2014923_15842_AE_II-Resist%c3%aancia_dos_Materiais

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Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
 
. A determinação das reações vinculares e solicitações fundamentais 
(N, Q, M, T) só levavam em conta os vãos (comprimentos das barras), a 
vinculação e o carregamento das estruturas. 
 
. A Resistência dos Materiais se preocupa com o comportamento das 
diversas partes de uma estrutura sob a ação das solicitações. 
 
. Na Resistência dos Materiais leva-se em conta o tipo de seção e a 
capacidade do material de resistir esforços. 
 
. A carga limite de uma estrutura depende da capacidade de resistência 
do material. 
 
 
 
 CARGAS DIFUSÃO 
 EXTERNAS DOS 
 ATIVAS ESFORÇOS 
 
ESTRUTURA Æ Æ SOLICITAÇÕES Æ Æ PROJETO 
 CARGAS DEFOR- 
 EXTERNAS MAÇÕES 
 REATIVAS 
 Æ VERIFICAÇÃO 
 CAPACIDADE 
 LIMITE DE 
 RESISTÊNCIA 
 DO MATERIAL 
 
 
 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 2
Solicitações fundamentais em uma seção representam, fisicamente, o 
efeito da parte eliminada da estrutura sobre a parte conservada. 
 
 
TENSÕES 
Considera-se uma seção S em uma peça carregada. Um elemento de 
área ∆A corresponde um elemento de força →∆ F . 
 
 
 
Tensão média em ∆A: 
A
F
m ∆
∆=
→→ρ 
 
 
Tensão em um ponto: 
dA
Fd
A
F
A
→→
→∆ =⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
∆
∆
0
lim 
 
 
A tensão total 
→ρ pode ser decomposta segundo x, y e z ⇒ 
componentes ortogonais 
→σ , 
→
yτ , →zτ . 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 3
 
 
→→→→ ++= zy ττσρ 
 
→→→ += zy τττ 
 
→→→ += τσρ 
 
Notação: 
→ρ : tensão total em P; 
→σ : tensão normal em P, sua direção é normal a S, em P; 
→τ : tensão tangencial ou de cisalhamento em P, sua reta suporte está 
 contida em S, passando por P. 
 
Adota-se as tensões normal (
→σ ) e tangencial (→τ ). 
 
O interesse será no valor algébrico das tensões, isto é, módulo e 
sentido. A tensão é representada por um número (módulo) e um sinal 
(sentido), sem a notação vetorial. 
 
 
Em relação às tensões tangenciais, verifica-se o chamado Princípio da 
Reciprocidade, o qual pode ser enunciado como segue: 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 4
“Se em uma das faces de um diedro retângulo, existir uma tensão 
tangencial normal à aresta, então na outra face existirá também uma 
tensão tangencial normal a aresta. As duas tensões terão mesmo módulo 
e ambas se afastam ou se aproximam da aresta.” 
 
As tensões indicam a maneira como as solicitações se difundem nas 
diversas seções das peças carregadas. 
 
 
DEFORMAÇÕES 
Considera-se uma mola fixa a um suporte a qual sucessivamente 
suspendem-se cargas. A figura mostra o carregamento e o 
descarregamento sucessivo da mola. 
 
 
Em a a mola está descarregada, em b a carga P1 provocou a distensão d1, 
em c a carga P2 provocou a distensão d2, em d com a carga P1 a 
distensão foi d1 e, finalmente, em e a mola está novamente 
descarregada. 
 
As deformações (distensões) reversíveis: iguais no processo de carga e 
descarga. A deformação é proporcional a carga. 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 5
K
d
P
d
P === ..........
2
2
1
1 
Notação: 
K : constante da mola. 
 
 
Deformações reversíveis e proporcionais são chamadas de 
DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS. 
 
 
DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS: não são reversíveis e inexiste 
proporcionalidade entre as cargas e as respectivas deformações. 
 
 
Tensão limite de proporcionalidade é o limite elástico do material. 
 
 
Para diversos materiais o limite elástico ou o limite de 
proporcionalidade se caracteriza por uma tensão normal. 
 
