P2 - TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR

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TORÇÃO DE BARRA CIRCULAR 
 
1. Descrição geométrica da deformação de uma barra circular sujeita a torção. 
 
Seja uma barra de seção transversal circular variável de raio r(x) submetida a um 
carregamento t(x) de torção genérico, também variável, segundo a figura 1. Uma barra 
carregada desse modo está sob torção pura. Pode-se demonstrar, por considerações de 
simetria, que cada seção circular transversal da barra gira como um corpo rígido, sem se 
deformar, em torno do eixo longitudinal. Portanto, a única deformação que ocorre se deve à 
rotação que uma seção transversal experimenta em relação à seção transversal vizinha. A 
figura 2 apresenta um elemento infinitesimal desta barra, cortado por dois planos transversais 
ao eixo, separados de uma distância infinitesimal dx entre si. Este elemento infinitesimal da 
barra, situado a uma distância x da origem, está submetido à ação do torque T(x). Este torque 
provoca uma rotação dφ entre as seções extremas do elemento e, como conseqüência, a 
distorção γ de um elemento infinitesimal retangular abcd (tracejado na figura), que dista ρ do 
eixo da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se na figura, para o triângulo bab’, que 
 dxbb' γ= (1) 
Por outro lado, para o triângulo bob’, tem-se também que 
 φρ= dbb' (2) 
Estas duas equações fornecem a equação de compatibilidade geométrica da deformação de 
uma barra circular submetida a torção: 
 
dx
dφρ=γ (3) 
ou, na forma equivalente: 
dx 
x 
Figura 1 
t(x) 
dφ b 
o 
a γ 
b’ 
dx 
ρ 
r(x) 
T(x) 
T(x) 
c d 
Figura 2 
γmax 
L 
c’ 
x 
 2 
 dxd ρ
γ=φ (4) 
Como tanto dφ quanto dx são grandezas que independem da distância ρ, a equação acima 
fornece que a deformação de distorção γ de um elemento infinitesimal é diretamente 
proporcional à distância ρ deste elemento ao eixo longitudinal da barra. Em outras palavras, a 
relação γ/ρ é uma constante da seção transversal da barra, cujo valor será determinado mais 
adiante. Numa seção transversal, a distorção γ será máxima para ρ = r. 
 Caso se queira calcular o ângulo total φ de rotação relativa entre duas seções circulares 
que distam L entre si, tem-se da segunda forma da equação (3): 
 dx
L
⌡
⌠
ρ
γ=φ (5) 
Se a relação γ/ρ independer da variável x, a equação acima se reduz a 
 Lρ
γ=φ (6) 
Esta equação é muito particular e não tem grande interesse. Mas as equações (3) (4) e (5) são 
importantes e devem ser bem compreendidas pelo aluno. 
 
2. Equações de equilíbrio de uma barra circular sujeita a torção 
 
 Em primeiro lugar, deve-se determinar o valor do torque T(x) que age numa seção x 
da barra circular. Na figura 1, por exemplo, considerando-se L o comprimento total da barra, 
este torque deve ser obtido por integração do torque distribuído t(x) que age entre a seção x e 
a extremidade da barra: 
 ∫= Lx dx)x(t)x(T (7) 
Normalmente o torque é aplicado em 
certos pontos da barra, e não da maneira 
distribuída mostrada na figura 1. Neste 
caso, o valor do torque T(x) será 
constante por trechos. 
 Uma vez conhecido o valor do 
torque que atua numa seção x, pode-se 
estabelecer a equação de equilíbrio entre 
este torque e a tensão de cisalhamento τ 
que age num elemento infinitesimal de 
área θρρ dd , conforme se mostra na 
figura 3. A força infinitesimal τ θρρ dd 
(tensão vezes área), multiplicada pelo 
braço de alavanca ρ, exerce um torque 
infinitesimal em relação ao eixo da 
barra. Integrando-se este torque 
infinitesimal por toda a área deve-se 
encontrar o valor T(x) total do torque 
que atua na seção: 
 
o 
dx 
ρ 
r(x) 
T(x) 
T(x) Figura 3 
dθ 
ρdθ 
dρ 
τ 
 3 
 ρτρπ=ρ⌡
⌠ 

 θτρ= ∫∫ π d2dd)x(T )x(r0 2
)x(r
0
2
0
2 (8) 
Esta é a equação de equilíbrio entre tensão de cisalhamento e torque, que atuam numa seção. 
Para que esta equação tenha utilidade, é preciso conhecer como a tensão de cisalhamento 
varia em função de ρ. Para isto, deve-se estabelecer uma relação entre a tensão de 
cisalhamento τ e a distorção γ que ocorre numa seção x a uma distância ρ do eixo 
longitudinal. 
 
