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ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
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ANÁLISE CONFIRMATÓRIA DOS DADOS 
 1- INTRODUÇÃO 
O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para sugerir 
certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que está 
ocorrendo no presente. 
A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que envolvem 
uma tomada de decisão. 
Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, 
tais como: Administração de empresas, Informática, Economia, Psicologia, Biologia e outros 
ramos da ciência. 
Para a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, poderá 
basear-se em duas escolas de pensamento: 
I. A escola objetiva ou clássica: considera que as regras do cálculo das probabilidades 
devem ser aplicadas somente a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as 
mesmas condições. Exemplo: receber duas figuras em um jogo de cartas; ou ganhar 
numa loteria em que 15 000 pessoas possuam bilhetes. 
Esses ”experimentos” podem ser repetidos sob as mesmas condições e diferentes 
pessoas “provavelmente” obteriam os mesmos resultados. 
II. A escola subjetiva ou personalista: considera que a probabilidade de certo evento é 
medida pelo grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. 
Evidentemente, neste caso, teremos diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
Fenômeno: É qualquer acontecimento natural. 
Fenômeno determinístico: É um fenômeno que fornece um único resultado sob as mesmas 
condições. 
Fenômeno probabilístico, aleatório ou estocástico: É um fenômeno que fornece mais de 
um resultado sob as mesmas condições. 
Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições 
indefinidamente. 
Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, 
qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, 
descrever todos possíveis resultados: as possibilidades. 
Exemplos de experimentos aleatórios: 
E1: Lançamento de um dado; E2: Lançamento de três moedas; E3: Retirar uma carta de 
um baralho com 52 cartas e observar seu naipe; E4: Retirar com ou sem reposição bolas de 
uma urna (com 5 bolas brancas e seis pretas; E5: Contar o número de peças defeituosas da 
produção diária da máquina A; E6: Sortear um aluno de um determinado curso. 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS DISCRETAS 
Variável Aleatória: é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço 
amostral um único número real. 
Variável Aleatória discreta: é quando assume valores em um conjunto finito ou em um 
conjunto infinito, porém enumerável. 
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Função de probabilidade: é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória 
a probabilidade do evento correspondente, isto é: P (x = xi) = P ( Ai), i = 1, 2, ..., n 
No lançamento de três moedas, suponhamos x = número de ocorrências da face cara. A 
distribuição de probabilidade de x é dada pelo conjunto de pares xi, P( xi ), i = 1, ...,n, como 
mostram o quadro e o gráfico abaixo: 
Observe que em todas as distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias, a soma 
das probabilidades é igual à unidade: ∑
=
=
n
i
ii xPx
1
1)( 
 P(xi) 
xi P(xi) 
0 
8
1
 
1 
8
3
 
2 
8
3
 
3 
8
1
 
ΣΣΣΣ 1 
 
PARÂMETROS DAS DISTRIBUIÇÕES 
São características numéricas de importância numa distribuição de probabilidade. Os 
parâmetros que veremos são: esperança, variância e desvio padrão. 
ESPERANÇA MATEMÁTICA: λλλλ ou E (x) 
Considere o primeiro exemplo, onde x = número de caras que aparecem em três jogadas 
de uma moeda. Suponha que esse experimento seja repetido 800 vezes. Seria de se esperar 
que em 100 vezes obtivéssemos zero cara, em 300 casos surgiria uma única cara, e assim 
sucessivamente. Em geral, medindo-se uma variável aleatória n vezes, é de se esperar que o 
seu valor seja igual n vezes sua probabilidade de ocorrência: E(x) ou λλλλ = n . P(x). 
A esperança matemática, esperança de X ou valor esperado de X é a média de todos os 
valores que esperaríamos obter se medíssemos a variável aleatória um número muito grande de 
vezes. Para um número grande de repetições, a média de todos os valores seria igual a 1,5, 
obtido da expressão: (100 x 0 + 300 x 1 + ... + 100 x 3 ) / 800 ou do quadro abaixo: 
xi P(xi) xi . P(xi) 
0 
8
1
 
0 
1 
8
3
 
8
3
 
2 
8
3
 
8
6
 
3 
8
1
 
8
3
 
ΣΣΣΣ 1 1,5 
Exercício resolvido 
1º. Uma empresa seguradora sabe que a probabilidade de um carro sofrer acidente é de 
3%. Ela cobra R$1.000,00 por um seguro cujo prêmio é de R$30.000,00 em caso de sinistro. 
Quanto ela espera ganhar por carro segurado? 
 x 
. • • 
 • • 
0 1 2 3 
 1/8 
 3/8 
A esperança de x é uma média 
ponderada de todos os valores possíveis de x. 
O peso, ou ponderação, de cada valor é igual 
a probabilidade de x tomar esse valor. 
A esperança de x é também chamada 
média de x, ou média da distribuição de x, e é 
em geral simbolizada pela letra grega λλλλ . 
Lembre-se que E(x) é uma constante e não 
uma variável aleatória. 
Definição: E (x) = λλλλ = ΣΣΣΣ xi . P ( xi ) 
 
