ECV5219 Análise Estrutural I

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Centro Tecnológico 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
Análise Estrutural I 
 
Agosto de 2008 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX 
 
Programa de Educação Tutorial – PET 
 
Universidade Federal de Santa Catarina 
Centro Tecnológico 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
Análise Estrutural I 
 
 
Ângela do Valle 
Henriette Lebre La Rovere 
Nora Maria De Patta Pillar 
 
Colaboração dos Bolsistas PET: 
Alex Willian Buttchevitz 
Alexandre Garghetti 
André Ricardo Hadlich 
Helen Berwanger 
Stephanie Thiesen 
Talita Campos Kumm 
Valmir Cominara Júnior 
Vanessa Pfleger 
Colaboração dos Monitores: 
Artur Dal Prá (2006-1) 
Willian Pescador (2007-1)
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 
 1.1 Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais ......................... 
 1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria ......................................... 
 1.3 Tipos de Vínculos ............................................................................................... 
 1.3.1 Vínculos no plano .................................................................................... 
 1.4 Estaticidade e Estabilidade .................................................................................. 
 1.5 Reações de apoio em estruturas planas ................................................................ 
 1.5.1 Estrutura Aporticada ................................................................................ 
 1.5.2 Pórtico Isostático ...................................................................................... 
 1.5.3 Treliça Isostática ....................................................................................... 
 1.5.4 Pórtico Triarticulado Isostático ................................................................. 
 1.6 Reações de Apoio no Espaço ............................................................................... 
 1.6.1 Treliça Espacial........................................................................................ 
 1.6.2 Pórtico Espacial ....................................................................................... 
2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ................................ 
 2.1 Treliças ............................................................................................................... 
 2.1.1 Método de Ritter ........................................................................................... 
 2.1.2 Método Cremona .......................................................................................... 
 2.2 Vigas .................................................................................................................. 
 2.2.1 Vigas Simples – Método Direto para Diagramas ........................................... 
 2.2.2 Vigas Gerber ................................................................................................. 
 2.2.3 Vigas Inclinadas ........................................................................................... 
 2.3 Pórticos ............................................................................................................... 
 2.3.1 Estruturas Aporticadas .................................................................................. 
 2.3.2 Pórticos Simples ........................................................................................... 
 2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante ................................................................. 
 2.3.4 Pórticos Compostos ...................................................................................... 
 2.4 Cabos .................................................................................................................. 
 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos ....................................................................... 
 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos ........................................... 
 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo ....................................................... 
 2.5 Arcos .................................................................................................................. 
 2.5.1 Arcos Biapoiados ........................................................................................... 
 2.5.2 Pórticos com Arcos (ou Barras Curvas) .......................................................... 
 2.5.3 Arcos Triarticulados ...................................................................................... 
 2.6 Grelhas ................................................................................................................ 
3. ESTUDO DE CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS .................. 
3.1 Cargas Móveis – Trem-Tipo ............................................................................... 
3.2 O Problema a Resolver ....................................................................................... 
3.3 Linhas de Influência – Definição ......................................................................... 
3.4 Obtenção dos Efeitos, Conhecidas as L.I. ............................................................ 
3.5 Exemplos em Estruturas Isostáticas Simples ....................................................... 
 3.5.1 Viga Engastada e Livre .................................................................................. 
 3.5. 2 Viga Biapoiada ............................................................................................. 
3.6 Análise de Efeitos ............................................................................................... 
 3.6.1 Teorema Geral .............................................................................................. 
 3.6.2 Obtenção de Momento Fletor Máximo em uma Seção S de uma 
Viga Biapoiada ............................................................................................. 
LISTAS DE EXERCÍCIOS ............................................................................................ 
Graus de estaticidade ................................................................................................ 
Treliças .................................................................................................................... 
Vigas ........................................................................................................................ 
Cabos ....................................................................................................................... 
Arcos ....................................................................................................................... 
Grelhas ..................................................................................................................... 
1 
1 
1 
3 
3 
8 
13 
13 
14 
14 
15 
19 
19 
20 
21 
21 
27 
33 
42 
42 
48 
54 
61 
61 
68 
75 
77 
81 
86 
91 
96 
105 
108 
111 
113 
123 
128 
128 
128 
130 
134 
135 
135 
137 
140 
140 
 
140 
159 
160 
162 
170 
174 
176 
179 
ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC 
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 
Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEXColaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 
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1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais 
A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um 
objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do 
comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a 
modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma 
determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: 
 Projeto arquitetônico: 
-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço 
exterior, etc.); 
 -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes). 
 Carregamento atuante: 
-Permanente; 
-Variável Acidental; 
 Efeito do vento. 
 Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento); 
 Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas 
peculiares): o material deve estar adequado aos tipos de esforços solicitantes pelas 
estruturas. 
 
Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 
1º) Identificar as possíveis opções; 
2º) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um. 
 
1.2. Classificação das peças estruturais quanto à geometria 
 Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e 
análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta 
convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto 
denominado sistema estrutural. 
 Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que 
definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças 
estruturais: 
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Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. 
 
 
 
 
Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de 
grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da 
seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são 
tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à 
solicitação por torção. 
 
 
 
 
 
Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira 
dimensão. Subdividem-se em: 
 
 
 
 
 
Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. 
Chapas: carregamento contido no plano médio. 
Cascas: superfície média curva. 
 
 
 
 
 
 
Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
 
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1.3. Tipos de Vínculos 
 Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo 
esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem 
ser de translação ou de rotação. 
 
1.3.1 Vínculos no plano: 
 No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: 
deslocamento em duas direções e rotação. 
 
