matrizes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
FACULDADE DE MATEMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA
Disciplina: Algebra II
Coordenadora: Joelma Morback
Tutor: Márcio Almeida
Resolução Exercícios
1. Considere as matrizes A =
 1 2
3 4

, B =
 −1 3
4 −5
 .
Calcule
a) 3A− 2B,
b) −A+ 1
2
B,
c) 2AT −BT ,
d) A+ AT ,
e) B −BT .
Solução:
a)
3A− 2B = 3
 1 2
3 4
− 2
 −1 3
4 −5

=
 3 6
9 12
−
 −2 6
8 −10

=
 5 0
1 22

b)
−A+ 1
2
B = −
 1 2
3 4
+ 1
2
 −1 3
4 −5

=
 −1 −2
−3 −4
+
 −12 32
2 −5
2

=
 −32 −12
−1 −13
2

1
c)
2AT −BT = 2
 1 3
2 4
−
 −1 3
3 −5

=
 2 6
4 8
−
 −1 3
3 −5

=
 3 2
1 13

2. Determine matrizes A = (aij), B = (bij) e C = (cij) tais que
a) A é do tipo 4× 4 e
aij =

3i, i < j + 1,
i− j, i = j + 1,
2j, i > j + 1.
b) B é quadrada de quarta ordem e
bij = 2i− j2 + ij.
c) C = (ABT − 2BA)T −B.
Solução:
a)
A =

3.1 3.1 3.1 3.1
2− 1 3.2 3.2 3.2
2.1 3− 2 3.3 3.3
2.1 2.2 4− 3 3.4
 =

3 3 3 3
1 6 6 6
2 1 9 9
2 4 1 12

b)
B =

2.1− 12 + 1.1 2.1− 22 + 1.2 2.1− 32 + 1.3 2.1− 42 + 1.4
2.2− 12 + 2.1 2.2− 22 + 2.2 2.2− 33 + 2.3 2.2− 42 + 2.4
2.3− 12 + 3.1 2.3− 22 + 3.2 2.3− 32 + 3.3 2.3− 42 + 3.4
2.4− 12 + 3.1 2.4− 22 + 4.2 2.4− 32 + 4.3 2.4− 42 + 4.4

=

2 0 −4 −10
5 4 1 −4
8 8 6 2
11 12 11 8

2
c) Utilizando as propriedades relativas à transposição de matrizes podemos escrever a ex-
pressão (ABT − 2BA)T −B como:
(ABT − 2BA)T −B = (ABT )T − 2(2BA)T −B
= (BT )TAT − (2BA)T −B
= (BT )TAT − 2(BA)T −B
= BAT − 2(AB)T −B
= BAT − 2ATBT −B
Mas,
BAT =

2 0 −4 −10
5 4 1 −4
8 8 6 2
11 12 11 8


3 1 2 2
3 6 1 4
3 6 9 1
3 6 9 12
 =

−36 −82 −122 −120
18 11 −13 −21
72 104 96 78
126 197 205 177

2ATBT = 2

3 1 2 2
3 6 1 4
3 6 9 1
3 6 9 12


2 5 8 11
0 4 8 11
−4 1 6 11
−10 −4 2 8
 =

−44 26 96 166
−76 48 172 296
−80 80 256 424
−300 0 300 600

Assim,
C =

−6 −108 −214 −276
89 −41 −186 −313
144 8 −166 −348
415 185 −106 −431

3. Determine todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz
a 1 0
0 a 1
0 0 a

Sendo a um número real.
Solução: Seja A a matriz dada,e seja
B =

x y z
r t k
v u w

3
uma matriz de M2(R), tal que
AB = BA (1)
desse modo devemos ter
AB =

a 1 0
0 a 1
0 0 a


x y z
r at k
v u w
 =

xa+ r ay + t az + k
ar ++v at+ u ak + w
av au aw

e também
BA =

x y z
r at k
v u w


a 1 0
0 a 1
0 0 a
 =

ax x+ ay az + y
ar r + at ak + t
av v + au aw + u

segue de (1) 
ax x+ ay az + y
ar r + at ak + t
av v + au aw + u
 =

xa+ r ay + t az + k
ar ++v at+ u ak + w
av au aw

Sabemos que duas matrizes são iguais se e somente se, osseus elementos correspondentes tam-
bém o são. No entanto, para alcançarmos nossos objetivos basta trabalharmos com as seguintes
igualdades.
ax+ r = ax⇒ r = 0;
ar + v = ar ⇒ v = 0;
at+ u = at+ r ⇒ u = r = 0;
ay + t = ay + x⇒ x = t;
az + k = az + y ⇒ k = y;
ak + w = ak + t⇒ w = t = x.
Destes resultados podemos concluir que matrizes de ordem 3 que comutam com a matriz A são
da forma 
x y z
0 x y
0 0 x

4. Obter as matrizes A e B que satisfazem o sistema
2A+B =
 1 2 2
−2 1 0

4
A− 3B =
 −4 −3 −2
−1 0 −1

5. Supondo que A e B matrizes invertíveis, resolva para X equação matricial
2(AB−1)−1 +B2 = (X tBt)t
Agora, considerando as matrizes
A =