3. Relação entre tensão e deformação de cisalhamento no regime elástico 
 
Esta relação entre τ e γ já foi estudada neste curso para materiais elásticos, e vale: 
 τ = Gγ (9) 
em que G é o módulo de elasticidade transversal do material. 
 
4. Relação entre torque e rotação da seção transversal de uma barra circular 
 
A equação geral de torção de uma barra circular é obtida pela combinação das três 
equações básicas (4), (8) e (9) apresentadas nos itens anteriores. 
Inicialmente, introduz-se a equação (9) na equação de equilíbrio (8): 
 ργρπ= ∫ dG2)x(T )x(r0 2 (10) 
Em seguida, introduz-se nesta equação o valor de γ dado na equação (4): 
 ρρφπ= ∫ ddxdG2)x(T
)x(r
0
3 (11) 
Mas a relação diferencial 
dx
dφ é uma característica da seção, sendo portanto independente do 
raio ρ. Portanto, pode-se escrever a equação (11) na forma 
 
dx
ddG2)x(T
)x(r
0
3 φρρπ= ∫ (12) 
ou na forma equivalente 
 
ρρπ
=φ ∫ dG2
)x(T
dx
d
)x(r
0
3
 (13) 
A segunda forma da equação acima permite obter a rotação relativa entre duas seções a uma 
distância L entre si, como se mostra na figura 1. Nesta figura, como a seção para x = 0 está 
engastada (φ0 = 0), a rotação para x = L será obtida de 
 dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
30LL ⌡
⌠
ρρπ
=φ−φ=φ ∫ (14) 
 
 
 
 4 
5. Relação entre torque e tensão de cisalhamento numa seção transversal 
 
Aplicando as equações (9), (4) e (13), pode-se escrever a seguinte expressão para a tensão de 
cisalhamento, como função das coordenadas x e ρ: 
 
ρρπ
ρ=φρ=γ=τ ∫ dG2
G)x(T
dx
dGG )x(r
0
3
 (15) 
Vê-se que, para um dado valor de G, a tensão de cisalhamento é proporcional à distância ρ de 
um ponto ao eixo longitudinal. Portanto, a tensão máxima de cisalhamento numa seção x é 
dada por 
 
ρρπ
=τ ∫ dG2
)x(rG)x(T
)x(r
0
3max
 (16) 
 
6. Resumo das equações gerais do problema de torção em barras circulares 
 
Equação de compatibilidade geométrica 
dx
dφρ=γ ⇔ dxd ρ
γ=φ 
Relação tensão - deformação τ = Gγ 
Equação de equilíbrio entre torque e tensão de 
cisalhamento ρτρπ= ∫ d2)x(T )x(r0 2 
Rotação relativa entre duas seções 
transversais dx
dG2
)x(T
L
0
)x(r
0
30L ⌡
⌠
ρρπ
=φ−φ ∫ 
Tensão de cisalhamento num ponto qualquer 
ρρπ
ρ=ρτ ∫ dG2
G)x(T),x( )x(r
0
3
 
 
7. Caso particular: G é constante em toda uma seção 
 
Caso o módulo de elasticidade transversal G seja constante numa dada seção, a integral 
ρρ∫ dG)x(r0 3 que aparece na equação (11) pode ser escrita na seguinte forma simplificada: 
 GJ
2
rGdG2dG2
4)x(r
0
3)x(r
0
3 ≡π=ρρπ=ρρπ ∫∫ 
onde 
2
rJ
4
π= se denomina o momento polar de inércia da seção circular de raio r. 
Com isto, tem-se a expressão simplificada da tensão de cisalhamento em função do torque, 
em lugar da equação (15): 
 