 
 
 
 
a) Apoio simples ou de primeiro gênero: 
 
 
 
 
Reação na direção do movimento impedido. 
Exemplo de movimento: rolete do skate. 
b) Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero: 
 
 
 
 
Exemplo de movimento: dobradiça. 
c) Engaste: ou apoio de terceiro gênero: 
 
 
 
 
 
Exemplo de movimento: poste enterrado no solo. 
y 
x
y
x 
z 
y
x
Mz=0
Rx=0
Ry=0
Rx Ry 
Rx
Ry
y
x
Mz=0y
x
Mz=0
Rx
Ry
Mz
y
x
z 
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Vínculos no Plano 
 
Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____ 
 
 
Cabo 
 
 
 
 
 
Ligação esbelta 
 
 
 
 
 
Roletes 
 
Rótula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luva com articulação 
 
 
 
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Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____ 
 
 
Articulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio deslizante 
 
 
Luva rígida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio rígido (engaste) 
 
 
 
 
 
 
 
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6


MK
 
Rigidez de uma Ligação 
 
Rigidez à Rotação 
 
 
 geometria indeformada 
 geometria deformada 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligação Articulada 
 
K  0 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligação Rígida 
 
K     0 o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligação Semi-Rígida 
 
0 < K <  
 
 
 
 
K=
M
M
 
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Exemplos de Vínculos 
Apoio rotulado em viga de ponte. 
 Apoio com material de baixo coeficiente 
de atrito, funcionando como roletes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Rolete nos apoios de vigas de 
 concreto protendido de uma 
 ponte rodoviária. 
 
 
 
 
 
 
 
Ligação de canto rígida de um pórtico de 
aço. Observam-se as chapas formando 
uma ligação rígida com os pilares. 
 
 
 
 
 
A inclinação da rótula de apoio entre as duas 
vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da 
ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio 
previnem a flambagem local causadas pelas altas 
reações de apoio. 
 
 
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1.4. Estaticidade e Estabilidade: 
 
a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de 
equilíbrio: ISOSTÁTICA. 
b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de 
equilíbrio: HIPERESTÁTICA. 
c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de 
equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. 
 
Uma estrutura está restringida quando possui vínculospara restringir todos os movimentos 
possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. 
Número de incógnitas: 
- Externas: reações de apoio ou vinculares; 
- Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as 
reações de apoio) – estruturas fechadas. 
Número de equações de equilíbrio: 
- Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no 
espaço e três no plano); 
- Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais 
esforços internos (ex.: rótula). 
 
g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações. 
 
Critério apresentado por Sussekind: g = ge + gi, 
sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno 
e gi = número de incógnitas internas, ou também: 
ge = grau de hiperestaticidade externa; 
gi = grau de hiperestaticidade interna. 
 
Tipos de Equilíbrio: 
 Estável Instável Indiferente 
 
 
 
i. 
 
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Exemplos: Estruturas Planas 
Vigas: 
 
 
 
 
ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA HIPOSTÁTICA 
 r = 3 r = 3 r = 2 
 g = 0 g = 0 g < 0 
 
 
 
 
 
HIPOSTÁTICA HIPOSTÁTICA 
 r = 3 r = 4 
 g = 0 g = 1 
 (não restringida) 
 
 
 
 
 
HIPOSTÁTICA HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA 
r = 2 r = 4 r = 4 
 g < 0 g = 1 g = 1 
 
 
 
Nº de equações equilíbrio externo = 3 
 Nº de equações equilíbrio interno = 1 
 (Momento fletor em C = 0) 
 . Nº de incógnitas = r = 4 
 
 
 
 
g = número de incógnitas – número de equações (ext. e int.) = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 
ou g = ge + gi ge = 4 – 4 = 0 
gi = 0 
 
Como resolver: 4 incógnitas: VA, HA, VB, VD . 
i)  FX = 0 HA + ... = 0 
 FY = 0 VA + VB + VD = 0 3 Equações 
 MA = 0 d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0 
 (qualquer ponto) 
Uma equação adicional (devido à rótula): 
A B C D
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MC = 0 (Partindo da direita ou da esquerda da viga) 
 
Ex.: À Direita 
 MC = 0 
MC + R.(d/2) + F1Y.d - VD.d = 0 VD= 0 
 
 
 
 
ii) Separar em diversas vigas isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1 
 
 
 
 
 
 
 g = 0; 
Estrutura Isostática 
Restringida a movimentação de corpo rígido. 
 
 
VDVC
HC 
F1
VB V A 
HA 
V C
HC 
Resolve-se 
esta primeiro
Esta viga se apoia sobre a outra
(não tem estabilidade própria)
3 incógnitas e 3 equações
 Determinar H C, V C, VD
Em seguida resolve-se esta,
que tem estabilidade própria
e é isostática também;
3 incógnitas e 3 equações
 Determinar HA , V A, VB
+ 1 Equação + 2 Equações + 1 Equação
N
M C V 
d
F1
VD
o R
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Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros. 
Pórticos: 
 
 
 
 
 
 (Triarticulado) 
 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Triarticulado) Hiperestática Hiperestática 
 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 g = ge = 4 – 3 = 1 
 
 
 
 
 
4 Incóg.: VA, HA, VB (Ext) Incog(Ext) = 3 g = ge + gi 
 NF10 (Int) Incog(Int) = 1 ge = 3 – 4 = -1 
ge = 3 – 3 = 0 Eq(Ext) = 3 gi = 1 
gi = 1 Eq(Int) = 1 g = 0 
g = ge + gi = 1 g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática 
Hiperestática g =0 ge = 3 - 4= -1 Restringida
 gi = 1 
 Isostática 
 Restringida 
 
MC = 0 (à direita 
ou à esquerda) 
MCD = MCE = 0 
A B
C
A B
C
Atirantado
Tirante
(fio)
Tirante
C
A B
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g = 1 g = 2 
Momento 
fletor é nulo 
Arcos: 
 
 
 
 
 
g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4– 3 = 1 ge = 4 – (3 + 1) = 0 
 Isostática Restringida Hiperestática Isostática Restringida 
 
 
 
 
 g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2 ge = 3 – 3 = 0 ge = 4 – 3 = 1 
 gi = 1 gi = 1 
 Hiperestática Hiperestática Hiperestática 
 
Quadros: 
 Conhecidos N1, V1 e M1 obtêm-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 ge = 3 – 3 = 0 gi = 3 
 Não é possível traçar os g = ge + gi = 0 + 3 = 3 
 diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente 
 as reações de apoio HA, VA, VB. 
 
g = ge + gi = 0 + 6 = 6 
Hiperestática internamente 
 
 
Tirante Tirante
A B
V1 N1 V1
M1
N2 V2V2
M2
A B BA A B 
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1.5. Reações de apoio em estruturas planas: 
 