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Solução: De acordo com a probabilidade dada, dentre 100 carros segurados, 97 dão lucro de 
R$1.000,00 e 3 dão prejuízo de R$29.000,00 (R$30.000,00 – R$1.000,00). 
 Lucro total: ( 97 x R$1.000,00 ) – ( 3 x R$29.000,00 ) = R$10.000,00 
 Lucro médio por carro = R$10.000,00 / 100 = R$100,00 
 A esperança da empresa é obter um ganho médio de R$100,00 por veículo segurado. 
Pela definição, a esperança pode ser determinada conforme o quadro abaixo: 
xi P ( xi ) xi . P(xi) 
R$ 1.000,00 0,97 R$970,00 
 R$ 29.000,00 0,03 R$870,00 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (para variáveis discretas) 
O experimento consiste num número finito de tentativas repetidas, cada uma das quais tendo 
apenas dois resultados possíveis que são registrados como sucesso (p) ou fracasso (q). 
• As tentativas repetidas são independentes. 
• As probabilidades associadas com sucesso (p) e fracasso (q) são conhecidas e não mudam 
durante a experiência. 
• A ordem em que aparecem os elementos num grupo não tem importância. 
A Distribuição Binomial fornece resposta à seguinte questão: se há n tentativas 
independentes, cada qual tendo a mesma probabilidade p de sucesso e (1 – p ) = q de 
fracasso, qual é a probabilidade de ocorrência de x sucessos em n tentativas? 
Apresentaremos o desenvolvimento da distribuição com os lançamentos de moedas. 
Consideraremos a face cara (K) como sucesso, p, e coroa (C) como fracasso, q = 1 – p. 
Fórmula geral: Suponha que um experimento seja realizado n vezes. Seja x o número de 
sucessos. Se a probabilidade de sucesso em cada prova é p, então a probabilidade de obter x 
sucessos é dada por: 
 P (E) = 




 n
x
 px qn-x Lembre-se que: 
!)!(
!
xxn
nn
x −
=





 
 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
• Esperança (média): E (x) = λλλλ = n x p 
• Variância: σσσσ2 = n . p . q 
• Desvio padrão: qpn ..=σ 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (também para variáveis discretas) 
É comum depararmos com distribuição binomial onde n é muito grande (n → ∞∞∞∞) e p é 
muito pequeno (p → 0). Nesses casos,não é possível usar a tabela e os cálculos se tornam 
complicados. O jeito é usar computador ou então fazer cálculos aproximados. É aí que entra 
a distribuição de Poisson. Ela nada mais é que uma aproximação da distribuição binomial. 
 Aplica-se a distribuição de Poisson quando: 
• valor de n é muito grande (supera o maior valor tabelado. No mínimo, superior a 15); 
• valor de p é muito pequeno (p < 0,1); 
• valor da média (λ) não seja muito elevada (0 < λ ≤ 10). 
 São 97% de probabilidade de 
ganhar R$1.000,00 contra 3% de 
chance de perder R$29.000,00. 
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Quando isso ocorre, a média será tomada como λλλλ = n.p. Assim, a distribuição Binomial: 
 P (E) = 




 n
x
 px qn-x pode ser substituída para: P (E) = 
!
.
x
e xλλ−
, onde: e = 2,71828... 
 Lim n→→→→∞∞∞∞ 




 n
x
 px qn-x = 
!
.
x
e xλλ−
, onde: λλλλ = n . p 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO POISSON: 
 Esperança (média): E (x) = µµµµ = λλλλ = n . p ; Variância: σσσσ2(x) e Desvio padrão: pn.=σ 
 