J
)x(T),x( ρ=ρτ (15a) 
e a expressão simplificada para a rotação relativa entre duas seções, em lugar da equação (14): 
 dx
JG
)x(TL
0
0L ⌡
⌠=φ−φ (14a) 
 5 
8. Caso particular: Tanto o torque T quanto o raio r são constantes 
 
Neste caso, a equação (14) se simplifica para a expressão 
 
ρρπ
=φ−φ ∫ dG2
LT
r
0
30L
 (14b) 
9. Caso particular: G é constante em toda a seção, T e r são constantes ao longo do 
comprimento 
 
Este é o caso mais simples de todos. A equação (14) passa a ter a expressão 
 
JG
LT
0L =φ−φ (14c) 
Para o caso de T, G e J serem constantes por trechos, esta equação se expressa 
 ∑=φ−φ=φ∆
i ii
ii
0L JG
LT (14d) 
 
Exemplo 9.1 [2] 
Um eixo vertical AD está engastado a uma 
base fixa D e submetido aos torquesindicados. A 
porção CD do eixo tem seção transversal vazada de 
44 mm de diâmetro interno. Sabendo-se que o eixo 
é feito de aço, com módulo de elasticidade 
transversal G = 80 GPa, calcular o ângulo de torção 
no ponto A. 
 
Solução. O eixo é constituído de três partes, onde 
cada uma delas tem seção transversal uniforme e 
resiste a um torque constante. Pode-se usar a 
equação (14d) para valores constantes trecho a 
trecho. 
 
Condições da estática. 
Para aplicação da equação (14d), é preciso 
determinar o valor do torque T em cada trecho do 
eixo (ver figura abaixo). Cortando o eixo por uma 
seção entre A e B, o diagrama de corpo livre mostra 
que 
ΣMy = 0; (250 N.m) – TAB = 0 TAB = 250 N.m 
Passando agora uma seção entre os pontos B e C, 
tem-se 
ΣMy = 0; (250 N.m) + (2000 N.m) – TBC = 0 
TBC = 2250 N.m 
Como não existe torque aplicado em C, 
TCB = TBC 0 TBC = 2250 N.m 
 
Dumont
Rectangle
 6 
Momentos polares de inércia 
JAB = 
2
π c4 = 
2
π (0,015 m)4 = 0,0795 x 10-6 m4 
JBC = 
2
π c4 = 
2
π (0,030 m)4 = 1,272 x 10-6 m4 
JCD = 
2
π (c24 – c14) = 
2
π [(0,030 m)4 - (0,022 m)4]= 
0,904 x 10-6 m4 
 
Ângulo de torção. 
Usando a Equação (14d) e lembrando que G =80 GPa, tem-se 
 φΑ = ∑
i i
ii
GJ
LT = 
G
1 (
AB
ABAB
J
LT + 
BC
BCBC
J
LT + 
CD
CDCD
J
LT ) 
 φΑ = 
GPa80
1 [ ( )( )46 m100795,0
m4,0Nm250
−× + 610272,1
)2,0)(2250(
−× + 610904,0
)6,0)(2250(
−× ] 
 φΑ = 0,01572 + 0,00442 + 0,01867 
Portanto, φΑ = 0,0388 radianos = 2,220 
 
10. Torção de barra circular vazada 
 
O valor da tensão de cisalhamento numa barra de seção circular, como foi visto, varia 
proporcionalmente com o raio. Em conseqüência, grande parte do material trabalha com 
tensões bem inferiores à admissível. Se a redução de peso e a economia de material forem 
fatores importantes, é aconselhável usar eixos vazados. 
Seja um eixo circular vazado, de raio interno ri e raio externo re, composto de um 
único material. Neste caso, o momento polar de inércia J é dado por 
 ( )4i4err 3 rr2d2J ei −π=ρπρ= ∫ (17) 
Se o eixo tiver uma espessura de parede t = re – ri muito pequena, isto é, se re ≈ ri ≈ r tal que t 
<< r, a expressão do momento polar de inércia acima se reduz a 
 tr2d2d2J 3
t/2r
t/2r
3r
r
3e
i
π≈ρπρ=ρπρ= ∫∫ +− (18) 
Exemplo 10.1 [P2 99.1] 
 Calcular o valor máximo do torque T que o eixo composto de aço e alumínio pode 
suportar, sabendo que a tensão máxima admissível do aço é τadmaço = 300 MPa, a tensão 
máxima admissível do alumínio é τadmal = 200 MPa e o ângulo máximo de rotação da 
extremidade livre é φadm = 0,1 radianos. Os módulos de elasticidade transversal do aço e do 
alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal = 28 GPa. 
 