1.5.1. Estrutura Aporticada 
 
Cos  =4/5 
Sen  =3/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decompor a força de 10kN nas direções x e y: 
 
i) FX = 0 HA + 6kN = 0 HA = - 6kN 
ii) FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN 
iii) MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 
7VB = 190  VB = 27,14kN 
 
Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN 
 
Outra maneira seria: 
MA = 0 
 
7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 
7VB = 165+25 = 190 
VB = 27,14kN 
 
Verificação: MB = 0 
(10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) – (6x1,5) = 0 
76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 
 
 
Y 
X 
 
10x(3/5)=6kN
10x(4/5)=8kN10kN 
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1.5.2. Pórtico Isostático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) FX = 0 -HA + 40 = 0 HA = 40kN 
ii) FY = 0 VA + VB = 60kN 
iii) MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4)= 0 
 8VB = 400  VB = 50kN 
 VA = 60 – 50 = 10kN 
 
Verificação: MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 
120 + 120 – 240 = 0 
 
1.5.3. Treliça Isostática 
 
i) FX = 0 HB + 4 -12 = 0 HB = 8kN 
ii) FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN 
iii) MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 
 3VA = 16 + 12 – 24 = 4 
 VA = (4/3) = 1,33kN 
 VB = 12,67kN 
 
Verificação: MA = 0 
r=3; b=5; n=4. r + b = 2n 
 5 + 3= 2x4 
 
VA
H A VB 
B
A
80kNm
60kN
40kN
4.00m 4.00m
3.00m 
3.00m
VA VB
HB
4kN
1.50m 1.50m
2.00m
2.00m
6kN
8kN
12kN
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1.5.4. Pórtico Triarticulado Isostático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) FX = 0 (+ ) HA + HB +20 -12 = 0 HA+ HB = -8kN 
ii) FY = 0 (+ ) VA + VB = 10x4 = 40kN 
iii) MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0 
 4VB = 80 – 24 + 80  VB = 34kN 
 VA = 40 – 34 = 6kN 
 
iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.) 
 
Análise da Estrutura à Esquerda da Rótula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verif. MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 
 32 + 24 +24 – 80 = 0 
 
 4 Incógnitas (Reações) 
 3 Equações Estáticas (Plano) 
 1 Equação interna (Rótula) 
MCD = MCE = 0 
 
Isostática 
 
MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0 
ou MC = (6x2) – (20x1) – (4HA) 
mas MC = 0  4HA= 12 – 20 = -8 
 HA = – 2kN 
 HB = –8 + 2 = -6kN 
2.00m
A B
B VA
HA HB 
12kN 4.00m
C D
20kN 
2.00m 2.00m
HA
VC
MC
NC
20kN
2.00m
4.00m
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16
Exercícios: Determinar a reação de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) FX = 0 (+ ) RAX - RBX = 0  RAX = RBX (I) 
ii) FY = 0 (+ ) RAY - RBY - 20 - 112= 0  RAY + RBY = 132 (II) 
iii)MA = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0 
 RBX = 160 + 448  RBX=101,33kN 
 6 
 
RAX = RBX (I)  RAX=101,33kN 
RAX = RAY (45º)  RAY=101,33kN 
RBY = 132 - RAY (II)  RBY=30,67kN 
RA = RAX/cos 45º  RA= (RAX)x 2 = 143,30kN 
 2 
 
Conferindo 
MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0 
 40 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 
 -184 + 184 – 608 + 608 =0 
 184 – 184 = 0 
 
 
 
 
a) 
4
RA
RA
C
20kN
A
B
112kN RBY
RBX
R AX
RAY
14kN/m
20kN
C B
A
6.00m
6.00m2.00m
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17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) FX = 0 (+ ) RAX = RBX 
ii) FY = 0 (+ ) RAY – 12(12) – 30 RAY = 174kN 
iii) MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 
 RBX = 600 + 864 RBX = 122kN RAX = 122kN 
 12 
Conferindo 
MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 
 1464 – 864 – 600 = 0 
 
MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 
 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 
 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0 
 
c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo : 
 
BA
3.00m 6.00m 3.00m 3.00m
16kN/m
8kN
45°45°
10 2kN 10 2kN
 
 
 
 
b) 
12kN/m
A 
B
C C
B
A 
144kN 
30kNRAX 
RAY
RBX
6.00m
6.00m
8.00m12.00m
30kN
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18
8144
3434
111,33108,67
5454kN.m A B
9.00m 
Balanço 
 
 
 
d) Determinar as reações de apoio para a viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72   (144/2) = 72 
34   10 + 24 = 34 
(8x3)/9 = 2,67   (8x6)/9 = 5,33 
108,67   111,33 
6   (12/2) = 6 
6   6 + 8 = 14 
2,67   (20-12)/3=2,67 
10kN
10kN
3x(16/2)=24kN
10 2kN
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19
3 incógnitas 
N1, N2, N3 
3 equações: FX = 0, FY = 0, FZ = 0 
 
1.6. Reações de apoio no espaço: 
6 Equações de Equilíbrio: 
FX = 0; FY = 0; FZ = 0; MX = 0; MY = 0; MZ = 0 
 
1.6.1. Treliça Espacial 
 Isostática r + b = 3n 
Restringida 
 
 
 
 
 n=4 
 
r+b=3n 
 9+3 = 3x4 
12=12 
 
Inicia-se pelo equilíbrio do nó D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada 
nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio. 
 
D
C
BA
1 2
3
4tf
2tf
RAZ
RAX
RAY RBY
RBX
RBZ RCY
RCX
RCZ
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20
1.6.2. Pórtico Espacial 
5.00m
4.00m
RAZ
MAZ
RAY
MAY
RAX MAX
2tf
1tf
4tf
3.00m
Y
X
Z
 
 
6 reações 
Isostática 6 equações de equilíbrio 
 Restringida 
 
i) FX = 0 RAX – 2tf = 0 RAX = 2tf 
ii) FY = 0 RAY – 4tf = 0 RAY = 4tf 
iii) FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 RAZ = 1tf 
iv) MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 MAX = 17tfm 
v) MY = 0 MAY + (2x3) + (1x4) = 0 MAY = -10tfm 
vi) MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 MAZ = 6tfm 
 
 
 
 
 
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21
2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
2.1. Treliças 
 
Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja formadas por barras (em que uma direção é 
predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). 
 Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas 
somente a esforços axiais. 
 