1 3 4
2 7 0
3 11 −3
 e B =

1 5 0
2 3 0
4 9 3
 ,
calcule a matriz X.
Solução: Utilizando as propriedades de transposição e inversão de matrizes podemos simpli-
ficar a igualdade acima:
2(AB−1)−1 +B2 = (X tBt)t
2(B−1)−1A−1 +B2 = (Bt)t(X t)t
2BA−1 +B2 = BX
B(2A−1 +B) = BX
B−1B(2A−1 +B) = B−1BX
2A−1 +B = X
Devemos calcular a inversa da matriz A. Escrevedo na forma escalonada, temos
1 3 4 | 1 0 0
2 7 0 | 0 1 0
3 11 −3 | 0 0 1
 L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 3L1
∼

1 3 4 | 1 0 0
0 1 −8 | −2 1 0
0 2 15 | −3 0 1

L1 ← L1 − 3L2
L3 ← L3 − 2L2

1 0 28 | 7 −3 0
0 1 −8 | −2 1 0
0 0 1 | 1 −2 1
 L1 ← L1 − 28L3L2 ← L2 + 8L3 ∼

1 0 0 | −21 53 −28
0 1 0 | 6 −15 8
0 0 1 | 1 −2 1

5
Assim, A−1 =

−21 53 −28
6 −15 8
1 −2 1
 e finalmente,
X = 2A−1 +B =

−41 111 −56
14 27 16
6 5 5

6. Considere B =

3 −1 2
2 1 1
λ −1 2
.
a) Determine o(s) valor(es) de λ para os quais B é singular (não invertível).
b) Para λ = 2 calcule B−1 e resolva
BX =

0
0
1
 .
Solução:
a) Uma matriz é dita singular quando não é inversível, ou equivalentemente, seu determinante
é igual a zero.
Usando a regra de Sarrus, tem-se |B| = 6− λ− 4− (2λ− 3− 4)
logo, para que B seja singular devemos ter
−3λ− 9 = 0⇔ λ = 3
b) Substituindo λ = 2 e escrevendo B na forma esquemática segue-se
3 −1 2 | 1 0 0
2 1 1 | 0 1 0
2 −1 2 | 0 0 1
 L1 ↔ L3 ∼

2 −1 2 | 0 0 1
2 1 1 | 0 1 0
3 −1 2 | 1 0 0
 L1 ← 12L1 ∼

1 −1
2
1 | 0 0 1
2
2 1 1 | 0 1 0
3 −1 2 | 1 0 0
 L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 3L1
∼

1 −1
2
2
3
| 1
3
0 0
0 2 −1 | 0 1 −1
0 1
2
−1 | 1 0 −3
2

L3 ← 2L3
6

1 −1
2
2
3
| 1
3
0 0
0 2 −1 | 0 1 −1
0 1 −2 | 2 0 −3
 L1 ← L1 +
1
2
L3
L2 ← L2 − 2L3
∼

1 0 0 | 1 0 −1
0 0 3 | −4 1 5
0 1 −2 | 2 0 −3
 L2 ← 13L2

1 0 0 | 1 0 −1
0 0 1 | −4
3
1
3
5
3
0 1 −2 | 2 0 −3

L3 ← L3 + 2L2
∼

1 0 0 | 1 0 −1
0 0 1 | −4
3
1
3
5
3
0 1 0 | −2
3
2
3
1
3
 L2 ↔ L3

1 0 0 | 1 0 −1
0 1 0 | −2
3
2
3
1
3
0 0 1 | −4
3
1
3
5
3

7. Determine os valores de a, b, c, d e e para que a matriz
A =

2a− 1 a− b a+ 2b
5 d2 + c 3c
−23
2
4 e+ 1

seja antisimétrica.
Solução: Sendo A a matriz anti-simétrica temos que AT = −A, ou seja,
2a− 1 a− b a+ 2b
5 d2 + c 3c
−23
2
4 e+ 1
 = −

2a− 1 5 −23
2
a− b d2 + c 4
a+ 2b 3c e+ 1

Essa igualdade de matrizes gera os seguintes sistemas:
2a − 1 = −2a + 1
a − b = −5
a + 2b = 23
2
d2 + c = −d2 − c
3c = −4
e + 1 = −e − 1
Resolvendo cada um deles, temos a = 1
2
, b = 11
2
, c = −4
3
, d = ±
√
4
3
e e = −1.
7
8. Suponha que
A+B =

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 .
Determine A e B considerando que A é antisimétrica e que B é simétrica.
Solução: Sendo A uma matriz anti-simétrica (AT = −A) e B uma matriz simétrica (BT = B)
ambas de ordem 3, podemos concluir que a forma geral das matrizes A e B.
A =

0 q r
−q 0 u
−r −u 0

B =

a b c
b e f
c f i

Onde a, b, c, d, e, f, r, q e u são números reais.
Como
A+B =

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 .
resulta que 
a q + b r + c
−q + b e u+ f
−r + c −u+ f i
 =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Resolvendo a igualdade temos que a = 1, b = 3, c = 5, e = 5, f = 7, i = 9, q = −1, r = −2 e
u = −1
Potanto,
A =

0 −1 −2
1 0 −1
2 1 0

e 
1 3 5
3 5 7
5 7 9

8