Lista vetores

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Lista de Exerc´ıcios I - Vetores upslope Produtos de Vetores
Prof. Arthur Gilzeph - UFCG/CCTA/UACTA
21 de outubro de 2014
1. Dados dois vetores ~u e ~v na˜o paralelos, construir no mesmo gra´fico os vetores ~u+~v, ~u−2~v
e −~u− ~v.
2. Trac¸ar no mesmo sistema referencial os seguintes pontos:
a. A(−2, 3), B(−3, 1), C (0,−12) b. A(−1, 0, 3), B(2,−3, 0), C (0,−12 , 3)
c. A(0, 0,−4), B(−3, 0, 0), C (0,−12 , 0) d. A(−2,−1,−3), B(1, 3, 3), C (32 ,−52 ,−3)
3. Determine:
a. a extremidade do vetor u = (3,−7), sabendo que sua origem e´ o ponto A(2, 1).
b. o aˆngulo entre os vetores ~u e 2~v; −~u e ~v; −2~u e ~v, sabendo que o aˆngulo entre os vetores
~u e ~v e´ de 45◦.
c. o ve´rtice oposto ao ve´rtice B no paralelogramo ABCD, onde A(−3,−2), B(3,−4),
C(5,−1).
4. Dados os vetores ~u = (2, 0,−1) e ~v = (−1, 2, 3), determine o vetor ~x tal que:
a. 4(~u− ~v) + 13~x = 2~u− ~x b. 3~x− 3(~v − ~u) = 8~x− 6~u
5. Determine os treˆs ve´rtices de um triaˆngulo, sabendo que os pontos me´dios de seus lados
sa˜o M(2, 1,−2), N(4, 1,−3), P (4,−2, 1).
6. Sendo A(x, 1), B(4, x+ 3), C(x, x+ 2), D(2x, x+ 6) determine o valor de x de forma que−−→
AB =
−−→
CD.
7. Determine o valor de x para que o triaˆngulo de ve´rtices A(4, x, 4), B(10, x,−2) e C(2, 0,−4)
seja equila´tero.
8. Verifique se os pontos abaixos sa˜o colineares:
a. A(−1,−5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2,−7,−1)
b. A(2, 1,−1), B(3,−1, 0) e C(1, 0, 4)
c. A(−3,−12 , 0), B(1, 1, 1) e C(0, 3,−1)
9. Encontre os nu´meros a1, a2 ∈ R tais que ~w = a1~v1 + a2~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 =
(2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14).
10. Calcule a e b de modo que os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7) sejam colineares.
11. Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o mo´dulo do vetor
−−→
AB seja igual
√
5.
12. Sejam ~u e ~v vetores distintos. Mostre que se ~u+~v e´ perpendicular a ~u−~v, enta˜o |~u| = |~v|.
13. Sejam ~u = (2, 4) e ~v = (−3, 5). Determine:
a. o produto escalar entre ~u e ~v.
b. o aˆngulo entre ~u e ~v.
1
14. Dados os vetores
~u = (2,−3, 1), ~v = (2, 2, 0) e ~w = (1,−3, 4).
Calcule:
a. ~u.~v e ~v.~u;
b. ~u× ~v e ~v × ~u;
c. (~u× ~v). ~w e ~u.(~v × ~w);
d. (~u× ~v)× ~w e ~u× (~v × ~w);
e. (~u× ~v)× (~u× ~w);
15. Calcule a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o:
a. A(0, 0, 0), B(2, 3, 0), C(0, 0, 5);
b. A(2,−1, 1), B(2, 1,−1), C(0, 3,−5);
16. Calcule o volume do paralelep´ıpedo definido pelos vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1, 3, 2), ~w =
(−1, 4,−3).
17. Verifique que:
a. ~u.(~v × ~w) = −~u.(~w × ~v);
b. ~u.(~u× ~v) = 0.
18. Mostre que |~u|2 + |~v|2 = |~u+ ~v|2 − 2~u.~v.
19. Determine o valor de α para que os vetores ~a = α~i+ 5~j− 4~k e ~b = (α+ 1)~i+ 2~j+ 4~k sejam
ortogonais.
20. Calcular o valor de m de modo que os vetores ~u = (1, 3,−1) e~v = (−2, 1,m + 1) formem
um aˆngulo de 120◦.
21. Determinar o valor de k de modo que os vetores ~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam:
a. paralelos b. ortogonais
22. Determinar um vetor unita´rio simultaˆneamente ortogonal aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v =
(2,−1, 3). Nas mesmas condic¸o˜es, determinar um vetor de mo´dulo 5.
23. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e A(2, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo
de a´rea
√
29
2 .
24. Sejam e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) e w = (x, y). Mostre que:
a. w = x.e1 + y.e2 b. w = (w.e1 + w.e2)
2