Exercícios Propostos 
1ª) Por um pedágio “W” em dias tranqüilos, passam em média oitenta carros por hora. 
Determine a probabilidade de nos próximos cinco minutos passarem (considere este, um dia 
tranqüilo): a) exatamente quatro carros; b) pelo menos quatro carros; c) no máximo quatro 
carros. 
*2ª) O veterinário do zoológico “H” afirma que a cada quatro animais que ali nasce, três são 
fêmeas. Estão para nascerem, neste zoológico, cinco animais na próxima semana, determine 
as chances de: a) nascerem exatamente quatro fêmeas; b) nascerem quatro fêmeas (pelo 
menos); c) nascerem dois machos (pelo menos); d) nascerem todos de mesmo sexo. 
3ª) A cada vinte registros de uma atividade tem-se que, dezessete deles estão dentro das 
especificações. Considerando tal afirmação, qual a probabilidade de nos próximos cinco 
registros: a) pelo menos dois estarem fora das especificações?; b) no máximo quatro deles 
estarem dentro das especificações?; c) nenhum estar fora das especificações? 
4ª) Utilizando a afirmação da questão anterior, qual a probabilidade de nos próximos trinta e 
cinco registros, pelo menos seis deles estarem fora das especificações? 
5ª) Os registros afirmam que vinte peças são danificadas, numa máquina “W”, por dia de 
trabalho (oito horas de trabalho). Qual a probabilidade de nos próximos quarenta e cinco 
minutos de trabalho, pelo menos duas peças saírem danificadas desta máquina? 
6ª) Os registros de uma única autorizada “W”, no último semestre de 2004 na cidade de “C.G.”, 
confirmam que, uma média de quarenta aparelhos elétricos é recebida por dia (8 horas de 
trabalho) pela mesma, com diversos tipos de defeitos. Determine a prob. de nos próximos 
quarenta minutos, pelo menos quatro aparelhos defeituosos chegarem nesta autorizada. 
7ª) Se a probabilidade de um indivíduo sofrer choque anafilático, resultante da injeção de um 
determinado soro é de 0,001 (um em cada mil), determinar a probabilidade de, em três mil e 
quinhentos indivíduos, pelo menos cinco indivíduos sofrerem aquela reação. .≅ 27,46% 
*8ª) O operador de uma máquina afirma que: “a cada oito peças produzidas pela mesma, 
cinco saem perfeitas” (em condições para serem lançadas no mercado). Sete peças estão 
para sair deste processo de fabricação, determine: 
a) as a probabilidade de pelo menos cinco peças saírem perfeitas; Resp.: ≅ 47,53%; 
b) as chances de no máximo duas peças saírem defeituosas. Resp.: ≅ 47,53%. 
9ª) Um a cada mil pessoas reage negativamente ao medicamento “w”, e estão para fazer uso do 
mesmo, duas mil e quinhentas pessoas. Qual a probabilidade de pelo menos quatro destas 
pessoas, sofrerem a tal reação (reação nociva)? Resp.: ≅ 24,2%. 
10ª) Quinze mortes por semana ocorrem na cidade “w” decorrente dos acidentes de “moto”. 
Qual a probabilidade de, nos próximos dois dias, ocorrerem no máximo três mortes? 
11ª) Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 30%, determinar a média e 
o desvio-padrão da distribuição de peças defeituosas de um total de 800. 
12ª) 80% das ações mais negociadas em uma Bolsa de Valores caíram de preço. Suponha que 
você tenha uma carteira com 20 dessas ações e que as ações que perderam valor possuam 
distribuição binomial. Pede-se calcular: 
a) quantas ações de sua carteira você espera que tenha caído de preço; 
b) o valor do desvio-padrão das ações que tem na carteira; 
c) a probab. de que tenham caído de preço exatamente 15 dessas ações. 
13ª) Suponha que a variável aleatória x possui distribuição de Poisson com média λλλλ >>>> 0. 
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Sabendo-se que P(x = 1) = P(x = 2), pede-se calcular: P(x = 0) ; P(x = 3) e P(x < 4) . 
14ª) Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer 
circuito integrado seja defeituoso é de 0,01. Os circuitos integrados são independentes. O 
produto opera somente se não houve circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de 
que o produto opere? 
*15ª) Uma peça de reposição do osso do quadril está sendo testada no laboratório, com relação 
à tensão. A probabilidade de completar com sucesso o teste é de 0,80. Sete peças, escolhidas 
aleatória e independentemente, são testadas. Qual é a probabilidade de: a) que no máximo 
duas destas peças completem com sucesso o teste?; b) que pelo menos uma destas peças não 
tenha sucesso no teste? 
16ª) Os registros confirmam que, a cada vinte ligações telefônicas para os consultórios médicos, 
dezenove ligações estão interessadas em saber da existência de convênios com planos de 
saúde. Determine a probabilidade de: a) em cinqüenta ligações telefônicas para um consultório 
médico, pelo menos duas ligações não se interessarem por convênios com planos de saúde; b) 
em seis ligações telefônicas para um consultório médico, no máximo duas ligações estarem 
interessadas por convênios com planos de saúde. 
17ª) Os registros de uma única autorizada “W”, no último semestre de 2004 na cidade de “C.G.”, 
confirmam que a mesma recebe uma média de dez aparelhos elétricos por dia (8 horas de 
trabalho), com diversos tipos de defeitos. Determine a probabilidade de na próxima hora, 
exatamente quatro aparelhos defeituosos chegar nesta autorizada “W”. 
*18ª) A cada quatro registros de uma atividade tem-se que, três deles estão dentro das 
especificações. Considerando tal afirmativa, qual a probabilidade de nos próximos cinco 
registros: a) no máximo dois dos registros estarem fora das especificações?; b) todos os 
registros estarem dentro das especificações? 
19ª) Numa linha adutora de água de 60km de extensão, o número de vazamentos seguirá uma 
distribuição de Poisson de parâmetro λλλλ = 4 vazamentos. Qual a probabilidade de ocorrer, 
durante o mês, pelo menos um vazamento em certo setor de 3 km de extensão? 
20ª) Os registros confirmam que, num certo processo de fabricação, por dia de trabalho (oito 
horas), próximo de doze peças saem da produção não atendendo as exigências do controle de 
qualidade (por estarem fora dos padrões estabelecidos, não podem ser lançadas no mercado). 
Determine a probabilidade de: a) pelo menos duas peças, saírem deste processo, na próxima 
hora de trabalho, não atendendo as exigências do controle de qualidade b) nas próximas duas 
horas, saírem no máximo três peças não atendendo as exigências do controle de qualidade. 
*21ª) A cada oito registros de uma atividade, três deles estão fora das especificações. 
Considerando tal afirmativa, determine a probabilidade de nos próximos seis registros: a) no 
máximo dois deles estaremdentro das especificações; b) todos os registros estarem nas 
mesmas condições? 
22ª) Se as chances de um indivíduo sofrer choque anafilático, resultante da injeção de um 
determinado soro, é de 0,001, determinar a probabilidade de, em dois mil indivíduos, 
exatamente três sofrerem aquela reação. 
23ª) O operador da máquina “W”, em operação, afirma que, uma média seis peças saem 
defeituosas por hora. Determine a probabilidade de nos próximos vinte minutos saírem: a) no 
máximo três peças defeituosas; b) pelo menos três peças defeituosas; c) exatamente três 
peças defeituosas. 
24ª) A cada cinco registros analisados numa determinada atividade, um deles está fora das 
especificações (não atende as especificações). Considerando tal afirmativa, determine as 
chances de nos próximos quatro registros analisados pelo menos três deles atendam as 
especificações. 
25ª) Num certo processo de fabricação, num dia de trabalho (oito horas), próximo de dezesseis 
peças saem da produção não atendendo as exigências do controle de qualidade (não são 
lançadas no mercado por estarem fora dos padrões estabelecidos). Determine as chances, de 
na próxima meia hora, pelo menos uma peça não atenda as exigências do controle de 
qualidade. 
26ª) Suponha que a variável aleatória x possui distribuição de Poisson com média λ > 0. Sabe-
se que P(x = 2) = P(x = 3), pede-se calcular P(x = 5). 
*27ª) Suponha que a variável aleatória x possui distribuição Binomial para n = 8. Sabe-se que 
P(x = 2) = P(x = 3), pede-se calcular P(x = 5). 
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28ª) Um produto eletrônico contém 40 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer 
circuito integrado seja defeituoso é de 0,05. Os circuitos integrados são independentes. O 
produto opera somente se não houve circuitos Integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de 
que o produto não opere? 
29ª) Numa linha adutora “W”, de 60 km de extensão, o número de vazamentos seguirá uma 
distribuição de Poisson, onde se espera 12 vazamentos por dia. Qual a probabilidade de ocorrer, 
no próximo dia, pelo menos um vazamento em 5 km de extensão desta adutora? 
30ª) Os registros confirmam que, num certo processo de fabricação, por dia de trabalho próximo 
de dez peças saem da produção não atendendo as exigências do controle de qualidade (não 
são lançadas no mercado por estarem fora dos padrões estabelecidos). Determine a 
probabilidade de na próxima hora, saírem no máximo duas peças não atendendo as exigências 
do controle de qualidade. 
 