 
 
 
Dumont
Rectangle
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se determinar T de tal modo que: 
Tensão máxima no aço: τ
π π
τmáxaço aço
al aço
adm
aço
TG d
G d G
d d
=
+ −
≤
2
1
4
2
4
1
4
2
32 32
c h 
Tensão máxima no alumínio: τ
π π
τmáxal al
al aço
adm
al
TG d
G d G
d d
=
+ −
≤
1
1
4
2
4
1
4
2
32 32
c h 
Rotação da extremidade livre: φ
π π π
φ=
+ −
+ ≤Ta
G d G
d d
Tb
G d
al aço aço
adm
1
4
2
4
1
4
2
4
32 32 32
c h 
Tem-se: d1:= 0,008 m; d2:= 0,01 m; a = 0,4 m; b = 0.5 m; τadmaço = 300 MPa; τadmal = 200 MPa; 
φadm = 0,1 radianos; Gaço = 84.000 MPa e Gal = 28.000 MPa. 
Substituindo todos estes valores nas desigualdades acima, encontra-se: 
• Tensão máxima no aço: τmáxaço = ≤7.006.087 T MPa MPa300 
• Tensão máxima no alumínio: τmáxal = ≤1.868.289 T MPa MPa200 
• Rotação da extremidade livre: φ = ≤12735 T radianos radianos0 1, 
Ou seja, T deve satisfazer as seguintes desigualdades: 
• T 
. .
 MNm 0,0428 kNm = 42,8 Nm≤ ≈300
7 006 087
 
• T 
. .
 MNm 0 kNm = 107 Nm≤ ≈200
1868 289
1070, 
• T 
12735
 MNm = 0,00785 kNm = 7,85 Nm≤ 0 1, 
 Portanto, Tmáx = 7,85 Nm. 
 
11. Projeto de eixos de máquinas 
 
Nos projetos de máquinas, o diâmetro do eixo é normalmente calculado a partir da 
potência que deve ser transmitida. A unidade de potência é o watt W, que equivale a um joule 
J (trabalho) por segundo, ou seja, um N.m/s. Um torque T (N.m) realiza um trabalho igual a 
2πT a cada giro de um eixo. Se o eixo dá n voltas por segundo (freqüência de n hertz), a 
potência correspondente é igual a 2πnT watt (trabalho realizado por segundo). 
Seja P a potência de um motor em watt. O torque T que o motor exerce sobre um eixo 
é tal que 
d2 = 10 mm d1 = 8 mm (alumínio) (aço) 
T 
a = 400 mm b = 500 mm 
J = πd
4
32
ρρπ
=φ ∫ dG2
)x(T
dx
d
)x(r
0
3
 
ρρπ
ρ=τ ∫ dG2
G)x(T
)x(r
0
3
 
 8 
 P = 2πnT (19) 
de onde se obtém que 
 Nm
2
PT
nπ= (20) 
Uma vez conhecido o torque exercido pelo motor, segundo a fórmula acima, pode-se 
dimensionar o eixo, escolhendo-se um diâmetro adequado em função da tensão máxima 
admissível para o material. 
No cálculo do torque exercido por um motor, deve-se prestar atenção às unidades 
usadas para expressar a potência do motor e sua velocidade de rotação. Muitas vezes se 
expressa a potência em hp (“horse power”, equivalente a 745,7 W) ou cv (“cavalo vapor”, 
equivalente a 735,5 W). A velocidade também costuma ser expressa em rpm (rotações por 
minuto). 
 