 
Para um determinado aço a tensão normal limite de proporcionalidade é 
3.600 kgf/cm2 = 360 MPa, tensões maiores do que 3.600 kgf/cm2 
causam deformações plásticas. 
 
 
Os materiais, quando submetidos a carregamento, apresentam 
deformações elasto-plásticas. Em tensões reduzidas, o tipo elástico é 
predominante na deformação. Enquanto que com tensões elevadas, 
acima do limite elástico, há predominância do tipo plástico. 
 
 
Um elemento submetido a tensões normais alonga-se ou encurta-se. No 
caso do elemento estar submetido a tensões tangenciais diz-se que ele 
sofre uma distorção. 
 
 
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 alongamento ou encurtamento distorção 
 
 
 
DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL (ε) 
 
“Deformação específica longitudinal é a razão entre a deformação total 
(alongamento ou encurtamento) e o comprimento inicial, medido na 
mesma direção da deformação.” 
 
 
 TRAÇÃO COMPRESSÃO 
 
 alongamento encurtamento 
 σ > 0 σ < 0 
 
Alongamento total: ∆L = Lf – Li > 0 
 
Encurtamento total: ∆L = Lf – Li < 0 
 
Deformação específica longitudinal: 
iL
L∆=ε 
 
A deformação específica longitudinal é adimensional. No entanto, é 
muitas vezes expresso percentualmente, em taxa milesimal, ou em 
mm/m. 
 
 
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DISTORÇÃO ESPECÍFICA (γ) 
 
“Distorção específica (escorregamento específico) é a razão entre o 
deslocamento e o comprimento respectivo medido na direção 
perpendicular ao deslocamento.” 
 
 
 
 
Princípio da reciprocidade das τ 
AB Æ fixo 
 
AD
DD
BC
CCtg
''
==γ 
 
Campo das pequenas deformações: tg γ ≅ γ 
 
A distorção específica é avaliada pelo ângulo γ. O ângulo γ é a variação 
que sofreu o ângulo reto DÂB (ou ABC) devido à atuação das tensões 
tangenciais. 
 
A distorção específica é adimensional. No entanto, muitas vezes é 
expresso percentualmente, em taxa milesimal, ou em mm/m. 
 
 ⎧ σ 
 N, M ⎨ 
 ⎧ Tensões ⎩ ε 
Solicitações ⎨ 
 ⎩ Deformações ⎧ τ 
 Q, T ⎨ 
 ⎩ γ 
 
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LEI DE HOOKE (1678) 
“As tensões e as deformações específicas são proporcionais, enquanto 
não se ultrapassar o limite elástico.” 
 
Limite elástico: características mecânicas dos materiais determinadas a 
partir de ensaios de tração → gráfico σ x ε. 
 
tecons tan=ε
σ → E=ε
σ → εσ E= 
 
tecons tan=γ
τ → G=γ
τ → γτ G= 
 
Notação: 
E : módulo de deformação longitudinal; 
G : módulo de deformação transversal. 
 
As constantes E e G são características de cada material. Estas 
constantes são dimensionalmente iguais as tensões (kgf/cm2, MPa). 
 
Para o aço comum de construção: 
 
E = 2,1 x 106 kgf/cm2 = 2,1 x 105 MPa 
 
G = 8 x 105 kgf/cm2 = 8 x 104 MPa 
 
 
 
LEI DE POISSON 
Corresponde a deformação transversal que as peças carregadas sofrenas direções perpendiculares ao esforço. 
 
 
 
 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 9
 
 
 
Deformação específica longitudinal: 
L
L∆=ε 
 
Deformação específica transversal: 
b
b
a
a
t
∆=∆=ε 
 
Poisson concluiu que: 
1. as deformações específicas longitudinal e transversal são sempre de 
sinais contrários; 
2. as deformações específicas longitudinal e transversal são 
proporcionais; 
3. em uma mesma seção transversal a deformação específica 
transversal é constante. 
 
A conclusão 1 é evidente, a um alongamento longitudinal corresponde um 
encurtamento transversal. A um encurtamento longitudinal corresponde 
um alongamento transversal. 
 