Estaticidade e Estabilidade: 
Condições para obtenção de uma treliça isostática: 
1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 
2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de 
equilíbrio da estática (**). 
 
* O número de incógnitas é dados por: 
número de reações (r) + número de barras (b). 
 (Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas) 
** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: 
- número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência 
de uma equação no eixo x e outra no y). 
 
Desta forma, podemos classificá-lasda seguinte maneira: 
1a. Condição 2a. Condição Classificação 
indeslocável e r + b = 2n Isostática 
indeslocável e r + b > 2n Hiperestática 
deslocável ou r + b < 2n Hipostática 
 
 
 Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 
1. Equilíbrio dos Nós; 
2. Ritter; 
3. Cremona (Maxwell). 
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22
Treliças Planas 
 
 
Fonte: Engel, Heino, 1981 
 
Sentido dos Esforços 
 
Treliça com diagonais comprimidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça com diagonais tracionadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Salvadori, Heller, 1975 
 
AI E O' B F M
N
HDOCG
L
W4 W2 W1 W 3 W5
W4 W 2 W1 W 3 W 5
AI E O' B F M
N
HDOCD
L
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23
Transmissão de Cargas para as Treliças 
Treliça de Cobertura 
 
Treliça de Ponte 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
 
 
 
Ligações das Extremidades das Barras 
 
Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
 
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24
Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais 
 
 
 
Pórtico de Treliça Biarticulado 
 
 
 
 
Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços 
 
 
 
 
Arco de Treliça Triarticulado 
 
 
 
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25
Treliças com Diferentes Condições de Apoios 
 
 
 
Treliças apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vão livre 
 
 
 
 
Treliças com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balanço 
 
 
 
 
Treliças com Extremidades em Balanço: Estrutura com Vão Livre e Balanço 
 
 
 
Fonte: Engel, Heino, 1981 
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26
Lei de Formação de Treliças Isostáticas: 
 
 
Treliça Hiperestática: 
 
 
 r + b = 4 + 14 = 18 
 2n = 2.8 = 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça Hipostática: 
 
 
r + b = 4 + 19 = 23 
 2n = 2.10 = 20 
A B
C D
A B E G
1 2
3 7
4 8
6 9 10
11
5
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27
2.1.1. Método de Ritter 
 
 Seja a seguinte treliça: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a 
estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. 
 Considerando a parte da esquerda, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem 
nas barras para estabelecer o equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da 
esquerda. 
 
H A
VA
P4
P1
P2
D
N 6
N10
N3
S
S
1
2 3
7 
48 
6
9 10 11
5
HA
P4
P1
P2
PD 
P5
C
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28
 É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os esforços indicados N3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos 
opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte 
da direita. 
 Para obter os esforços N3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser 
escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. 
 Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: 
MC = 0  Obtém-se N3; 
 MD = 0  Obtém-se N6; 
 Fy = 0  Obtém-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita) 
 Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido 
inverso (compressão). 
 
Observações: 
1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no 
mesmo ponto; 
2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 
3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer 
que a seção de Ritter só intercepte 2 barras  neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio 
dos nós (conforme vimos anteriormente). 
 
P3
VB
P5
C
S
S
N6
N10
N3
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Exemplos: 
1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Obter as reações de apoio: 
Fx = 0  HA = -6 tf; 
Fy = 0  VA + VB = 10 tf; 
MA = 0  VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0; 
 VB = 6 tf e VA = 4 tf. 
II. Seção S1S1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MH = 0  N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2 = 14 tf (tração); 
MD = 0  -N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16 = -14 tf (compressão); 
Fy = 0  N9 + 6 = 4 N9 = -2 tf (compressão). 
 
8 9 10 11 12 13 14 7 6
1 2 3 4 5
HA 
V A VB
A C D E F B 
G H I J
15 16 17
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m
4 tf
6 tf
6 tf
S1 S2
S2S1
2 
2 m 
HA
VA
6 tf 
S1
S1
N
N2
N16
6 tf 
C
G H
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30
III. Seção S2S2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fx = 0  N3 + N10 cos45º = 14 tf; 
Fy = 0  N10 sen45º + 4 - 6 = 0; 
 N10 = 2,83 tf e N3 = 12 tf. 
6tf
E F B 
J 
4 tf
2 m 
I
S2
N 10
N3
14 tf
S 2
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31
Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Seção S1S1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MD = 0  N19 x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19 = -16 tf (compressão); 
Fx = 0  N19 + N2 = 0 N2 = 16 tf (tração); 
Fy = 0  N10 + 6 - 5 = 0 N10 = -1 tf (compressão); 
 
HA 
 
=
 
6tf 
6tf 
6tf 
V B 
 
=
 
5tf 
H I J K L 
B 
G FE D C A
2 m 
1
7 8 9
19 
2 3 4 5 6
18 20 21
17 10 11 12 13 14 15 16 
S 1
S 2 S 3
VA 
 
= 
 
5tf 
4tf 
2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 
2 m 
A 
C 1 
87
6tf 
5tf
9 
2
10
H6tf 18 I 
S 1 6tf
N 
 
2
N
 
10 
N
 
19 J 
D
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32
II. Seção S2S2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MJ = 0  N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tração); 
 
II. Seção S3S3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fy = 0  N13 cos45º + 5 = 0; N13 = -7,1 tf (compressão); 
 
 
 
 
6tf A
C1
87
5tf
D
9 
2 3
10 11
H6tf 18 19 JI
S 2
6tf
N 19
N 3
N 11
F 4
13 14
B 
G5 6
15 16 17
5tf
20 K 
S
 
3
21 L N
 20
N 4
N
 13 
J 
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33
2.1.2. Método de Cremona 
 Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram as reações e esforços indicados: 
1,5m 1,5m
3tf
3tf
5tf1tf
6tf
-1
,25
3,75
-6,25
BA
C
2m
 
Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será 
nula: 
Nó A: 
 
 
3
3,75
1,25
1
 
 
 
 
Nó B: 
 
 
5
3,75
6,25
 
A
3 tf
1 tf
1,2
5
3,75
B
6,25
3,75
5 tf
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34
Nó C: 
 
 
1,25
6,25
6
3
 
 
 
A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono fechado. 
 O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir 
do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos: 
 inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas; 
 marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto; 
 pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos 
esforços desejamos conhecer; 
 a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim 
os módulos e sinais dos esforços nas barras; 
 Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: 
- se o esforço normal aponta para o nó  negativo (compressão); 
- se o esforço normal foge do nó  positivo (tração); 
 O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário; 
 Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise  sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as 
reações. 
 
