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Aula 22/03/2011 Com aij, números reais ou complexos. Uma solução do sistema é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn ) que satisfaça simultaneamente esta m equações Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro 1 Sistemas e matrizes Seja o sistema: Podemos escrever este sistema , na forma matricial: A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz incógnita e B a matriz dos termos independentes. bAx b b b b x x x x aaa aaa aaa A m 2 1 n 2 1 mn2m1m n22221 n11211 m 2 1 n 2 1 mmn2m1m 2n22221 1n11211 b b b x x x baaa baaa baaa =• mmn2m1m 2n22221 1n11211 baaa baaa baaa Ou, também podemos associar a matriz ampliada do sistema: e, através de operações elementares sobre as linhas desta matriz, obter-se uma matriz simplificada. Três famílias se reuniram para irem a uma lanchonete. A primeira família pediu 4 lanches, 2 refrigerantes e 2 sorvetes, totalizando R$ 22,00. A segunda família pediu 2 lanches, 4 refrigerantes e 4 sorvetes, totalizando R$ 20,00 . A terceira família pediu 4 lanches, 4 refrigerantes e 2 sorvetes, totalizando R$ 26,00.Qual é o preço de cada item? Álgebra Linear Lanche Refri Sorvete Total Família 1 4 2 2 R$ 22,00 Família 2 2 4 4 R$ 20,00 Família 3 4 4 2 R$ 26,00 Escrevendo o sistema Considerando os preços por: x= lanche y = refrigerante z = sorvete Teremos: x+2y+2z=22 2x+4y+4z=20 4x+4y+2z=26 Colocando os coeficiente em uma matriz: Escalonamento • 4 2 2 22 L1>L2 • 2 4 4 20 • 4 4 2 26 • 2 4 4 20 L1/2 • 4 2 2 22 • 4 4 2 26 Escalonamento • 1 2 2 10 • 4 2 2 22 L2 – 4xL1 • 4 4 2 26 L3 – 4xL1 • 1 2 2 10 • 0 -6 -6 -18 L2x(-1) • 0 -4 -6 -14 L3x(-1) Escalonamento • 1 2 2 10 • 0 6 6 18 L2/6 • 0 4 6 14 • 1 2 2 10 • 0 1 1 3 • 0 4 6 14 L3 – 4xL2 Escalonamento • 1 2 2 10 • 0 1 1 3 • 0 0 2 2 • 1x + 2y + 2z = 10,00 • y + z = 3,00 • 2z = 2,00 2z=2 1x + 2y + 2z = 10 z=2/2 1x + 2.2 + 2.1=10 z=1 1x + 6 = 10 x=10 – 6 X = 4 y + z = 3 y =3 – 1 y = 2 • Portanto, o preço de cada item é: • Lanche: R$ 4,00 • Refrigerante: R$ 2,00 • Sorvete: R$ 1,00 Consistência de Sistemas Lineares Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m2 140 g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g de potássio. Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características: •Cada quilograma do adubo I custa 5 u.m. e contém 10 g de nitrato. 10 g de fosfato e 100 g de potássio. • Cada quilograma do adubo II custa 6 u.m. e contém 10 g de nitrato. 100 g de fosfato e 30 g de potássio. •Cada quilograma do adubo III custa 5 u.m. e contém 50 g de nitrato. 20 g de fosfato e 20 g de potássio. •Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.m. e contém 20 g de nitrato. 40 g de fosfato e 35 g de potássio. Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.m. a cada 10 m2 com a adubação? Sugestão: Monte a tabela Adulbos Nitrato Fosfato Potássio Custo I (x) II (y) III (z) IV (w) total