Roteiro_5 (Célia)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
Campus de Bauru 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Matemática – Faculdade de Ciências 
Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 - Vargem Limpa – Bauru/SP - CEP 17033-360 
Fone: 14 3103-6086 – Fax: 14 3103-6096 - e-mail: matematica@fc.unesp.br - site: http://www.fc.unesp.br/deptos/dm/ 
 
Matemática Aplicada à Engenharia- 2
o
 Semestre de 2014 
Roteiro 5: Métodos de Substituição Para Obtenção das Soluções de Uma EDO 
 
Objetivos: Determinar as soluções de EDO Homogênea, de Bernoulli e Ricatti. 
 
1) Métodos de Substituição. 
 As EDO até o momento resolvidas foram equações separáveis ou lineares. Muitas 
aplicações envolvem equações diferenciais diferenciadas dessas. Tais equações podem ser 
transformadas em equações de variáveis separáveis ou lineares pela introdução de uma nova 
variável, metodologia essa denominada de método de substituição. 
 
Exemplo: Determine a solução da equação diferencial 
 23yx
dx
dy

. 
Seja v = x + y + 3. Daí, 
y = v - x - 3. 
 
Portanto, pela regra da cadeia: 
 
1
dx
dv
dx
dy

 (1) 
 
e então, a equação original é transformada na seguinte equação: 
 
1v
dx
dv 2 
. (2) 
 
A equação (2), na nova variável v é de variáveis separáveis: 
 
dx
1v
dv
2


. 
 
Sua solução é da forma: 
.Cvtg
1v
dv
x 1
2


 
 
 
Assim, 
v = tg(x - C). (3) 
 
Como v = x + y + 3, então: 
 
3x)Cx(tg)x(y 
 
 
é a família a um parâmetro de soluções da equação diferencial dada. 
 
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Questão: Como utilizar o método introduzido no exemplo anterior para a determinação de 
soluções de uma equação da forma 
)y,x(f
dx
dy

? 
 
De uma forma geral, dada a equação diferencial: 
 
)y,x(f
dx
dy

 (4) 
 
com variável dependente y e variável independente x, esta pode ser transformada em uma nova 
equação diferencial com a nova variável dependente v, mediante a substituição: 
 
)v,x(y 
. (5) 
 
Pela regra da cadeia, a derivada da função (5) em relação a x é: 
 
dx
dv
dv
)v,x(d
dx
)v,x(d
dx
dy 

. 
 
A substituição de (4) em (5), gera: 
 
 )v,x(,xf
dx
dv
dv
)v,x(d
dx
)v,x(d  
 (6) 
e então, 
 
dv
)v,x(d
dx
)v,x(d
)v,x(,xf
dx
dv


 

. (7) 
 
A nova equação diferencial (7) tem a forma normal: 
 
)v,x(g
dx
dv

 (8) 
 
sendo v a nova variável desconhecida. Caso (8) seja linear ou de variáveis separáveis, os 
métodos já vistos podem ser aplicados. 
 
Exemplo: A equação: 
y24y2 ex3
dx
dy
xe2 
 (9) 
 
não é linear, nem de variáveis separáveis. Fazendo v = e
2y
 essa equação pode ser transformada 
na EDO linear: 
 
.x3v
x
1
dx
dv 3
 (10) 
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De fato, como v = e
2y
 
.
dx
dy
e2
dx
dv y2
 (11) 
Mas da equação original (9): 
 
 
x2
1
e2
x3
dx
dy
y2
3

. (12) 
 
A substituição de (12) em (11) gera o resultado desejado, isto é: 
 
.x3v
x
1
dx
dv 3
 (12.1) 
 
Para determinar a solução geral da equação (10), tem-se que o fator integrante é: 
 









0 x se
x
1
-
0 x se
x
1
x
1
)x(
. 
 
Daí, a solução geral de (9) é dada por: 
 
.Cxxln
2
1
)x(y 4 
 
 
Observações: 
(1) A ideia para a escolha de uma substituição adequada é observar a EDO e ver se é possível 
detectar na equação a função e sua derivada. Por exemplo, na equação
y24y2 ex3
dx
dy
xe2 
, 
fazendo v = e
2y
, no lado esquerdo aparece sua derivada e no lado direito a própria função 
escolhida; 
 
(2) A equação 
 23yx
dx
dy

 ilustra o fato de que qualquer equação da forma: 
 cbyaxF
dx
dy

 ou 
 byaxF
dx
dy

 
 
pode ser transformada em uma equação de variáveis separáveis através da substituição: 
 
v = ax + by + c ou v = ax + by. 
 
Problema 1: Determinar a solução das equações diferenciais dadas: 
(a) 
  12yx1xy
dx
dy 

; 
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(b) 
  .0dydx1x4y 2 
 
 
2) Métodos de Substituição: A Equação Homogênea. 
 
 Considere uma EDO na forma normal 
)y,x(f
dx
dy

. Em algumas situações, f(x, y) pode 
ser expressa da seguinte forma: 






x
y
F)y,x(f
. 
 
Definição: Uma EDO na forma normal é dita homogênea se puder ser escrita na forma 






x
y
F
dx
dy . 
 
 Quando a EDO for homogênea, o método de substituição pode ser aplicado, tomando a 
seguinte substituição: 
x
y
v 
. 
 O processo de obtenção da solução é análogo aos casos anteriormente vistos. O método 
será ilustrado mediante o exemplo a seguir. 
 
Exemplo: A equação diferencial 
yx3
y3x
dx
dy



 é homogênea. 
 
De fato, como
yx3
y3x
)y,x(f



, então: 













x
y
F
x
y
3
x
y3
1
yx3
y3x
)y,x(f
. 
 