Exemplo 11.1 
Por exemplo, uma furadeira Bosch caseira tem uma potência de 400 W e trabalha a 
2800 rpm e 1600 rpm. Para a velocidade de 1600 rpm, o torque transmitido é 
 Nm2,39
60/16002
400T ≈π= 
Para a velocidade de 2800 rpm, o torque transmitido é 
 Nm1,36
60/28002
400T ≈π= 
Vê-se que o torque é tão maior quanto menor for a velocidade do motor, para uma potência 
constante. 
Uma broca tem forma helicoidal, sendo muito difícil calcular exatamente a tensão 
máxima provocada pelo torque. Supondo, no entanto, que o raio da seção útil de uma broca 
seja r = 2 mm, por exemplo, pode-se calcular a tensão máxima de cisalhamento causada pelo 
torque T = 2,39 Nm: 
 MPa2,190
2/002,0
2,39x0,002
2/r
Tr
44max ≈π=π=τ 
uma tensão bem alta, mas que pode ser suportada por um aço de alta resistência. 
 
Exemplo 11.2 
Um ventilador de teto comum tem uma potência de 1/6 hp e gira a uma velocidade 
máxima de 420 rpm. Nesta velocidade, o torque transmitido pelo motor é 
 Nm82,2
60/4202
1/6x746T ≈π= 
Um tubo vazado de raio externo r = 0,8 cm e espessura t = 1 mm tem uma tensão máxima 
 MPa45,8
2/007,02/008,0
2,82x0,008
2/t)-r(2/r
Tr
4444max ≈π−π=π−π=τ 
um valor bem baixo, que é resistido mesmo por um material do tipo PVC. 
 
 
 
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle
 9 
12. Tubos de paredes finas 
 
A teoria apresentada até agora se aplica exclusivamente a eixos de seção transversal 
circular. No caso de tubos de paredes finas, porém, pode-se desenvolver uma teoria simples 
que se aplica a seções fechadas de forma qualquer, não necessariamente circular. 
A figura 4a apresenta o esquema das solicitações num segmento de tubo obtido por 
dois cortes perpendiculares ao eixo longitudinal e distantes dx entre si. Seja t a espessura do 
tubo, não necessariamente constante ao longo da circunferência, porém sempre 
consideravelmente menor que o raio de curvatura do tubo. Neste caso, pode-se supor que as 
tensões de cisalhamento τ que atuam na seção transversal sejam aproximadamente constantes 
através da espessura, embora variáveis ao longo da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.1 Tensões num tubo de parede fina 
Para investigar como as tensões variam ao longo da circunferência, considere-se o 
segmento de tubo da figura 4b, obtido da figura 4a pelos cortespor meio de dois planos 
paralelos ao eixo longitudinal x e que contenham os raios de curvatura de dois pontos 
arbitrários da circunferência do tubo. A espessura do tubo no corte 1 é t1. No plano deste corte 
age uma tensão de cisalhamento τ1. Similarmente, age uma tensão de cisalhamento τ2 no corte 
2, em que a espessura do tubo é t2. As resultantes das forças de cisalhamento que agem nos 
cortes 1 e 2 são 
 F1 = τ1t1dx e F2 = τ2t2dx (21) 
respectivamente. Como o somatório das forças na direção x tem que ser nulo, resulta que 
 τ1t1 = τ2t2 (22) 
Vê-se que o valor da tensão de cisalhamento num ponto da seção transversal é inversamente 
proporcional a sua espessura. De maneira geral, pode-se escrever 
 f = τt = constante (23) 
para um ponto qualquer da seção transversal, em que f é o fluxo de cisalhamento que atua na 
seção transversal submetida a torção. Este fluxo é uma força de cisalhamento por unidade de 
comprimento que atua no plano da seção transversal, ao longo de toda a circunferência, 
sempre com direção tangente à linha média da circunferência. 
dx 
T(x) 
T(x) 
x 
τ 
Figura 4a 
t1 
t2 
dx 
τ 
τ2 
τ1 
Corte 1 
Corte 2 
Figura 4b 
 10 
O valor do fluxo de cisalhamento f, por sua vez, pode ser calculado em função do 
torque T aplicado à seção. Considere-se um elemento infinitesimal da seção transversal, de 
comprimento ds e espessura t, conforme a figura 5. A força total de cisalhamento que atua 
neste elemento vale f.ds = τ.t.ds e exerce um momento em relação ao eixo longitudinal do 
tubo que, integrado ao longo de toda a circunferência, deve equivaler ao torque aplicado: 
 ∫=
mC
rdsT f (24) 
em que r é a distância do eixo longitudinal (ponto O na figura 5) à tangente à linha média da 
parede do tubo e Cm é o perímetro médio da seção do tubo que se está considerando. Esta 
integral pode ser obtida por simples interpretação geométrica. A quantidade r.ds é o produto 
da base ds pela altura do triângulo de vértice O evidenciado na figura 5, ou seja, é o dobro de 
sua área. Portanto, tem-se da última equação que 
 T = 2fAm (25) 
em que Am é a área limitada pela linha média da parede do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se assim a expressão da tensão de cisalhamento que age num ponto da parede do tubo: 
 
