 4x)7 (b) f(x) = √ x2 − 7x (c) y = 1 (t2 − 2t− 5)4 (d) p = ( t− 1 t )3/2 (e) g(x) = e−mx (f) g(t) = (6t2 + 5)3(t3 − 7)4 (g) G(s) = se−s 2 (h) f(x) = 5−1/x (i) l(x) = √ x+ √ x (j) f(x) = sin(cos(tan)) (l) f(x) = cos(e−x) (m) f(x) = (tan x)3 (n) f(x) = √ secx 5. Encontre dy/dx fazendo a diferenciação implícita: (a) x2 + y2 = 1 (b) x2 − y2 = 1 (c) x3 + x2y + 4y2 = 6 (d) y x− y = x 2 + 1 (e) √ 1 + x2y2 = 2xy (f) sin(x+ y) = y2 cosx (g) xy = cotgxy (h) y = tan−1(ex) (i) y = x2cotg−1(3x) 6. Encontre as derivadas primeira e segunda das seguintes funções: (a) f(x) = x5 + 6x2 − 7x (b) f(t) = t8 − 7t6 + 2t4 (c) h(x) = √ x2 + 1 (d) G(r) = √ r + 3 √ r (e) F (s) = (3s+ 5)8 (f) g(u) = 1√ 1− u (g) y = xecx (h) G(r) = r3e5r 2 7. Determine a vigésima sétima derivada da função cosseno, isto é, d(27) cosx dx(27) . 8. Diferencie a função: (a) f(x) = ln(2− x) (b) f(x) = log10(x 2 − 4) (c) h(x) = log10 ( x x− 1 ) (d) F (x) = ln √ x (e) F (x) = 3 √ lnx (f) g(x) = ex lnx (g) y = ln(e−x + xe−x) (h) y = ln |x3 − x| (i) y = ln(secx+ tanx) (j) y = [ln(tanx)]2 9. Utilize a diferenciação logarítmica para achar a derivada das seguintes funções: (a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 (b) y = √ xex 2 (x2 + 1)10 (c) y = xx −1 (d) y = (lnx)x (e) y = (sinx)x (f) y = (lnx)cosx 3 10. Utilize a regra de L'Hôpital, se possível, para diferenciar as funções abaixo. Caso não seja, explique o porquê. (a) lim x→−2 x+ 2 x2 + 3x+ 2 (b) lim x→1 x9 − 1 x5 − 1 (c) lim x→∞ ln lnx x (d) lim t→0 5t − 3t t (e) lim t→16 4 √ t− 2 t− 16 (f) lim x→0 ex − 1− x− (x2/2) x3 (g) lim x→∞ (lnx)3 x2 (h) lim x→∞ x ln(1 + 2ex) (i) lim x→0+ √ x lnx (j) lim x→−∞ x2ex (l) lim x→∞ e−x lnx (m) lim x→∞ x3e−x 2 (n) lim x→0 sinx x (o) lim x→3pi/2 cosx x− (3pi/2) (p) lim x→pi (x− pi)cotg x (q) lim x→0 (cossec x− cotg x) (r) lim x→0+ (sinx)tanx (s) lim x→∞ e x xn onde n é um número inteiro positivo (t) lim x→∞ lnx xp ∀ p > 0 11. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 2 mi além da estação. (a) Quais são as grandezas dadas no problema? (b) Qual a grandeza pedida? (c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t. (d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. (e) Termine resolvendo o problema. 4 12. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5 pés/s seguindo uma trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele está a 40 pés do poste? (a) Quais são as grandezas dadas no problema? (b) Qual a grandeza pedida? (c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t. (d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. (e) Termine resolvendo o problema. 13. Um homem começa a andar para o norte a 4 pés/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 5 pés/s de um ponto a 500 pés à leste de P. A que taxa as pessoas estão se separando 15 minutos depois de a mulher começar a andar? 14. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm2/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área é 100 cm2? 15. Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. Ao mesmo tempo está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o diâmetro do topo é 4 m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura da água for 2 m, encontra a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque. 16. Uma tina de água tem 10 mm de comprimento e uma secção transversal com a forma de um trapezóide isósceles com 30 cm de comprimento na base, 80 cm de extensão no topo e 50 cm de altura. Se a tina for preenchida com água a uma taxa de 0,2 m3/min, quão rápido estará subindo o nível da água quando ela estiver a 30 cm de profundidade. 17. Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pes 3/min, formando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura? 18. Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles esttá crescendo a uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo quando o ângulo entre os lados do comprimento fixo é pi/3. 19. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = C, onde C é uma constante. Suponha que num certo instante o volume é 600cm3, a pressão é 150kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante? 20. Se dois resistores com resistência R1 e R2 estão conectados em paralelo, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por 1 R = 1 R1 + 1 R2 . (1) Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0, 3 Ω/s e 0, 2 Ω/s, respectivamente, quão rápido está variando R quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω? 5 21. Usando o roteiro discutido em sala, esboce o gráfico das funções abaixo. (a) y = 1 + x2 1− x2 (b) y = 1 x2(x+ 3) (c) y = x √ 5− x (d) y = √ x x− 5 (e) y = x+ √ |x| (f) y = 1 1 + e−x (g) y = ex/x (h) y = ln(x2 − x) (i) y = x(lnx)2 (j) y = cosx− sinx (l) y = ln(cosx) (m) y = sin 2x− 2 sinx (n) y = x tanx (o) y = cosx 2 + sin x 6
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