Exercícios Propostos 
1ª) mimcarrosmim
mim
carros 5/67,65.
60
80
60
80
=⇒=⇒= λλλ (é a esperança) 
a) %5,10
!4
.67,6 67,64
≅⇒
−e
 
b) 





+++−
−−−−
!3
.67,6
!2
.67,6
!1
.67,6
!0
.67,61
67,6367,6267,6167,60 eeee
 ≅ 89,9% 
c) 
!4
.67,6
!3
.67,6
!2
.67,6
!1
.67,6
!0
.67,6 67,6467,6367,6267,6167,60 −−−−−
++++
eeeee
 = 20,5 % 
2ª) em 4 animais, nascem 3 fêmeas (passado) 
 n = 5 animais. a) nascerem exatamente quatro fêmeas 
 P(x=4 fêmeas) = %55,39
1024
405
4
1
.
256
81
.5
4
1
.
4
3
.
4545
4
===

















−
 
b) nascerem quatro fêmeas (pelo menos quatro fêmeas) 
 P(x ≥ 4 fêmeas) = P(x = 4) ou P(x = 5) 
6328,0
1024
648
1024
243
1024
4051.
1024
243
.1
4
1
.
256
81
.5
4
1
.
4
3
.
4
1
4
3
.
5555
5
4545
4
==+=+=

















+

















−−
 
c) nascerem dois machos (pelo menos) ou P(x ≥ 2) = x= 2 ou x = 3 ou x= 4 ou x = 5 
 1 – (P(x= 0) ou P(x = 1) 
=−=





+−=





+−=


























+

















−
−−
1024
648
1024
1024
1024
405
1024
243
1024
1024
256
81
.
4
1
.5
1024
243
.1.1
1024
1024
4
3
.
4
1
.
4
3
.
4
1
.1
1515
1
0505
0
 
3672,0
1024
376
== 
d) nascerem todos de mesmo sexo ou P(x = 5 fêmeas) + P(x = 5 machos) = 
2383,0
1024
2441.
1024
1
.11.
1024
243
.1
4
3
.
4
1
.
4
1
.
4
3
.
5555
5
5555
5
==+=

















