Lista_6_Mat2_2013-2_T02

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Prof.a Aline
6a Lista de Exerc´ıcios de Matema´tica II - 2013-2
1. Nos u´ltimos 4 anos, a secretaria de uma universidade compilou os dados a seguir
(em unidades de 1000) relativos ao nu´mero de cata´logos pedidos por estudantes do
ensino me´dio ate´ 1◦ de dezembro e ao nu´mero de pedidos de matr´ıcula recebidos
ate´ 1◦ de marc¸o:
Cata´logos pedidos 4,5 3,5 4,0 5,0
Pedidos de matr´ıcula 1,0 0,8 1,0 1,5
(a) Plote os dados em um gra´fico.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta de mı´nimos quadrados.
(c) Use a equac¸a˜o da reta obtida no item (b) para prever o nu´mero de pedidos de
matr´ıcula ate´ 1◦ de marc¸o se 4800 cata´logos forem pedidos ate´ 1◦ de dezembro.
2. Um fabricante compila os dados que aparecem na tabela a seguir, relativos ao n´ıvel
x de produc¸a˜o (em centenas de unidades) de uma certa mercadoria e ao prec¸o de
demanda p (em reais por unidade) para o qual todas as unidades sera˜o vendidas.
Produc¸a˜o x (centenas de unidades) 5 10 15 20 25 30 35
Prec¸o de demanda p (reais) 44 38 32 25 18 12 6
(a) Plote os dados em um gra´fico.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta de mı´nimos quadrados.
(c) Use a equac¸a˜o da reta obtida no item (b) para prever qual sera´ a receita do
fabricante se produzir 4000 unidades (x = 40).
3. No dia da eleic¸a˜o, a votac¸a˜o em um certo pa´ıs comec¸a as 8 h. A cada duas horas,
um membro da mesa verifica que porcentagem dos eleitores inscritos ja´ votou. Os
dados ate´ as 18 h sa˜o os seguintes:
Hora 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00
Comparecimento (%) 12 19 24 30 37
Chame de x o nu´mero de horas apo´s 8 h.
(a) Plote os dados em um gra´fico.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta de mı´nimos quadrados.
(c) Use a equac¸a˜o da reta obtida no item (b) para prever que porcentagem dos
eleitores inscritos tera´ votado ate´ as 20 h, hora de encerramento da votac¸a˜o.
1
4. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
∫
ln 2
0
∫
0
−1
2xey dx dy (d)
∫
1
0
∫
1−y
y−1
(2x + y) dx dy
(b)
∫
3
1
∫
1
0
2xy
x2 + 1
dx dy (e)
∫
1
0
∫
4
0
√
xy dy dx
(c)
∫
3
2
∫
2
1
x + y
xy
dy dx (f)
∫
e
1
∫
ln x
0
xy dy dx
5. Em cada item a seguir, use uma integral dupla para determinar a a´rea de R:
(a) R e´ a regia˜o do plano xy limitada por y =
1
2
x2 e y = 2x.
(b) R e´ a regia˜o do plano xy limitada por y = x2 − 4x + 3 e pelo eixo x.
(c) R e´ a regia˜o do plano xy limitada por y = ln x, y = 0 e x = e.
6. Em cada item a seguir, determine o volume do so´lido sob a superf´ıcie z = f(x, y)
e sobre a regia˜o R do plano xy dada:
(a) f(x, y) =
1
xy
; R : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3.
(b) f(x, y) = xe−y; R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
(c) f(x, y) = 2x + y; R e´ limitada por y = x, y = 2− x e y = 0.
7. Determine o valor me´dio da func¸a˜o f(x, y) = xy(x − 2y) na regia˜o R do plano xy
dada por −2 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 2.
8. Um fabricante estima que, quando x unidades de uma certa mercadoria sa˜o vendidas
no mercado interno e y unidades sa˜o exportadas, o lucro e´ dado por
P (x, y) = (x− 30)(70 + 5x− 4y) + (y − 40)(80− 6x + 7y) centenas de reais.
Se as vendas mensais no mercado interno variam entre 100 e 125 unidades e as
vendas mensais no exterior variam entre 70 e 89 unidades, qual e´ o lucro me´dio
mensal?
9. Uma placa fina de metal no plano xy e´ aquecida de tal forma que a temperatura
no ponto (x, y) e´ T oC, onde
T (x, y) = 10ye−xy.
Determine a temperatura me´dia em uma regia˜o retangular da placa para a qual
0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.
Gabarito:
1. (b) y = 0, 42x− 0, 71
(c) y = 1, 306, ou seja, havera´ 1306 pedidos de matr´ıcula.
2
2. (b) p = −1, 29x + 50, 71
(c) Como o prec¸o previsto e´ negativo, na˜o sera´ poss´ıvel vender as 4000 unidades por prec¸o algum.
3. (b) y = 3, 05x + 6, 10
(c) y = 42, 7, o que significa que 42,7% dos eleitores tera˜o votado.
4. (a) −1; (b) 4 ln 2 = ln 16; (c) ln 3; (d) 1
3
; (e)
32
9
; (f)
e
2 − 1
8
·
5. (a)
16
3
; (b)
4
3
; (c) 1.
6. (a) (ln 3)(ln 2); (b)
1
2
(
1− 1
e2
)
; (c)
7
3
·
7. Me´dia =
1
6
·
8. Me´dia = 24.896,5, ou seja, o lucro me´dio mensal e´ de R$ 2.489.650,00.
9. Temperatura me´dia =
5
2
(
1 + e−2
)
≈ 2, 84 oC.
3