t2A
T
t m
==τ f (26) 
Esta expressão é válida para tubos de seção transversal variável ao longo do eixo longitudinal 
x, submetidos a torque T também variável. 
 
12.2 Rotação entre duas seções de um tubo de parede fina 
A rotação relativa dφ entre duas seções transversais distantes dx entre si, conforme a 
figura 4a, também pode ser obtida, como se mostra a seguir. O trabalho infinitesimal que o 
torque T realiza sobre a rotação relativa dφ entre duas seções é expresso por 
 dΠ = T. dφ (27) 
Medido em termos de tensões, este mesmo trabalho tem que ser igual a 
 dxdstd
mC


 τγ=Π ∫ (28) 
em que Gτ=γ é a distorção por cisalhamento de um elemento infinitesimal de volume dv = 
t.ds.dx. 
Comparando as duas expressões acima, substituindo a expressão de γ por τ/G e de τ 
pelo resultado da equação (26), obtém-se 
O 
ds 
r t 
Figura 5 
 11 
 
dx
t
ds
G4A
TTddxdst
Gt4A
TTd
dxdst
G
TddxdstTd
mm
m
m
C
2
m
2
C
22
m
2
C
2
C
⌡
⌠=φ⇒



⌡
⌠=φ⇒
⇒


⌡
⌠ τ=φ⇒

 τγ=φ ∫
 (29) 
para um módulo de elasticidade transversal G constante ao longo da circunferência. 
Da expressão acima tem-se, finalmente, 
 dx
t
ds
4AG
Tdx
t
ds
G4A
Td
m
m
C
2
mC
2
m
⌡
⌠
≡⌡
⌠=φ (30) 
ou 
GJ
dxTd =φ (31) 
em que 
⌡
⌠≡
mC
2
m
t
ds
4AJ é a constante de torção da seção transversal do tubo de parede fina, 
equivalente, no caso de barras circulares, cheias ou vazadas, ao momento polar de inércia. 
A rotação relativa entre duas seções distantes L entre si é dada por integração: 
 ⌡
⌠=φ−φ
L
0L GJ
dxT (32) 
em que T, G e J podem ser variáveis em x. 
Quando a espessura t é constante, a expressão de J se reduz a 
 
m
2
m
C
t4AJ = (33) 
Para um tubo circular de parede fina, esta expressão se reduz à equação (18). 
 
13. Torção em barras de seção não-circular 
 
As fórmulas deduzidas até aqui, para a determinação das tensões e a rotação relativa 
entre duas seções transversais, são válidas apenas se as seções circulares cheias ou vazadas, 
conforme os itens 1 a 11, ou no caso de tubos de parede fina em que se possa determinar um 
fluxo de tensões, conforme o item 12. 
Para uma seção transversal de forma arbitrária, o estabelecimento das equações de 
equilíbrio é bastante complexo, demandando uma teoria que está além dos objetivos deste 
curso. Por conveniência, indicam-se a seguir alguns resultados da teoria da elasticidade, para 
barras seção transversal constante de forma retangular, feitas de um único material, conforme 
a figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
τmax 
T T 
a 
b 
Figura 6 
 12 
Para uma seção retangular cheia de lado maior a e lado menor b, submetida a um 
torque T, a tensão máxima ocorrerá ao longo da linha central da face mais larga, dada por 
 2max ab
T
α=τ (34) 
em que α é um coeficiente obtido na tabela a seguir, em função de a e b. As tensões são 
menores ao longo da linha central da face mais estreita e nulas ao longo dos vértices. 
Para o ângulo de rotação relativa entre duas seções que distam L entre si, tem-se 
 
Gab
TL
30L β=φ−φ (35) 
Tabela para obtenção dos coeficientes α e β para as equações (34) e (35) 
a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 ∞ 
α 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333 
β 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333 
 
Para valores em que b << a, as equações (34) e (35) são aproximadamente válidas mesmo se a 
seção transversal não for retangular. 
 