+

















−−
 
P(x = 5 fêmeas ou x = 0 fêmeas) = 
2383,0
1024
244
1024
1
1024
243
1024
1
.1.11.
1024
234
.1
4
1
.
4
3
.
4
1
.
4
3
.
0505
0
5555
5
==+=+=

















+

















−−
 
P(x = 5 machos ou x = 0 machos) = 
2383,0
1024
244
1024
243
1024
1
1024
243
.1.11.
1024
1
.1
4
3
.
4
1
.
4
3
.
4
1
.
0505
0
5555
5
==+=+=

















+

















−−
 
3ª) em 20 registros (passado) : 
20
17 dentro das especificações então 
20
3 fora das especificações 
n = 5 registros (futuro) 
a) pelo menos dois estarem fora das especificações 
 P(x ≥ 2 fora) = x = 2 ou x = 3 ou x = 4 ou x = 5 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
7
7 
 
 =

















+

















+

















+

















−−−− 5555
5
4545
4
3535
3
2525
2 20
17
.
20
3
.
20
17
.
20
3
.
20
17
.
20
3
.
20
17
.
20
3
. 
 =
−
+
−
+
−
+
−
1.
3200000
243
.)!55(!5
!5
20
17
.
160000
81
.)!45(!4
!5
400
289
.
8000
27
.)!35(!3
!5
8000
4913
.
400
9
.)!25(!2
!5
 
16479,0
3200000
527328
3200000
243
3200000
6885
3200000
78030
3200000
442170
3200000
243
.1
3200000
1377
.5
3200000
7803
.10
3200000
44217
.10 ==+++=+++
 
P(x ≥ 2) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1)] 
=





+−=





+−=


























+

















−
−−
3200000
1252815
3200000
14198571
160000
83521
.
20
3
.5
3200000
1419857
.1.11
20
17
.
20
3
.
20
17
.
20
3
.1
1515
1
0505
0
 
16479,0
3200000
527328
3200000
26726721 ==− 
b) no máximo quatro deles estarem dentro das especificações 
P(x ≤ 4) = x = 0 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 3 ou x = 4 
P(x ≤ 4) = 5563,04437,011.
3200000
1419857
.11
20
3
.
20
17
.1
5555
5
=−=





−=


























−
−
 
c) nenhum estar fora das especificações? 
P(x = 0) = 4437,0
3200000
1419857
x1x1
20
17
.
20
3
.
0505
0
==

















−
 
4ª) Utilizando a afirmação da questão anterior, qual a probabilidade de nos próximos trinta e 
cinco registros, pelo menos seis deles estarem fora das especificações? 
λ = 35 x 
20
3
 ⇒ λ = 5,25= 42,8% 






+++++−
−−−−−−
!5
.25,5
!4
.25,5
!3
.25,5
!2
.25,5
!1
.25,5
!0
.25,51
25,5525,5425,5325,5225,5125,50 eeeeee
 
5ª) P(x ≥ 2) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1)] 
875,145
608
20
=⇒= λλ mimx
mimx
máquinas
 ⇒⇒⇒⇒ %9,55
!1
.875,1
!0
.875,11
875,11875,10
=





+−
−− ee
 
 
 
6ª) P(x ≥ 4) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] + P(x = 3)] 
3
10
24
80
480
1600
mim40x
mim60x8
aparelhos40
=λ⇒=λ⇒=λ⇒=λ 
 =










+++−
−−−−
!3
e.
3
10
!2
e.
3
10
!1
e.
3
10
!0
e.
3
10
1
3
10
3
3
10
2
3
10
1
3
10
0
 
 
%212068,0)
6
3
10
2
3
10
3
10
1(xe1
32
3
10
≅=+++−=
−
 
7ª) P(x ≥ 5) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] + P(x = 3) + P(x = 4)] ≅≅≅≅ 27,46% 
 0,001 ou 
1000
1
 sofrer o choque então λ = 5,3
1000
1
.3500 = (é em média de sofrer o choque) 
Obs. As chances de pelo menos 4 reagir negativamente 
P(x≥5) = )
!4
e.5,3
!3
e.5,3
!2
e.5,3
!1
e.5,3
!0
e.5,3
(1
5,345,335,325,315,30 −−−−−
++++− 
 
%272746,0)
24
5,3
6
5,3
2
5,3
5,31(xe1
432
5,3 ≅=++++− − 
8ª) a cada 8 peças: 5 saem perfeitas (passado) 
a) a probabilidade de pelo menos cinco peças saírem perfeitas 
P(x ≥ 5) = P(x = 5) + P(x = 6) + P(x = 7) 
P(x ≥ 5) = 
7777
7
67677
6
5757
5 8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
.
−−−


















+

















+

















 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
8
8 
 
=
−
+
−
+
−
1.
2097152
78125
.)!77(!7
!7
8
3
.
262144
15625
.)!67(!6
!7
64
9
.
32768
3125
.)!57(!5
!7
 Resp.: ≅≅≅≅ 47,53%; 
4754,0
2097125
996875
2097125
78125
2097125
328125
2097125
590625
2097152
78125
x1
2097125
46875
x7
2097152
28125
x21 ≅=++=++ 
b) as chances de no máximo duas peças saírem defeituosas 
P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) 
P(x ≤ 2) = =

