Para: ε > 0 ⇒ εt < 0 
 
 ε < 0 ⇒ εt > 0 
 
De acordo com a conclusão 2: 
teconst tan=ε
ε → νε
ε −=t → νεε −=t 
Notação: 
ν : coeficiente de Poisson, o sinal negativo é devido à conclusão 1. 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 10
O coeficiente de Poisson é característico de cada material. Para o aço 
comum ν = 0,3. As constantes elásticas de um material são E, G e ν. Elas 
se relacionam pela expressão: 
 
 ( )ν+= 12
EG 
 
A conclusão 3 é evidenciada pela figura do prisma de base retangular. 
Antes da carga de tração axial as dimensões são: a, b e L. Após a 
deformação a dimensões passaram a ser: a - ∆a, b - ∆b e L + ∆L. A 
deformação específica transversal, na mesma seção é constante: 
 
 
b
b
a
a
t
∆=∆=ε 
 
 
 
ENSAIOS DE TRAÇÃO 
 
Características mecânicas dos materiais determinadas a partir de 
ensaios de tração → gráfico σ x ε. 
 
 
 
 ⎧ ⎧ com escoamento definido (gráfico a) 
 ⎪ dúcteis ⎨ 
 ⎪ ⎩ com escoamento convencional (gráfico b) 
 Materiais ⎨ 
 ⎪ 
 ⎪ frágeis (gráfico c) 
 ⎩ 
 
 
 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 11
 
MATERIAL DÚCTIL COM ESCOAMENTO DEFINIDO 
 
 
 
AB Æ reta Æ σ proporcional a ε Æ válida a lei de Hooke εσ E= Æ 
Æ E ≅ tg α = ε
σ 
 
pσ Æ tensão limite de proporcionalidade (a partir deste ponto a lei de 
Hooke não é mais válida) 
 
BC Æ curva Æ ε cresce mais rapidamente que no trecho AB e já 
ocorrem deformações plásticas Æ atinge eσ (tensão de escoamento) 
 
CD Æ escoamento = deformação aumenta e a tensão permanece 
constante Æ admite-se Le σσ = ( Lσ : tensão limite de resistência) 
 
D Æ deformações visíveis a olho nu, começa a ocorrer estricção até a 
ruptura do corpo Æ atinge Rσ (tensão de ruptura) Æ Rε (deformação 
de ruptura) 
 
 
As deformações são grandes antes da ruptura. 
 
 
 
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Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 12
 
MATERIAL DÚCTIL COM ESCOAMENTO CONVENCIONAL 
 
 
 
O escoamento inexiste. Neste caso define-se uma tensão convencional 
de escoamento que corresponde a uma deformação específica 
permanente, na descarga, de 2 o/oo. 
 
A tensão de escoamento ( eσ ) caracteriza a tensão limite de resistência 
( Lσ ) Æ Le σσ = 
 
Apresentam grandes deformações antes da ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 13
 
MATERIAL FRÁGIL 
 
 
As deformações anteriores à ruptura são pequenas. 
 
Admite-se a validade da lei de Hooke. 
 
LR σσ = , onde a tensão de ruptura caracteriza a tensão limite de 
resistência. 
 
Nos materiais dúcteis o escoamento ocorre com a mesma tensão, em 
módulo, tanto na tração como na compressão. 
Os materiais frágeis resistem diferentemente a tração ou a 
compressão. Geralmente a resistência à compressão é maior que a 
resistência à tração. Nestes materiais a tensão de ruptura por tração 
( Tσ ) é diferente, em módulo e sinal, da tensão de ruptura por 
compressão ( Cσ ). Assim os limites para os materiais frágeis são: 
 
TLT σσ = e CLC σσ = 
 
Como a tensão limite é obtida a partir das características de um corpo 
de prova extraído do material e ensaiado em laboratório, algumas 
incertezas mostram ser arriscado usar Lσ como a máxima tensão 
admissível do material. Alguns dos fatores são: 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 14
 
a. ausência de homogeneidade do material Æ o corpo de prova 
ensaiado é retirado de um lote e pode não ser totalmente 
representativo; 
b. incerteza no carregamento Æ as cargas de cálculo são estimadas, 
as cargas reais podem ser um pouco diferentes; 
c. incerteza nos cálculos Æ a maioria das fórmulas utilizadas são 
aproximadas; 
d. conformação e usinagem das peças Æ podem proporcionar 
dimensões menores que as calculadas, bitolas comerciais diferentes 
das planejadas, peças ligeiramente curvas ao invés de retilíneas. 
 