Exemplo 13.1 
 Um exemplo interessante consiste na comparação da resistência à torção de um tubo 
de seção transversal circular de parede fina com outro de mesma seção transversal, mas aberta 
longitudinalmente, conforme se ilustra na figura 7. Os tubos têm comprimento L, raio r, 
espessura t << r, módulo de elasticidade transversal G e estão submetidos a um torque 
constante T. 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Tubo de seção transversal fechada e de seção transversal aberta. 
 
Para o tubo 1, a tensão de cisalhamento vale, de acordo com a equação (15a), considerando o 
momento polar de inércia dado pela fórmula (18), para t << r: 
 
tr2
T
tr2
Tr
231 π=π=τ 
Para o tubo 2, por outro lado, aplica-se a equação (34), para α = 0,333 (a/b = ∞, já que a = 2πr 
e b = t): 
 222 rt666,0
T
rt2x333,0
T
π=π=τ 
Tem-se, portanto, a relação entre 2τ e 1τ : 
 
t
r3
T
tr2
rt666,0
T 2
2
1
2 =ππ=τ
τ 
Para 60,exemplopor,20
t
r
1
2 =τ
τ= . 
Tubo 1 Tubo 2 
Dumont
Rectangle
 13 
Para a comparação de rotações das seções transversais, tem-se para o tubo 1, de acordo com a 
equação (14c), com J dado pela equação (18): 
 
tGr2
TL
31 π=φ∆ 
e para o tubo 2, de acordo com a equação (35), para β = 0,333 (a >> b): 
 
Gtr,6660
TL
Gtr,333x20
TL
332 π=π=φ∆ 
Portanto, a relação entre 2φ∆ e 1φ∆ é 
 
23
3
1
2
t
r3
TL
tGr2
Gtr666,0
TL 

=ππ=φ∆
φ∆ 
para 20
t
r = , por exemplo, tem-se 120020x3 2
1
2 ==φ∆
φ∆ . 
 
Exercícios propostos 
1. [1] Qual deve ser a razão comprimento/diâmetro (L/d) para uma arame de aço (G = 84 
GPa), se a tensão de cisalhamento máxima for 94,5 MPa quando o ângulo de torção tiver 
900? Resposta: 698
2
G
d
L
max
=τ
φ= . 
2. [1] um tubo fino, tendo uma seção transversal elíptica (ver a 
figura), é sujeito a um torque T = 5,675 kNm. Determinar a 
tensão de cisalhamentoτ e o ângulo de torção por unidade 
de comprimento φ/L, se G = 8,05 GPa, t = 5 mm, a = 75 
mm, b = 50 mm. (A área de uma elipse é πab e sua 
circunferência é aproximadamente 1,5π(a + b) - π ab ). 
Resposta: τ = 48,2 MPa, φ/L = 0,0109 rad/m. 
3. [1] Uma barra em torção tem diâmetro d1 = 75 mm ao longo de metade de seu 
comprimento e diâmetro d2 = 50 mm ao longo da outra metade (ver a figura). Qual é o 
torque permissível, T, se o ângulo de torção φ não deve exceder 0,01 radianos? (Supor G 
= 84 GPa). Resposta: T = 344,33 Nm. 
 
 
 
 
 
4. [1] Qual será o torque na região central da barra circular com as extremidades engastadas, 
mostrada na figura, se T1 = 2T2 e a = c = L/4, b = L/2? Resposta: T1/8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a 
2b 
t 
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle
 14 
5. [1] Uma embreagem de disco simples transmite o torque de um eixo para outro, como 
mostrado na figura. As placas da embreagem são circulares (diâmetro d) e comprimidas 
por uma força normal P. Admitindo que a força P seja uniformemente distribuída sobre as 
superfícies das placas e que o coeficiente de atrito entre elas seja µ, achar o torque 
máximo T que pode ser transmitido pela embreagem, sem deslizamento. Resposta: T = 
Pµd/4. 
 