+

















+

















−−− 2727
2
1717
1
0707
0 8
5
.
8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
.
8
3
. Resp.: ≅≅≅≅ 47,53%. 
=++=
−
++
2097125
28125
x21
2097125
328125
2097125
78125
32768
3125
x
64
9
x)!27(!2
!7
262144
15625
x
8
3
x7
2097125
78125
x1x1 
4754,0
2097125
996875
≅ 
9ª) a cada 1000 pessoas: uma reage negativamente = 
1000
1
 reage negativamente (passado) 
então λ = 2
1000
1
.2000 = (é em média de reagir negativamente) 
Obs. As chances de pelo menos 4 reagir negativamente 
 P(x ≥ 4) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] + P(x = 3)] 
P(x≥4) = %141429,0)
6
8
221(xe1)
!3
e.2
!21
e.2
!1
e.2
!0
e.2
(1
2
23222120
≅=+++−⇒+++− −
−−−−
 
10ª) dias2x
dias7
mortes15
dias7
mortes15
=λ⇒=λ ⇒ λ = 
7
30
 
 P(x ≤ 3) = P(x= 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] + P(x = 3) 
 
 P(x≤3) = 
!3
e.
7
30
!2
e.
7
30
!1
e.
7
30
!0
e.
7
30 7
30
3
7
30
2
7
30
1
7
30
0
−−−−
+++ 
 
%383797,0)
6
7
30
2
7
30
7
30
1(xe
32
7
30
≅=+++⇒
−
 
11ª) 
λ = n . p ⇒ λ = 800 x 0,30 ⇒ λ = 240 
 
σ(x) = p.n ⇒ σ(x) = 30,0.800 ⇒ σ(x) = 15,49 
12ª) 0,80 caíram então 0,20 não caíram em n = 20 
a) quantas ações de sua carteira você espera que tenha caído de preço; pxn=λ 
1680,0x20 ⇒=λ ações caíram (é em média o que se espera) 
b) o valor do desvio-padrão das ações que tem na carteira; 
78885,12,320,0x80,0x20qxpxn)x( ≅⇒⇒=σ ações 
c) a probabilidade de que tenham caído de preço exatamente 15 dessas ações. 
P(x = 15) = 
==
−
=





− 000011264,0.
!5x!15
!15x16x17x18x19x2000032,0.0352,0.)!1520(!15
!2020,0.80,0. 152015
20
15
 
1746,0000011264,0x16x17x3x19 ≅ 
13ª) P(x = 1) = P(x = 2) então λ=⇒λ=⇒λ=λ
λ−λ−
2
1x21
1
!2
e.
!1
e.
21
 
calcule: a) P(x = 0) = %141353,0
!0
e.2
20
≅⇒
−
 
b) P(x = 3) = %181804,0
!3
e.2
23
≅⇒
−
 
c) P(x < 4) = %868571,0)
6
8
221(xe
!3
e.2
!21
e.2
!1
e.2
!0
e.2
2
23222120
≅=+++⇒+++ −
−−−−
 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
9
9 
 
14ª) n = 40 circuitos e 0,01 ou 
100
1
 def. Obs. As chances de operar? 
λ = 4,0
100
1
.40 = (é em média o que se espera com def.) %676703,0
!0
e.4,0
4,00
≅=
−
 
15ª) 0,80 sucesso e 0,20 não sucesso em n = 7 
a) que no máximo duas destas peças completem com sucesso o teste? 
P(x ≤ 2 sucesso) = =





+





+





−−− 272
7
2
171
7
1
070
7
0
20,0x80,0x20,0x80,0x20,0x80,0x %0004672,0 ≅ 
=++=
−
++ 0002048,0x210003584,00000128,000032,0x64,0x)!27(!2
!7000064,0x80,0x70000128,0x1x1 
b) que pelo menos uma destas peças não tenha sucesso no teste? 
P(x ≥ 1 não sucesso) = x = 1 ou x = 2 ou x = 3 ou x = 4 ou x = 5 ou x = 6 ou x = 7 
 ou P(x ≥ 1 não sucesso) = 1 – P(x = 0) 
 ( ) 7902848,02097125,012097152,0x1x1180,0x20,0x1 0707
0
=−=−=











−
−
 
16ª) n = 20 ligações: 19 interessadas então apenas uma não se interessa (passado). 
a) P(x ≥ 2 não se interessarem) = 1 – [P(x= 0) + P(x = 1)] 
eressadaint
20
19
 ou eressadaintnão
20
1
 logo λ = 5,2
20
1
.50 = (é a média de não interessada) 
 