6 tf
3 tf C
1,2
5 6,25
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35
2.1.2.1. Notação de Bow 
 
 Marcar com letras todos espaços compreendidos entre as forças (exteriores e interiores), 
que serão identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo: 
 reação Vertical no nó A : ab; 
 reação Horizontal no nó A: bc; 
 esforço Normal na Barra2: cf (ou fc); 
 esforço Normal na Barra2: cf (ou fc). 
 
Roteiro do Método: 
1. Iniciar o traçado do Cremona pelo equilíbrio de um nó que contém somente duas barras 
com esforços normais desconhecidos (incógnitas); 
2. Começar com as forças conhecidas, deixando as incógnitas como forças finais; 
3. Todos os nós são percorridos no mesmo sentido (horário ou anti-horário), para o exemplo 
escolheu-se o horário; 
4. Prosseguir o traçado do Cremona pelos nós onde só haja 2 incógnitas a determina, até 
esgotar todos os nós, encerrando-se a resolução da treliça. 
5. Os valores dos esforços nas barras são medidos no gráfico em escala; 
6. Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: 
 - se o esforço normal aponta para o nó: COMPRESSÃO (-); 
 - se o esforço normal sai do nó: TRAÇÃO (+). 
 
O polígono resultante do traçado do Cremona deverá resultar num polígono fechado para que 
a treliça esteja em equilíbrio. 
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36
 
 
Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
e
2P
i
a
g
f
c
b
A C D
d
3P
FE
3P
P
B
h
3P
2
1
4
8
5
6
97
3
Sentido Horário -
Percurso do Traçado
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37
Nó A: 
2P
3P
N7
a2
a7N2
 
2P
3P
N2
N7
 
Medir em escala N2 e N7 
Nó E: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N2 conhecido - N3,N1 incógnitas: 
 mede-se em escala 
N 2 
N 1 
N 3 
a3 
a1 
N1 (Compressão)
N2 N3
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38
Exemplos: 
1. 
2m 2m
C
D
BA
1m
1m
2 tf
 
A
1m
1m
B
D
C
2000kgf
cb d e
a
1000kgf 1000kgf
 
Nó A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2000(T)2830
2230
a
b
d
1000
C
T
A
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39
Nó D: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2000
D
C
2000
28302830
C
T
T
2830 
2830 
20002000
d c
e b
e
a2830
2230
1000
C
T
1000 
B
A B 
D
C
2000kgf
-2830
+2000
-2830
+2230 +2230 
a 
b
cd
e
Escala do Cremona (tf)
210
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40
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1tf
A
F
G
H
BEDC
1tf
2tf
2tf
2tf
4 m 1m 3m 1m 4m3m
VA= 4tf VA= 4tf
A
DC E B
H
G
F
2tf
2tf
2tf
3tf 3tf
b
c d
e
f
a
k
j
ih
g
0 1 2 3 4
Escala do
Cremona (tf)
f,k
j
c
a
d
e
h,i
g
-6,7 -6,7
-5,85
-1,8
+2,0
+6,0 +4,0 +4,0 +6,0
-1,8
+2,0
0
-5,85
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3. 
6tf 6tf
6tf
2tf
2tf
2tf
6tf 6tf
6tf
2tf
2tf
2tf
i
b
h
g
j
k
a
e
d
c
f
6m
6m
6m
6m 6m
G
E
C
A B
D
F
 
 
-3,2+3,2
+2,0
-2,2
-3,2
-4,8-2,9
-2,0
+6,4
+4,8
+3,0
a k
j
edcb,f
g
i
h
0 1 2 3 4
Escala do
Cremona (tf)
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42
2.2. Vigas 
2.2.1. Vigas Simples - Método Direto para Diagramas 
Esquerda
V
N
M
N
Direita
V
 
Convenção de sinais: 
Revisão: 
a
VV
F
M
a
F M
Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo 
V – F = 0  V = +F positivo. V + F = 0  V = - F negativo. 
M – F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo. 
a
F
a
F
 
Direita com carga para cima Direita com carga para baixo 
V + F = 0  V = - F negativo. V – F = 0  V = +F positivo. 
M - F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo. 
 Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda. 
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43
 Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força 
concentrada. 
 
 
Lembrando: 
 Força Concentrada: Descontinuidade no DEC 
 Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF 
 
 
q=0 ; (entre cargas conc.) 
 V Constante 
 M Varia Linearmente em x 
 
q= k ; 
 V Varia Linearmente em x 
 M Varia Parabolicamente em x 
 
Integrando q  V; Integrando V  M. 
 
dx
dVq 
dx
dM
=V dx
d Mq 2
2

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44
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC = 60.4 = 240 kN; 
MD = 60.8 – 50.4 = 280 kN; 
MEDir. = 110.2 = 220 kN ou 
MEEsq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN
ou MD = MC + VC x4m ou MEEsq. = MD +VD x3m 
 
DMF (kN.m)
60kN 
60
280
240
(+)
220
-110
10
-20
DEC (kN) 
110kN
30kN50kN 90kN
4 m 4 m 3 m 2 m
A
C D E
B
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Exemplo 2: 
DMF (kN.m)
+3 
-3 
(-)
3kN 
DEC (kN)
-9
3kN
12kN/m
3 m 1 m
A B
C 
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46
Exemplo 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MMÁX = q.a2/2 + 36 = 12.32/8 + 36 = 13,5 + 36 
MMÁX = 49,5 kN.m 
36
(+) 
18 
V=0
(+)
18kN
12kN/m
DMF (kN.m)
36
DEC (kN)
-18
(-)
18kN
2 m 3 m 2 m
Mmáx
A B
C D
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47
Exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(q . a 2 ) / 8 = (20 . 2 2 ) / 8 = 10 
 