 
 
 
 
 
6. [1] Uma barra AB de seção reta circular é engastada na extremidade esquerda (ver a 
figura) e sujeita a um torque distribuído, de intensidade constante t. Deduzir uma fórmula 
para o ângulo de rotação φ na extremidade B da barra. Resposta: 
2GJ
tL2=φ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. [1] O eixo propulsor de um navio é vazado e transmite 8000 cv a 100 rpm com uma 
tensão de cisalhamento máxima de 31,5 MPa. Achar o diâmetro externo d do eixo se o 
diâmetro interno for d/2. Resposta: d = 460 mm. 
8. [2] Um eixo vazado de aço (G = 77 GPa) de 5m de comprimento e diâmetros interno e 
externo de 25mm e 60mm, respectivamente, gira a 180 rpm. Sabendo-se que o ângulo de 
torção entre suas extremidades é 30, determinar a potência que está sendo transmitida e a 
máxima tensão de cisalhamento que ocorre. Resposta: P = 18,76 kW, τmax = 24,2 MPa. 
9. [1] Uma barra ABC, engastada em ambas as extremidades, é sujeita a um torque T na 
seção B (ver a figura). A barra é circular com diâmetro d1 de A a B, e diâmetros externo d2 
e interno d1 de B a C. Deduzir uma expressão para a razão a/L, de maneira que os torques 
reativos em A e C sejam numericamente iguais. Resposta: 
4
2
1
d
d
L
a 

= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. [1] Um tubo fino de seção transversal retangular ab tem espessura constante t e é sujeito a 
um torque T. Como varia a tensão de cisalhamento τ com a razão β = a/b, se a área da 
seção reta se mantém constante? Como varia a constante de torção J com β? Resposta: 
β+β∝τ /)1( 2 , 42 )1/(J +ββ∝ . 
T 
d1 d1 d2 
a 
L 
A B C 
t 
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle
 15 
11. [1] Um tubo cônico de seção transversal circular, de parede fina e longo (ver a figura), é 
sujeito a um torque T. O tubo tem espessura de parede constante t e comprimento L. Os 
diâmetros médios das seções retas nas extremidades A e B são da e db, respectivamente. 
Deduzir uma fórmula para o ângulo de torção φ do tubo. Resposta: 



 +π=φ 1d
d
d
d
tdG
TL2
b
a
b
a
3
a
. 
 
 
 
 
 
12. Seja um tubo de comprimento L, seção transversal circular de raio r e espessura t << r, 
submetido a um torque T. Seja um segundo tubo, de seção transversal quadrada de lado d 
e espessura t << d, de mesma área transversal do primeiro tubo, do mesmo material e com 
o mesmo comprimento, submetido ao mesmo torque. Comparar as tensões máximas e os 
ângulos de rotação das seções destes dois tubos. Resposta: 
27,14
c
q ≈π=τ
τ
, 62,1162
c
q ≈π=φ∆
φ∆
. 
13. Seja um tubo de comprimento L, seção transversal circular cheia de raio, submetido a um 
torque T. Seja um segundo tubo, de seção transversal quadrada de lado d, de mesma área 
transversal do primeiro tubo, do mesmo material e com o mesmo comprimento, submetido 
ao mesmo torque. Comparar as tensões máximas e os ângulos de rotação das seções destes 
dois tubos. Resposta: 36,1
416,0
1
c
q ≈π=τ
τ
, 13,1
282,0
1
c
q ≈π=φ∆
φ∆
. 
14. [2] Um torque T é aplicado a um tronco de cone 
maciço. Calcular o ângulo de torção na sua 
extremidade livre e o valor da máxima tensão de 
cisalhamento. Resposta: 4Gr12
TL7
π=φ , 2/3r
T
πτ = . 
 
 
 
T T 
A 
B 
L 
2r 
L 
r 
T 
Dumont
Rectangle
Dumont
Rectangle