%7171227,05,3.e1
!1
5,2
!0
5,2
.e1
!1
e.5,2
!0
e.5,2
1
5,2
1p
5,2
5,215,20
≅=−⇒





+−⇒








+− −−
−−
 
b) em n = 6 ligações determine P(x ≤ 2 estejam interessadas) = ? p = plano
20
19
 
 P(x ≤ 2) = P(x= 0) + P(x = 1) + P(x = 2) 
 =

















+

















+

















−−− 2626
2
1616
1
0606
0 20
1
.
20
19
.
20
1
.
20
19
.
20
1
.
20
19
. 
 =
−
++=
160000
1
x
400
361
x)!26(!2
!6
3200000
1
x
20
19
x6
64000000
1
x1x1 
 000086406,0
64000000
5530
64000000
361
x15
64000000
114
64000000
1
==++ = 0,0086406% 
 Resp. ≅≅≅≅ 1% 
17ª) hora/aparelhos25,1
h8
aparelhos10
=λ⇒=λP(x = 4 ) = 
%3029,0
!4
e.25,1
25,14
≅⇒
−
 Resp. 029,0⇒ ≅ 3% 
18ª) a cada 4 registros 3 estão dentro das especificações. dentro
4
3
 e fora
4
1
 (passado) 
 n = 5 
a) P(x ≤ 2) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) p = fora
4
1
 
 =

















+

















+

















−−− 2525
2
1515
1
0505
0 4
3
.
4
1
.
4
3
.
4
1
.
4
3
.
4
1
. 
 8965,0
1024
918
1024
27
x10
1024
405
1024
243
64
27
x
16
1
x)!25(!2
!5
256
81
x
4
1
x5
1024
243
x1x1 ≅=++=
−
++= Resp. ≅ 9%. 
b) P(x = 5 dentro das esp.) p= dentro
4
3
: =

















−5555
5 4
1
.
4
3
. 2373,01x
1024
243
x1 = Resp. ≅ 24%. 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
10
10 
 
19ª) em 60km temos 4 vaz então se espera em 3km: λ = 0,2 vaz. 
 P(x≥≥≥≥1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... 
P(x≥≥≥≥1) = 1 – [P(x=0)] ⇒ %181813,0e1
!0
e.2,0
1
2,0
2,00
≅=−⇒− −
−
 Resp. ≅ 18%. 
20ª) 5,1
h8
peças12
=λ⇒=λ (é o que se espera na próxima hora) 
a) P(x ≥ 2) = 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)] 
P(x ≥ 2) = 
%444422,05,2.e1
!1
5,1
!0
5,1
.e1
!1
e.5,1
!0
e.5,1
1
5,1
1p
5,1
5,115,10
≅=−⇒





+−⇒








+− −−
−−
 
b) 325,1
8
12
=⇒=⇒= λλλ x
h
peças
 (é o que se espera nas próximas duas horas) 
P(x ≤ 3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) 
P(x ≤ 3) = ( ) =+++⇒






+++⇒+++ −
−−−−
5,45,431.049787,0
!3
3
!2
3
!1
3
!0
3
.e
!3
e.3
!2
e.3
!1
e.3
!0
e.3
3210
3
33323130
 
 %65647232,0 ≅= Resp. ≅ 65%. 
21ª) a cada n=8: 3 estão fora das especificações logo fora
8
3
 e dentro
8
5
 (passado) 
 n = 6 
a) P(x ≤≤≤≤ 2 dentro) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) ∴ p = dentro
8
5
 
=

















+

















+

















−−− 2626
2
1616
1
0606
0 8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
. =
−
++
4096
81
.
64
25
.)!26(!2
!6
32768
243
x
8
5
x6
262144
729
x1x6 
1604,0
262144
42039
262144
30375
262144
7290
262144
4374
262144
2025
.
!4x1x2
!4x5x6
262144
7290
262144
4374
=⇒++=++ Resp. ≅ 16%. 
b) x = 6 fora ou x = 6 dentro 
0624,0
262144
16354
262144
15625
262144
7291.
262144
15625
.11.
262144
729
.1
8
3
.
8
5
.
8
5
.
8
3
.
6666
6
6666
6
=⇒+⇒+=

















+

















−−
 
x = 6 fora ou x = 0 fora 
0624,0
262144
16354
262144
15625
262144
729
262144
15625
.1.11.
262144
729
.1
8
5
.
8
3
.
8
5
.
8
3
.
0606
0
6666
6
=⇒+⇒+=

















+

















−−
 
x = 6 dentro ou x = 0 dentro 
0624,0
262144
16354
262144
729
262144
15625
262144
729
.1.11.
262144
15625
.1
8
3
.
8
5
.
8
3
.
8
5
.
0606
0
6666
6
=⇒+⇒+=

