-40
120
80
120 
60
DMF (kN.m)
-60
20
(-)
(+)
40
80 kN
80 
DEC (kN)
60 kN 
100kN.m20kN/m
40kN
20kN
(+)
2 m 2 m 1,5 m 1,5 m 1 m
A B
C D E
10
 10 
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48
2.2.2. Vigas Gerber 
 Aplicações principais – Pontes; 
 Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva; 
 Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as 
constituem: 
- Vigas com estabilidade própria; 
- Vigas que se apóiam sobre as demais; 
 
Exemplos de Decomposição: 
 
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações 
de apoio. 
 Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida; 
 As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento; 
 Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas 
verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na 
decomposição não é necessário distinguir apoios do 1o ou 2o gênero. Usaremos 
apenas:  
 
 
II
I
II
II
I
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49
 
 
 
 
 
 
IV
III 
II
I
II
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50
Esforços Internos – Diagramas – Exemplos: 
1. 
 
 
18 tf
F
F
6tf6tf6tf 
22,67 tf
B A
9,33 tf
4tf/m
C D E
4tf/m
6tf 6tf
4tf/m
B A
6tf 
C D E
4tf/m
36 tf.m
2 m 3 m 2 m 3 m 3 m
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MA = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MB = -6 x 2 = -12 
MC = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20 
MD = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01  0  OK 
(o momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula.) 
ME = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0  OK 
MF = -36 
 
Quando na rótula não há força concentrada: 
Vdesq = Vddir 
Veesq = Vedir 
-8,67
A
-12
-20
CB
-6 
-36
4,5
D FE
-18
-6
14 
3,33
6
DMF (tf.m)
DEC (tf)
2
4,5 
4,5 
4,5
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2. 
 
 
 
4+6+3 =
13 tf
3 tf 3+3 = 6 tf3 tf 3 tf
2+4+3+2=
11 tf
3 tf
11 tf
3 tf
4 tf
12 
6 6 tf
2 tf/m 3 tf/m 
3 tf
A 
2 tf/m 
B C 
3 tf/m 
FD E
4 tf 3 tf
HG 
4-3=
 1 tf
8 tf
8 tf
J I
2 tf/m 
3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m
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MD = -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4 MI = 1.2 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A CB FED 
4
HG
-4
3 
-5
-3
-4
-12
-6
-2
32 
-6
-3
6
5 
7 
JI 
2
DMF (tf.m) 
-1
DEC (tf)
2,25 2,25
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2.2.3. Vigas Inclinadas 
Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A) 
(q.a)/2
S
V
(q.a)/2
q.x NM 
A
S (q.a)/2
q
B
x
a
b
x
x/ 2
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55





  cos.x.q
2
a.qV 




  sen.x.q
2
a.qN 









2
x.qx.
2
a.qM
2
 
(para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal) 
 
Diagramas: 
q.a.(sen /2
- q.a.(sen /2
q.a.(cos /2
(+) 
(-)
(-) 
(+) 
DM
 
- q.a(cos /2
DE
C 
DE
 
q.a² /8 
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2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Fx = 0 
HA = q.b 
Esforços Internos: 
II. Fy = 0 
VA = VB 
 
III. MA = 0 
a.VB – qb.b/2 = 0 
 VB = qb2/2a = VA 
(q.b²)/2.a
S
q.x
M N
V
q.b
x
x/2
y
 
N = (qb – qx)cos + (qb2/2.a) . sen 
V = (qb – qx)sen - (qb2/2.a) . cos 
M = x.qb – qx2/2 – y.(qb2/2.a) 
M = x.qb – qx2/2 – x.(a/b).(qb2/2.a) 
M = qbx/2 – qx2/2
A
VA
VBS
B
q
HA
a
b
x
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Diagramas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q.b.[cosα+(b.senα)/2.a
q.b².(sen α)/2.a 
q.b.(sen α)/2 
-q.b.(sen α)/2 
q.b²/8 
DEN 
DEC
DMF
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58
3. 
R = q . (a² + b²)
A
q
B
A 
B 
q
q.b
q 
q.a
A
B
b
a
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59
Logo, o diagrama de momento fletor fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q.(a²+b²)/8 
 
 
 
Se tivermos, por exemplo, as estruturas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DMF
-6 
A
6 tf.m 
2 
6 
DMF 
1 tf/m 
2 tf.m B 
8m 
6m 
-2 
2
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Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 
Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX 
Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET 
60
52,5
A
(+)
DMF
(-)
-20
20 kN/m 20 kN.mB
4m
3m
10
 
 
 
 
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61
2.3. Pórticos 
2.3.1. Estruturas Aporticadas 
1,
5m
1,
5m27,14 kN
10 kN/m
10,86 kN
6 kN
S2
S1
10 kN
S3
2m 3m2m
 
 
y
x
6 kN
10,86 kN
N
M
V
S1
t n
 
 
Seção S1: 
Fn = 0 
N – 6.cos + 10,86.sen = 0 
N = 6.cos - 10,86.sen 
N = -1,72 kN (const.) 
 
Ft = 0 
V = 6.sen + 10,86.cos = 12,2 kN (const.) 
 
 
Mz = 0 
M = 10,86.x + 6.y  y = x.tg 
M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x 
Para x=0, M=0; 
 x=2, M=30,72 kN.m;
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62
Seção S2: 
N = -1,72 kN (const.) 
 
V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.) 
 