Para a determinação da solução da equação homogênea, basta fazer a substituição: 
 
x
y
v 
. (13) 
Daí, 
vxy 
 e: 
dx
dv
xv
dx
dy

. (14) 
Portanto, 
)v(Fv
dx
dv
x 
 e 
v)v(F
dx
dv
x 
, (15) 
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que é de variáveis separáveis. 
 
Exemplo: Resolva a equação diferencial 
22 y3x4
dx
dy
xy2 
. 
Tem-se que: 
 















x
y
2
3
y
x
2
xy2
y3x4
dx
dy 22
. 
 
Fazendo 
x
y
v 
, então: 
vxy 
 e 
dx
dv
xv
dx
dy

. 
Assim, 
 
v
2
3
v
2
dx
dv
xv 
, 
e portanto: 
 
v2
4v
2
v
v
2
dx
dv
x
2 

 
 
que é de variáveis separáveis. A solução dessa equação é: 
 
xxex4y 2C22 
. 
 
Problema 2: Determinar a solução das equações diferenciais: 
(a) 
 2
1
22 yxy
dx
dy
x 
, y(1) = 0; 
(b) 
yx3
y3x
dx
dy



; 
(c) 
2
2
x
xy2y
dx
dy 

; 
(d) 
yx
yx
ylnxln
dx
dy



; 
(e) 
2
3
x
xy2y
dx
dy 

. 
 
3) Métodos de Substituição: A Equação de Bernoulli. 
 
Definição: Uma equação diferencial é denominada equação de Bernoulli se tem a forma: 
 
 
ny)x(qy)x(p
dx
dy

. (16) 
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Quando n = 0 ou n = 1, (16) é uma equação linear. Caso contrário, a equação de Bernoulli é 
resolvida mediante a técnica da substituição. Basta efetuar a substituição: 
 
n1yv 
. (17) 
 
Essa substituição gera a equação linear: 
 
    )x(qn1v)x(pn1
dx
dv

. (18) 
 
Exemplo: A equação diferencial 
22 y3x4
dx
dy
xy2 
 é uma equação de Bernoulli. 
 
De fato, essa equação pode ser escrita na seguinte forma: 
 
1xy2y
x2
3
dx
dy 
, 
 
sendo 
y
x2
3
)x(p 
 e 
x2)x(q 
, n = -1 e (1 - n ) = 2. 
 
Problema 3: 
(a) Mostre que a substituição de 
n1yv 
 em (16), gera a equação linear (18); 
(b) Determine as soluções da equação diferencial 
ny)x(qy)x(p
dx
dy

 para n = 0 e n = 1; 
(c) Determine as soluções da equação diferencial 
22 y3x4
dx
dy
xy2 
. 
 
Problema 4: Determine as soluções das equações diferenciais dadas: 
(a) 
;
y
1
y
dx
dy
x
2

 
(b) 
   ;1yxy2
dx
dy
x13 32 
 
(c) 
3
4
xy3y6
dx
dy
x 
. 
 
4) Métodos de Substituição: A Equação de Ricatti. 
 
 Uma equação de Ricatti é uma equação da forma: 
 
)x(Cy)x(By)x(A
dx
dy 2 
. (19) 
 
Suponha que y1 seja uma solução particular conhecida da equação (19). 
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Problema 5: Mostre que a substituição 
v
1
yy 1 
transforma a equação de Ricatti na equação 
linear 
  AvAy2B
dx
dv
1 
. 
 
Problema 6: Use o método introduzido no problema 4 para achar as soluções das equações 
dadas. Suponha que y1 = x seja uma solução particular para cada uma delas. 
(a) 
22 x1y
dx
dy

; 
(b) 
22 yx1xy2
dx
dy

. 
 
5) Aplicação: Problemas Envolvendo Trajetórias de Voo 
 
 Suponha que um avião parte do ponto (a, 0) localizado a leste de seu ponto de destino, 
um aeroporto localizado na origem (0, 0), conforme a Figura 1. 
 
Figura 1: A rota percorrida pelo avião para chegar à origem. 
 
 Suponha que o avião viaja a uma velocidade constante vo relativa ao vento, que sopra na 
direção norte com velocidade constante w e que o mesmo esteja direcionado para a origem, 
como indicado na Figura 1. 
 As componentes da velocidade do avião em relação ao solo são, de acordo com a Figura 
2: 
22
o
o
yx
xv
cosv
dt
dx


 
, 
 
w
yx
yv
wsenv
dt
dy
22
o
o 


 
. 
 
 
Figura 1: As componentes do vetor velocidade do avião. 
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Portanto, a trajetória y = f(x) do avião satisfaz a EDO: 
 
 22o
o
yxwyv
xv
1
dx
dy

. (20) 
 
Fazendo 
ov
w
k 
, o qual expressa a razão entre as velocidades do vento e do avião, a equação (20) 
se expressa como: 
2
1
2
x
y
1k
x
y
dx
dy














, 
 
que é uma equação homogênea. Assim, a substituição y = vx, gera: 
 
 

.dx
x
k
2v1
dv
 
 
Por substituição trigonométrica, tem-se que a solução é dada por: 
 
  Cxlnk2v1vln  . 
 
A condição inicial: 
0
a
)a(y
)a(v 
 
 
implica que C = -klna. Assim, 



















 kk
a
x
a
x
2
1
v
. 
 
Como y = vx, a solução geral o problema da trajetória de voo é dada por: 
 



















 k1k1
a
x
a
x
2
a
y
. (21) 
 
Problema 7: 
(a) Analise a trajetória do avião para k > 1, k = 1 e k < 1; 
(b) Se a = 200 mi, vo = 500 mi/h, qual o desvio máximo que o avião sofre em sua viagem?