+

















−−
 
 Resp. ≅ 6%. 
22ª) 001,0nocivoser
1000
1
p =λ⇒= em n = 2000 indivíduos para x = 3 sofrer o choque 
choqueosofrerindivíduos2001,0x2000 ⇒=λ então para x = 3 sofrer o choque: 
 P (x = 3) = )%04,18(1804,0
!3
e.2
23
=
−
 Resp. 1804,0⇒ Resp. ≅ 18%. 
Análise: Segundo Poisson a cada 100 vezes que 2000 pessoas forem vacinadas próximo de 18 
vezes teremos exatamente 3 pessoas sofrendo o choque. 
23ª) 
h
defpeças
1
.6
=λ se 6 p. danificadas em cada 60min então min20/.defpeça2=λ 
a) P(x ≤ 3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) 
 %868571,0)
6
8
221.(e
!3
e.2
!2
e.2
!1
e.2
!0
e.2
2
23222120
≅=+++⇒+++ −
−−−−
 Resp. ≅ 86%. 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
11
11 
 
b) P(x≥≥≥≥3) = ? P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + ... 
 P(x ≥≥≥≥ 3) = 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)] 
 %323233,0)221.(e1)
!2
e.2
!1
e.2
!0
e.2
(1
2
222120
≅=++−⇒++− −
−−−
 Resp. ≅ 32%. 
c) P(x=3) = ? %181804,0
!3
e.2
23
≅⇒
−
 Resp. ≅ 18%. 
24ª) a cada 5 registros analisados: um está fora das especificações (passado) fora
5
1
 
n = 4 determine: P(x ≥≥≥≥ 3) = [P(x = 3) + P(x = 4)] 
8192,0
625
512
625
256
625
256
1.
625
256
.1
5
1
.
125
64
.4
5
1
.
5
4
.
5
1
.
5
4
.
444
4
4
343
4
3
⇒=+⇒+=



















+


















 −−
 Resp. ≅ 82%. 
25ª) 
h8
.defpeças16
=λ se 2 p.d. por cada hora então 1p.d. por cada meia hora. 
 h5,0/.defpeça1
8
5,0.16
⇒=λ ⇒ P(x≥≥≥≥1) = ? P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... 
 P(x≥≥≥≥1) = 1 – [P(x=0)] ⇒ %636321,0e1
!0
e.11 1
10
≅=−⇒− −
−
. Resp. ≅ 63%. 
 
26ª) Se P(x=2) = P(x=3) então P(x = 5) = ?. 
3
3
1
1x2x3
e.
1x2
e.
!3
e.
!2
e. 3232
=λ⇒λ=⇒λ=λ⇒λ=λ
λ−λ−λ−λ−
 então 1008,0
120
0498,0.243
!5
.3)(
35
=⇒=
−e
xP 
 Resp. ≅ 10%. 
27ª) n = 8. Sabe-se que P(x = 2) = P(x = 3) então P(x = 5) = ?. 
P(x = 2) = P(x = 3) 
383
8
3
282
8
2
qpqp −− 





=





 logo p)!38(!3
!8q)!28(!2
!8
−
=
−
 ⇒ p2qp
2
q
=⇒= como 1qp =+ 
 então 1p2p =+ 1p3 = 
3
1p = 
3
2q = 
P(x = 5) = 0683,0
6561
448
27
8
.
243
1
.
1x2x3x!5
!5x6x7x8
27
8
x
243
1
x)!58(!5
!8
3
2
3
1
.
5858
5
⇒=⇒
−
=

















−
 Resp. ≅ 7%. 
28ª) 0,05 ou 
100
5
 ou 
20
1
 def. 
100
95
 ou 
20
19
 perf. 
Em n = 40 circuitos: λ = 2
20
1
.40 = (é em média o que se espera com def.) 
λ = 38
20
19
.40 = sem def. Quando você for montar o eletrônico. n = 40 
x = 0 defeit. (sucesso ⇒ exigência) vai operar. 
x = 1, x = 2, x = 3 ... x = 40 (não sucesso) não vai operar. P(x≥≥≥≥1) = 1 – P(x = 0) 
P(x≥1) = %868647,0e1
!0
e.21 2
20
≅=−⇒− −
−Resp. ≅ 86%. 
Obs. As chances de operar? P(x=0def.) = %141353,0
!0
e.2
20
≅=
−
 Resp. ≅ 14%. 
 
29ª) 
km60
vazamentos12
=λ em 60km temos 12 vaz então se espera em 5km: λ = 1 vaz. 
 P(x≥≥≥≥1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... 
P(x) = 1ou x = 2 ou x = 3 ou ... ) 
P(x≥1) = 1 – P(x = 0) então P(x) = %636321,0e1
!0
e.11 1
10
≅=−⇒− −
−
 Resp. ≅ 63%. 
 
 
 ESTATÍSTICA II – Análise Confirmatória dos dados – profs. Selmo Pires 
 
12
12 
 
30ª) )horas8(dia
.defpeças10
=λ ; 10 peças def. por cada 8 horas então 1,25 peças def. por hora. 
Espera-se que na próxima hora : λ = 1,25 peças def. / hora 
 
P(x ≤ 2 peças def. / h) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) 
P(x ≤ 2 peças def. / h) = 
%87868,0)03125,3(*2865,0
2
25,125,11.e
!2
e.25,1
!1
e.25,1
!0
e.25,1 225,125,1225,1125,10 ≅⇒=





++⇒++ −
−−−
 
 Resp. ≅ 87%. 
 
Análise: Segundo Poisson a cada cem vezes que estivermos observando a produção durante 
uma hora aproximadamente, oitenta e sete vezes sairão no máximo duas peças não atendendo 
os padrões estabelecidos.