M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 – 0,75.x  y = x.tg 
Para x=2, M=30,72 kN.m; 
 x=4, M=36,44 kN.m; 
 
Seção S3: (direita) 
 
10 kN/m
27,14 kN
M
V x'
 
 
V = 10.x’ – 27,14 
Para x’=0, V=-27,14 kN; 
 x’=3, V=2,86 kN; 
 
M = 27,14.x’ – 10.x’2/2 
Para x’=0, M=0 kN.m; 
 x’=3, M=36,42 kN.m; 
 
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63
Diagramas: 
 
 
 
-27,14
(+)
12,29
2,86
2,29
(+) (-)
-1,72
(-)
nulo
x = (10x3²)/8 = 11,25
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
30,72
36,42
36,42 x
0,286m
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64
Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto. 
10 kN/m
17 kN
12 kN
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
(-)
(+)
(-)
12
12 kN
nulo
-17
(+)
17
-23
x = (10x4²)/8 = 20
12
12
23 kN
(+)
(+)
4m
1m
1m
x
 
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65
Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas: 
 As fibras inferiores serão tracejadas, definindo portanto a parte à esquerda e à direita da 
seção. Exemplos: 
 
S1
S3
S2
S3
N
V
S1
M
V
M
N
 
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66
Exemplos: 
01. 
P
P
(+)
P
-P
(-) nulo
-Pa
Pa
(-)
(+)
(+)
Pa
P
S1
S2
S3
Pa
Pa
nulo
nulo
P
DEN (kN)(+)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
a a
a
 
Fy = 0  N = P 
Fx = 0  V = 0 
Mz = 0  M = -P.a + P.2a = P.a (constante) 
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67
02. 
P/2 P/2
P
DMF (kN.m)
DEC (kN)
DEN (kN)
nulo
nulo
-P
(-)
(-)
-P
(+)
P/2
P
(+)
P(L/2 + a)
(+)
(+)(+)
P(L/2+a)
P(L/2+a)PL/2
nulo
L/2
a L a
 
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68
2.3.2. Pórticos Simples 
 
80 kN.m
60 kN
40 kN
40 kN
10 kN
50 kN
40
DEN (kN) 
(+)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
-50
-10
(-)
(-)
nulo(-) 
(+)
(+)
-50 
10
40
200
(+)
nulo
280
240
240 (+)
6m
4m 4m
3m
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69
Pelo Método Direto: 
 Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo: 
Reações: 
Fx = 0  RAx = 1 tf 
Fy = 0  RAy = 3 + 1.4 + 1 
 RAy = 8 tf 
MA = 0  3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0 
 MA = 1 tf.m 
 
 Seção S1: trecho DC 
N = 0; 
V = -3 tf 
MC = -6 tf.m 
 
Seção S2: trecho CE 
N = 0; 
V = 1.x 
Para x = 0; V = 0; 
 x = 4; V = 4 tf; 
M = -1.x2/2 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 4; M = -8 tf.m; 
 Seção S3: trecho FB 
N = -1 tf 
V = 1 tf 
M = -1.x 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 1; M = -1 tf.m; 
 
 
Seção S4: trecho BC 
N = -7 tf 
V = 0 
M = -2 tf.m 
 
3 tf 1 tf/m
1 tf
1 tf
1 tf.m
B
A
D E
C
F
8 tf
1 tf
2m
2m
2m 1m 3m
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70
Seção S5: trecho AB 
N = -8 tf 
V = -1 tf 
M = -1 – 1 . x 
Para x = 0; M = -1 tf.m; 
 x = 2; M = -3 tf.m
 
Diagramas: 
 
 DEN (kN)
(-)
DMF (kN.m)
DEC (kN)
(-)
(+) 
-8 
-7 
nulo
-1
-3
+4
+1
-1 
nulo(-)
(-)
-2 
(-)
-1 
(-)
-3
-8 
-6
-1 
(-)
(-)
(-)
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71
 
Reações: 
Fy = 0  1 + 6 – 4.5 + VA + VB = 0 
 VA + VB = 13 
MA = 0  1.2,5 – 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0 
 HB = 1,75 tf 
Fx = 0  HB = - HA  HA = - 1,75 tf 
MEDir = 0  HB.4 - VB.5 = 0 
(embaixo) VB = 1,4 tf  VA = 11,6 tf 
 
 
 Seção S1: [0  x  2,5] 
N = + 1,75 tf; 
V = 11,6 - 4.x 
Para x = 0; V = 11,6; 
 x = 2,5; V = 1,6 tf; 
M = 11,6.x - 2.x2 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 2,5; M = 16,5 tf.m; 
 
1 tf
VA
HA
4 tf/m
6 tfN
HB
VB
A
B
C
D
E
V
S1 S2
S3
S4
x
6m
4m
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Seção S2: [2,5  x  5,0] 
N = + 1,75 tf; 
V = 12,6 - 4.x 
Para x = 2,5; V = 2,6 tf; 
 x = 5; V = -7,4 tf; 
 
M = 12,6.x - 2.x2 – 2,5 
Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m; 
 x = 5; M = 10,5 tf.m; 
 
 
 Seção S4: [0  x  5,0]
tg = 4/5 sen = 4/41 
N + 1,75.cos + 1,4 sen = 0  N = - 2,24 tf; 
V + 1,75.sen - 1,4.cos = 0  V = 0; 
M = 1,4.x – 1,75.y  M = 0; 
 
 
 Seção S3: [0  x’  6,0] 
N = - 7,4 tf; 
V = -1,75 tf; 
 
M = 1,75.x’ 
Para x’ = 0; M = 0; 
 x’ = 6; M = 10,5 tf.m;
 
 
 
 
Nu
lo
DMF (tf.m)
DEN (tf)
DEC (tf)
16,5 17,3
10,5
(+) (+)
(+)
-7,4
Nu
lo
(-)
2,6
1,6
11,6
-1,75
(-)
1,75
-7,4
-2,24
(-)
(+)
(-)
10,5
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73
Reações: 
Fx = 0  HA + HB + 12 – 3,33 = 0 
HA + HB = - 8,67 tf 
Fy = 0  -10 + 4,99 + VA + VB = 0 
 VA + VB = 5,01 tf 
MB = 0  6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.VA = 0 
 VA = 1,11 tf  VB = 3,9 tf; 
MEEsq = 0  - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 
 HA = -5,54 tf  HB = -3,13 tf
Diagramas: 
A B
C D E
HA
VA VB
HB
6 tf
10 tf
3,90
3,135,54
1,11
4,99
3,33
10
12
2m2m2,5m2,5m
3m
3m
1
2 tf/m
-1,11
DEN (tf)
DMF (tf.m)
DEC (tf)(-)
(-)
(-)
(-)
-6,5
-10,98
-4,98
Nul
o
0,44
(-)
-6,0
1,11
-6,46
5,54
(+)
(+)
(-)
(+)
-2,8
(+)
-2,8
2,82,8
4,41
6,0
-1,6
7,66
(-)
(+)
2,77
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74
Determinar os diagramas de esforços solicitantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N = - 4,42 kN 
V = - 2,55 kN 
0 = M + 3,2.(x - 0,3) + 1,9.x 
M = -5,1.x + 2,56 
Para x = 1,6; M = -5,6 kN.m; 
 x = 3,2; M = -15,8 kN.m; 
60°
1,9kN 1,9 
1,9kN
2 kN/m1 kN/m
2 kN/m
1 kN/m
5,1kN
15,8kN.m
3,46m
3,8m 1,6m 2m
60°
Nulo 
DEN (kN) 
(-) 
-4,42 
DMF
(kN.m)
DEC (kN)
-2,55
-5,1
-1,9
(+)
(-)
(-)
-5,6
-5,6
-15,8
1,8 (-)
(-)
(+)
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75
2.3.3. Pórtico com Articulação e Tirante 
 