Devido a isto adota-se, na realidade, uma tensão menor que a tensão 
limite ( Lσ ) como a tensão máxima admissível ou tensão máxima de 
cálculo (σ ). Esta tensão é obtida introduzindo-se no cálculo um 
coeficiente de segurança s > 1, ou seja, divide-se a tensão limite Lσ por 
s. 
 
 
s
Lσσ = 
 
 
O coeficiente de segurança a ser utilizado depende do tipo de material 
e do uso da estrutura. Geralmente, o valor do coeficiente de segurança 
é estabelecido de acordo com as prescrições da ABNT. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 15
 
ESFORÇO NORMAL AXIAL 
 
As peças carregadas na figura a seguir indicam tração axial e 
compressão axial. 
 
 
 
Efetua-se um corte em uma seção genérica S, sendo eliminada a parte 
da direita. A fim de restabelecer o equilíbrio, em S, coloca-se a 
solicitação N ou as tensões normais σ. A área da seção reta é A. 
 
 
 
Uma condição de equilíbrio escrita na direção da carga P leva a: 
 
 ΣFx = 0 ∴ N = P 
 
 N = P = σA 
 
 
Desta maneira as tensões normais são calculadas, em função da 
solicitação, por: 
 
 
A
N=σ 
 
Esta expressão traduz uma distribuição uniforme de tensões nos 
pontos da seção S. 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 16
 
Então: 
N positivo Æ tração Æ sinal positivo para as tensões normais de tração 
 
N negativo Æ compressão Æ sinal negativo para as tensões normais de 
compressão 
 
Observa-se que não é válida a distribuição uniforme dada pela 
expressão 
A
N=σ onde houver concentração de tensões, isto é: 
 
• peças que apresentam variação brusca de seção; 
 
 
 
 
• peças com furos; 
 
 
 
 
• na zona de aplicação da carga. De acordo com St. Vènant, a 
distribuição uniforme de tensões pode ser admitida além de uma 
dimensão equivalente a maior dimensão da seção transversal. 
 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 17
 
No caso de peças comprimidascujo comprimento é muito maior do que 
as dimensões da seção transversais (peças esbeltas) pode ocorrer o 
fenômeno da instabilidade do equilíbrio (flambagem). Esta situação 
merece um estudo especial, não pode ser abordada com a expressão 
A
N=σ . 
 
 
 
PROJETO E VERIFICAÇÃO 
 
Em peças submetidas somente ao esforço normal axial, todas as seções 
estão em igual situação quanto ao colapso, assim como todos os pontos 
da seção. A análise de qualquer ponto da peça leva ao mesmo resultado. 
 
Então 
s
Lσσ ≤ , ou seja, a tensão em um ponto não pode ultrapassar a 
tensão limite de resistência do material. 
 
Como 
A
N=σ 
 
Tem-se 
A
N
s
L =σ , sendo eL σσ = Æ para material dúctil 
 TL σσ = ou Cσ Æ para material frágil 
 
Tensões e Deformações 
 
Análise Estrutural II - Profa Mirtes C. P. Ramires 18
Projeto: valores conhecidos Æ N, s e eσ (ou Tσ ou Cσ ) 
 valor obtido Æ A 
 
Verificação: valores conhecidos Æ N, A e eσ (ou Tσ ou Cσ ) 
 valor obtido Æ s 
A peça está em segurança se s ≥ 1. 
 
 
 
DEFORMAÇÕES 
 
Sendo um caso simples de tensões normais, a deformação específica 
longitudinal é calculada por aplicação da lei de Hooke. 
 
 
 
 
L
L∆=ε ou 
E
σε = 
 
então 
EL
L σ=∆ 
 
mas 
A
P
A
N ==σ 
 
logo 
EA
P
L
L =∆ 
 
assim o alongamento (ou encurtamento) total, é calculado por: 
 
EA
PLL =∆ 
 
Deformação transversal Æ aplicar a lei de Poisson: νεε −=t