Análise da estaticidade: 
4 incógnitas: 3 inc. ext.; 
1 inc. int.; 
4 equações: 3 eqs estática; 
1 eq. MFD = MFE; 
g = (3+1) – (3+1) = 0 
 
 
 
 
Substitui-se a barra CD pelo par de 
esforços N: 
 
 
 
 
 
Reações e N: 
Fx = 0  HA = 0; 
Fy = 0  VA + VB = 8 tf 
Mz = 0 (A) VB.4 – 8.2 = 0 
VB = 4 tf.m  VA = 4 tf.m 
 Momento Fletor em F, pela direita: 
MFD = 0  4 – 2.N = 0 
 + N = 2 tf. 
 
4m
HA
VBVA
4 tf.m
2 tf/m
Tirante ou fio (se for
comprimido  escora)
FE
DC
BA
2m
2m
HA
VB
NN
VA
4 tf.m
8 tf
N
4 tf.m
F
2m
2m
4 tf
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76
Diagramas: 
N
ul
o
(-)
-4
4
N
ul
o
-4
N
ulo
N
ulo
Nulo
(-)
(-)
(-) -4
-4
DMF (kN.m)
-4
2
Nulo
(-)
(+)
(-)
-2
(+)
-4-4
DEC (kN)
-2
2
(-)
(+)
(-) (-)
DEN (kN)
x = (2 x 4²) / 8 = 4
x
 
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77
2.3.1. Pórticos Compostos 
 
Pórticos Compostos são uma associação de pórticos simples. Assim como a viga 
Gerber é uma associação de vigas simples. Se forem isostáticos, o resultado será uma 
Associação de Pórticos Simples Isostáticos. 
1. 
A B J K
HDx
C D
Dy
Dy
E
HxH
H
Hy
Dx Hx
Hy
I
GF
A B
C
E
D
J K
GF
H I
 
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78
2. 
 
 
3. 
 
 
 
4. 
 
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79
5. 
A D G
30 kN
B
10 kN /m
C
E
20 kN
F
5m8m 3m
2m
2m
4m
 
 
Decompondo: 
 
Fx = 0  HC = 30 kN; 
Fy = 0  VA + VC = 80 kN; 
MA = 0 8.VC + 4.HC –80.4 – 
30.2 = 0 
VC = 32,5 kN  VA = 47,5 kN 
 
 
Fx = 0  HD + HG +30 = 0 
Fy = 0  VD + VG = 20 + 32,5 + 80 
 VD + VG = 132,5 kN 
MD = 0  8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0 
 VG = 67,5 kN  VD = 65 kN 
MCD = 0  4.HD = 0 
 HD = 0  HG = - 30 kN 
A
VA
B
30 kN
10 kN/m
C
Vc
Hc
D
VD
GHD
C30 kN
32,5 kN
E
20 kN
VG
HG
F
10 kN/m
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80
Diagramas:
(+)
60(+)60
(+) (-)
80
120
(+)
(-) (-)(-)
120
n
u
lo
60
47,5
(+)
(+)
30
n
u
lo
120
(+)
(+)
60
30
80
180
(+)
DMF (kN.m)
180
-30(-)
(+)
(-)
-32,5
(-)
(+)
(+)
(-)
-20
32,5
-65
-47,5
DEC (kN)
-67,5
(-)
-30
-47,5
-30
(-)
(-)
nulo
-32,5
(-)
-47,5
DEN (kN)
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81
 
2.4. Cabos 
 
Cabos são estruturas lineares, extremamente flexíveis, capazes de resistir a 
esforços de tração. Os esforços cortantes, de compressão, de flexão e de torção não são 
resistidos por um cabo ideal. 
 Os cabos são utilizados em vários tipos de estruturas. Nas pontes pênseis e 
teleféricos são principais elementos portantes, nas linhas de transmissão conduzem a 
energia elétrica, vencendo vãos entre as torres e são empregados como elemento portante 
de coberturas de grandes vãos (Süssekind, 1987). 
 No estudo estático, assume-se a hipótese que os cabos são perfeitamente flexíveis, 
isto é, possuem momento fletor e esforço cortante nulos ao longo do comprimento. Dessa 
forma, os cabos ficam submetidos apenas a esforços normais de tração. 
 As formas assumidas pelo cabo dependem do carregamento que nele atua. Se o 
carregamento externo for muito maior do que o peso próprio do cabo, este último é 
desprezado no cálculo. A geometria da configuração deformada do cabo, para um dado 
carregamento, é denominada forma funicular (do latim, funis = corda) do cabo. 
 
 
ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC 
Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) 
Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX 
Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 
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Exemplo de formas funiculares: 
Catenária
Parábola
Polígono
Trapezóide
Triângulo
Carga Uniformemente
Distribuída ao longo do vão
Carga Uniformemente Distribuída ao longo do
comprimento do cabo (peso próprio)
Forma FunicularCarregamento
 
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 A catenária possui uma geometria mais baixa que a parábola. Isto é conseqüência 
do peso próprio se concentrar mais nas regiões próximas das extremidades. 
 
 
 
 A partir de estudos comparativos entre